$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

# Ehdollinen todennäköisyys¶

Olkoot $$A$$ ja $$B$$ kaksi tapahtumaa, joista tapahtuman $$B$$ tiedetään realisoituvan. Ajatellaan nyt $$B \subseteq \Omega$$ uudeksi otosavaruudeksi, jossa tarkastellaan tapahtuman $$A$$ realisoitumista. Jos lisäksi myös $$A$$ tapahtuu, tiedetään että $$A\cap B$$ tapahtuu. Tällöin tapahtuman $$A$$ todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma $$B$$ on realisoitunut, on oltava tapahtuman $$A\cap B\subseteq B$$ todennäköisyys otosavaruudessa $$B$$. Tätä sanotaan tapahtuman $$A$$ ehdolliseksi todennäköisyydeksi ehdolla $$B$$ ja merkitään $$P(A\mid B)$$.

Määritelmä 1.4.1

Olkoot $$A$$ ja $$B$$ tapahtumia ja olkoon $$P(B)>0$$. Tapahtuman $$A$$ ehdollinen todennäköisyys ehdolla $$B$$ (conditional probability) on luku

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$

Esimerkki 1.4.2

Liikenneonnettomuuksista $$55~\%$$ aiheutuu kuljettajan huonosta ajotaidosta, $$12~\%$$ auton teknisestä viasta ja $$5~\%$$ molempien aiheuttamina. On tapahtunut liikenneonnettomuus ja on havaittu, että onnettomuuden aiheuttaneessa autossa on tekninen vika. Millä todennäköisyydellä onnettomuuteen vaikutti myös kuljettajan huono ajotaito?

Näytä/piilota ratkaisu

Olkoot $$A$$ ja $$B$$ tapahtumat “onnettomuuden syynä huono ajotaito” ja “onnettomuuden syynä tekninen vika”. Tällöin $$P(A) = 0{,}55$$, $$P(B) = 0{,}12$$ ja $$P(A \cap B) = 0{,}05$$. Kysytty todennäköisyys on siis tapahtuman $$A$$ todennäköisyys silloin, kun $$B$$ on realisoitunut, eli

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}05}{0{,}12} \approx 0{,}42.\qedhere$

Olkoon tapahtumille $$A$$, $$B$$ ja $$C$$ voimassa

$P(A \mid C \cap B) > P(A \mid C \cap \overline{B}) \qquad\text{ja}\qquad P(A \mid \overline{C} \cap B) > P(A \mid \overline{C} \cap \overline{B}).$

Onko aina myös $$P(A \mid B) > P(A \mid \overline{B})$$?

Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä seuraa niin sanottu kertolaskusääntö tapahtumien leikkauksen todennäköisyydelle.

Jos $$A, B \subseteq \Omega$$ ja $$P(B) > 0$$, niin $$P(A \cap B) = P(B)P(A \mid B)$$.

Kolmen tapahtuman $$A_1$$, $$A_2$$ ja $$A_3$$ leikkauksen todennäköisyydelle on voimassa

\begin{split}\begin{aligned} P(A_1\cap A_2\cap A_3)&=P((A_1\cap A_2)\cap A_3)\\ &=P(A_1\cap A_2)P(A_3\mid A_1\cap A_2)\\ &=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1\cap A_2) \end{aligned}\end{split}

edellyttäen, että $$P(A_1\cap A_2)>0$$. Tämäkin laskusääntö yleistyy induktiolla.

Lause 1.4.4

Jos $$A_1, A_2, \ldots, A_n \subseteq \Omega$$ ja $$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{n - 1}) > 0$$, niin

$P\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1\cap A_2)\cdots P\left(A_n\left|\ \bigcap_{i=1}^{n-1}A_i\right.\right)$

Esimerkki 1.4.5

Ryhmässä on $$30$$ henkilöä, joista $$20$$ on diplomi-insinöörejä. Valitaan satunnaisesti $$3$$ henkilöä. Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme ovat diplomi-insinöörejä?

Näytä/piilota ratkaisu

Olkoon $$A$$ tapahtuma “kaikki kolme ovat diplomi-insinöörejä”. Tehtävä voidaan ratkaista suoraan kombinatorisesti laskemalla

$P(A)=\frac{\binom{20}{3}}{\binom{30}{3}}\approx 0{,}2808,$

tai kertolaskusäännöllä seuraavasti. Olkoot $$A_i$$ tapahtumat “$$i$$:s valittu on diplomi-insinööri”, jolloin $$A = A_1 \cap A_2 \cap A_3$$ ja

$P(A) = P(A_1)P(A_2 \mid A_1)P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) = \frac{20}{30} \cdot \frac{19}{29} \cdot \frac{18}{28} \approx 0{,}2808.\qedhere$
Laatikossa on $$2$$ oranssia ja $$2$$ sinistä palloa. Tutkitaan tapahtumia, joissa $$2$$ palloa nostetaan laatikosta ilman takaisinlaittoa, ja merkitään tapahtumaa “nostetaan oranssi pallo” symbolilla $$O$$ ja tapahtumaa “nostetaan sininen pallo” symbolilla $$S$$. Käytetään lisäksi alaindeksejä ilmoittamaan, missä järjestyksessä pallot on nostettu, esim. $$O_1 = \text{ ''oranssi pallo nostettu ensimmäisenä'' }$$. Ovatko todennäköisyydet $$P( O_1 \mid O_2 )$$ ja $$P( O_2 \mid O_1 )$$ samoja?
Palautusta lähetetään...