\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Peruskäsitteitä

Todennäköisyyslaskennan tavoitteena on kehittää satunnaisluonteisten ilmiöiden kuvaamiseen soveltuvia matemaattisia malleja. Mallintamisen kohde on satunnaisilmiöön liittyvä satunnaiskoe (random experiment), jonka lopputulosta ei saada selville laskemalla ja päättelemällä vaan tuloksen määrää “sattuma”. Tuotettu malli pyrkii ennustamaan kokeen tuloksia mahdollisimman totuudenmukaisesti. Jotta mallintaminen on mahdollista, kokeelta vaaditaan toistettavuutta, sekä koetoistoilta riippumattomuutta ja tilastollista säännönmukaisuutta. Viimeisellä tarkoitetaan vaatimusta, että yksittäisten tulosten suhteelliset frekvenssit näyttävät koetoistojen lukumäärän kasvaessa stabilisoituvan.

Satunnaiskokeen mallintamisen pohjana on tarkasteltavan kokeen kaikkien mahdollisten tulosten joukko. Kokeen mahdollista yksittäistä koetulosta sanotaan alkeistapaukseksi tai tulosmahdollisuudeksi (sample point). Kaikkien mahdollisten alkeistapausten joukko on otosavaruus (sample space) \(\Omega\). Otosavaruuden osajoukko \(A\) on tapahtuma (event). Sanotaan, että kokeessa realisoituu tapahtuma \(A\), jos koetulos on joukon \(A\) alkio. Myös otosavaruus \(\Omega\) ja tyhjä joukko \(\varnothing\) ovat otosavaruuden osajoukkoja, ja siis tapahtumia. Otosavaruus edustaa “varmaa tapahtumaa”, ja tyhjä joukko “mahdotonta tapahtumaa”, sillä siinä ei ole ainuttakaan alkeistapausta.

Esimerkki 1.1.1

Nostetaan korttipakasta (52 korttia, ei jokereita) satunnaisesti yksi kortti. Jos koetulos on kortin maa, on tämän satunnaiskokeen otosavaruus

\[\Omega=\{\heartsuit, \diamondsuit, \clubsuit, \spadesuit\}.\]

Tapahtuma “kortti on musta” on otosavaruuden osajoukko \(A=\{\clubsuit, \spadesuit\}\).

Nostetusta kortista voidaan tutkia myös kortin numeroarvo, jolloin kyseessä on samaan satunnaisilmiöön liittyvä toinen koe. Tämän kokeen otosavaruus on

\[\Omega=\{2,3,4,\ldots 13,14\},\]

jos ässän numeroarvoksi valitaan arvo \(14\). Tapahtuma “kortti ei ole kuvakortti eikä ässä” on osajoukko \(B=\{ 2,3,4\ldots 10\}\).

Esimerkki 1.1.2

Tutkitaan kahta nopanheittoa. Koe voidaan toteuttaa heittämällä kahta eri noppaa tai kahdesti yhtä noppaa. Tällöin muodostuu toistokoe, jonka otosvaruus koostuu 36 erilaisesta tulosparista \(\Omega=\{(1, 1), (1, 2), (1, 3), \ldots, (6, 5), (6, 6)\}\). Eräs tapahtuma on “nopanheittojen summa on \(4\)“, eli osajoukko \(\{(1,3),(2,2),(3,1)\}\).

Esimerkki 1.1.3

Heitetään kolikkoa ja lopetetaan, kunnes saadaan ensimmäinen klaava. Tällöin alkeistapaukset ovat kruunien (\(\rR\)) ja klaavojen (\(\rL\)) heittosarjoja ja otosavaruus on ääretön joukko \(\Omega=\{\rL, \rR\rL, \rR\rR\rL, \rR\rR\rR\rL, \ldots\}\).

Edellä olevissa esimerkeissä otosavaruudet ovat lueteltavissa olevia äärellisiä tai äärettömiä joukkoja. Tällöin kyseessä on diskreetti otosavaruus. Kaikki mahdolliset tapahtumat muodostavat otosavaruuden kaikkien osajoukkojen joukon eli ns. potenssijoukon \(\cP(\Omega)\). Jos otosavaruudessa on äärellinen määrä \(n\) alkiota, niin erilaisia tapahtumia on tällöin \(2^n\) kappaletta. Esimerkiksi otosavaruuden \(\Omega=\{1,2\}\) kaikki tapahtumat muodostavat joukon \(\cP(\Omega)=\{\varnothing, \{1\},\{2\},\{1,2\}\}\) ja tässä alkeistapahtumia on \(2\) ja tapahtumia yhteensä \(2^2 = 4\).

Jos otosavaruus on reaalilukuväli (tai muu laskemattomasti ääretön joukko), niin otosavaruus on jatkuva. Esimerkiksi jos tutkittava ilmiö on komponentin elinikä, niin kokeessa mitattu arvo voi periaatteessa saada minkä tahansa ei-negatiivisen reaalilukuarvon, ja siksi otosavaruus \(\Omega=[0,\infty)\). Kun kokeessa mitataan elinikää, niin mittaustarkkuuden puitteissa tulos muodostaisi diskreetin otosavaruuden. Jako diskreetteihin ja jatkuviin otosavaruuksiin tehdään kuitenkin tuloksen luonteen eikä mittalukujen perusteella.

