\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Ehdollinen todennäköisyys

Olkoot \(A\) ja \(B\) kaksi tapahtumaa, joista tapahtuman \(B\) tiedetään realisoituvan. Ajatellaan nyt \(B \subseteq \Omega\) uudeksi otosavaruudeksi, jossa tarkastellaan tapahtuman \(A\) realisoitumista. Jos lisäksi myös \(A\) tapahtuu, tiedetään että \(A\cap B\) tapahtuu. Tällöin tapahtuman \(A\) todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma \(B\) on realisoitunut, on oltava tapahtuman \(A\cap B\subseteq B\) todennäköisyys otosavaruudessa \(B\). Tätä sanotaan tapahtuman \(A\) ehdolliseksi todennäköisyydeksi ehdolla \(B\) ja merkitään \(P(A\mid B)\).

Määritelmä 1.4.1

Olkoot \(A\) ja \(B\) tapahtumia ja olkoon \(P(B)>0\). Tapahtuman \(A\) ehdollinen todennäköisyys ehdolla \(B\) (conditional probability) on luku

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\]

Esimerkki 1.4.2

Liikenneonnettomuuksista \(55~\%\) aiheutuu kuljettajan huonosta ajotaidosta, \(12~\%\) auton teknisestä viasta ja \(5~\%\) molempien aiheuttamina. On tapahtunut liikenneonnettomuus ja on havaittu, että onnettomuuden aiheuttaneessa autossa on tekninen vika. Millä todennäköisyydellä onnettomuuteen vaikutti myös kuljettajan huono ajotaito?

Näytä/piilota ratkaisu

Olkoot \(A\) ja \(B\) tapahtumat “onnettomuuden syynä huono ajotaito” ja “onnettomuuden syynä tekninen vika”. Tällöin \(P(A) = 0{,}55\), \(P(B) = 0{,}12\) ja \(P(A \cap B) = 0{,}05\). Kysytty todennäköisyys on siis tapahtuman \(A\) todennäköisyys silloin, kun \(B\) on realisoitunut, eli

\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}05}{0{,}12} \approx 0{,}42.\qedhere\]

Olkoon tapahtumille \(A\), \(B\) ja \(C\) voimassa

\[P(A \mid C \cap B) > P(A \mid C \cap \overline{B}) \qquad\text{ja}\qquad P(A \mid \overline{C} \cap B) > P(A \mid \overline{C} \cap \overline{B}).\]

Onko aina myös \(P(A \mid B) > P(A \mid \overline{B})\)?

Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä seuraa niin sanottu kertolaskusääntö tapahtumien leikkauksen todennäköisyydelle.

Seuraus 1.4.3 (Kertolaskusääntö)

Jos \(A, B \subseteq \Omega\) ja \(P(B) > 0\), niin \(P(A \cap B) = P(B)P(A \mid B)\).

Kolmen tapahtuman \(A_1\), \(A_2\) ja \(A_3\) leikkauksen todennäköisyydelle on voimassa

\[\begin{split}\begin{aligned} P(A_1\cap A_2\cap A_3)&=P((A_1\cap A_2)\cap A_3)\\ &=P(A_1\cap A_2)P(A_3\mid A_1\cap A_2)\\ &=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1\cap A_2) \end{aligned}\end{split}\]

edellyttäen, että \(P(A_1\cap A_2)>0\). Tämäkin laskusääntö yleistyy induktiolla.

Lause 1.4.4

Jos \(A_1, A_2, \ldots, A_n \subseteq \Omega\) ja \(P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{n - 1}) > 0\), niin

\[P\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1\cap A_2)\cdots P\left(A_n\left|\ \bigcap_{i=1}^{n-1}A_i\right.\right)\]

Esimerkki 1.4.5

Ryhmässä on \(30\) henkilöä, joista \(20\) on diplomi-insinöörejä. Valitaan satunnaisesti \(3\) henkilöä. Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme ovat diplomi-insinöörejä?

Näytä/piilota ratkaisu

Olkoon \(A\) tapahtuma “kaikki kolme ovat diplomi-insinöörejä”. Tehtävä voidaan ratkaista suoraan kombinatorisesti laskemalla

\[P(A)=\frac{\binom{20}{3}}{\binom{30}{3}}\approx 0{,}2808,\]

tai kertolaskusäännöllä seuraavasti. Olkoot \(A_i\) tapahtumat “\(i\):s valittu on diplomi-insinööri”, jolloin \(A = A_1 \cap A_2 \cap A_3\) ja

\[P(A) = P(A_1)P(A_2 \mid A_1)P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) = \frac{20}{30} \cdot \frac{19}{29} \cdot \frac{18}{28} \approx 0{,}2808.\qedhere\]
Laatikossa on \(2\) oranssia ja \(2\) sinistä palloa. Tutkitaan tapahtumia, joissa \(2\) palloa nostetaan laatikosta ilman takaisinlaittoa, ja merkitään tapahtumaa “nostetaan oranssi pallo” symbolilla \(O\) ja tapahtumaa “nostetaan sininen pallo” symbolilla \(S\). Käytetään lisäksi alaindeksejä ilmoittamaan, missä järjestyksessä pallot on nostettu, esim. \(O_1 = \text{ ''oranssi pallo nostettu ensimmäisenä'' }\). Ovatko todennäköisyydet \(P( O_1 \mid O_2 )\) ja \(P( O_2 \mid O_1 )\) samoja?
Palautusta lähetetään...