Question 1

Tutkitaan \(52\)-korttista korttipakkaa. Merkitään eri värejä \(\heartsuit\), \(\diamondsuit\), \(\clubsuit\) ja \(\spadesuit\), mutta otetaan huomioon myös korttien numerot \(2\)–\(14\). Merkitään esim. pataässää järjestettynä parina \((\spadesuit, 14)\). Mikä seuraavista kaikkien mahdollisten korttien otosavaruuden \(\Omega\) osajoukoista \(A\)–\(E\) kuvaavat tapahtumaa “kortti on numerokortti väliltä \(2\)–\(4\) tai herttakymppi”?

\(A = \{(\spadesuit, 2), (\clubsuit, 3), ( \heartsuit, 4), (\heartsuit, 10)\}\)

\(B = \{(\spadesuit, 2), (\spadesuit, 3), (\spadesuit, 4), (\heartsuit, 2), (\heartsuit, 3), (\heartsuit, 4), (\clubsuit, 2), (\clubsuit, 3), (\clubsuit, 4), (\diamondsuit, 2), (\diamondsuit, 3), (\diamondsuit, 4), (\heartsuit, 10)\}\)

\(C = \{ (\heartsuit, 14), (\spadesuit, 2), (\diamondsuit, 3), (\heartsuit, 10), (\clubsuit, 4) \}\)

\(D = \{ (\spadesuit, 2), (\spadesuit, 3), (\spadesuit, 4), (\heartsuit, 2), (\heartsuit, 3), (\heartsuit, 4), (\clubsuit, 2), (\clubsuit, 3), (\clubsuit, 4), (\diamondsuit, 2), (\diamondsuit, 3), (\diamondsuit, 4) \}\)

\(E = \{(\heartsuit, 10) \}\)

Koska todennäköisyyslaskennassa tapahtumat ovat joukkoja, joukko-opin operaatiot ja tulokset ovat käyttökelpoisia työvälineitä. Kerrataan joukkojen perusoperaatiot, sekä annetaan niille todennäköisyyslaskennan tapahtumakuvaus ja esitys Venn-diagrammeina. Seuraavassa \(A\) ja \(B\) ovat saman otosavaruuden \(\Omega\) tapahtumia.

1. Kun \(A\) ei toteudu, toteutuu tapahtuman \(A\) komplementtitapahtuma (complement)

   \[\overline{A} = \{x \in \Omega : x \not\in A\}.\]

   Muita merkintöjä komplementtitapahtumalle ovat \(A'\), \(A^c\) ja \(C(A)\).

2. Kun \(A\) tai \(B\) toteutuu, on kyseessä tapahtumien \(A\) ja \(B\) yhdiste eli unioni (union)

   \[A \cup B = \{x \in \Omega : x \in A \text{ tai } x \in B\}.\]

3. Kun samanaikaisesti toteutuu \(A\) ja \(B\), on kyseessä tapahtumien \(A\) ja \(B\) leikkaus (intersection)

   \[A \cap B = \{x \in \Omega : x \in A \text{ ja } x \in B\}.\]

4. Jos \(A\) toteutuu, mutta \(B\) ei, on kyseessä tapahtumien \(A\) ja \(B\) erotus (difference)

   \[A \setminus B = \{x \in \Omega : x \in A \text{ ja } x \not\in B\} = A \cap \overline{B}.\]

   Toinen merkintä erotukselle on \(A - B\).

5. Tapahtumat \(A\) ja \(B\) ovat erillisiä (disjoint), eli toisensa poissulkevia (mutually exclusive), jos joukoilla \(A\) ja \(B\) ei ole yhteisiä alkeistapauksia, eli \(A \cap B = \varnothing\). Tapahtumat \(A\) ja \(\overline{A}\) ovat aina erillisiä. Tapahtumien erillisyyttä ei pidä sekoittaa niiden riippumattomuuteen.

Toisinaan tapahtuma voidaan esittää osatapahtumien ja joukko-operaatioiden avulla. Tapahtuman muodostamisessa ja erityisesti havainnollistamisessa Venn-diagrammit ovat yksinkertaisuudestaan huolimatta hyvä apuväline.

Esimerkki 1.1.4

Valitaan korttipakasta yksi kortti. Kun koetulos on valittu kortti, otosavaruuden muodostavat kaikki 52 eri korttia. Merkitään tapahtumia “kortti on punainen”, “kortti on hertta”, “kortti on ässä” ja “kortti on pata” joukkoina \(A\), \(B\), \(C\) ja \(D\) tässä järjestyksessä. Nyt näiden avulla voidaan ilmaista uusia tapahtumia esimerkiksi seuraavasti.

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{A} &&& \text{''kortti on musta'' (ei punainen)} \\ A \cap \overline{B} \cap C &&& \text{''kortti on ruutuässä'' (punainen ei-hertta ja ässä)} \\ C \setminus A = \overline{A} \cap C &&& \text{''kortti on musta ässä'' (ässä mutta ei punainen)} \\ \overline{A} \cap \overline{D} &&& \text{''kortti on risti'' (ei-punainen ja ei-pata)} \\ \overline{A \cup D} &&& \text{''kortti on risti'' (ei punainen tai pata)} \end{aligned}\end{split}\]

Viimeisten kahden tapahtuman samuus on esimerkki de Morganin laeista

\[\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \qquad\text{ja}\qquad \overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B},\]

jotka yleistyvät mille tahansa saman otosavaruuden tapahtumille \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) muodossa

\[\overline{\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)}=\bigcap_{i=1}^{n}\overline{A_i}, \qquad\text{ja}\qquad \overline{\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)}=\bigcup_{i=1}^{n}\overline{A_i}.\]

Mikäli kaipaat tarkempaa joukkojen laskutoimitusten kertausta, voit selailla aikaisemman kurssin materiaaleja erityisesti täältä.

Palautusta lähetetään...