Processing math: 100%

Poissonin jakauma

Toinen sovellusten kannalta erittäin tärkeä diskreetti todennäköisyysjakauma käsittelee suhteellisen harvinaisten, mutta keskimäärin vakiotahdilla riippumattomasti toistuvia tapahtumia. Annetaan aluksi jakauman määritelmä, ja palataan myöhemmin sen tulkintaan sovelluksissa.

Määritelmä 4.3.1

Diskreetti satunnaismuuttuja X, jonka otosavaruus Ω={0,1,2,3,}, noudattaa Poissonin jakaumaa (Poisson distribution) parametrinaan λ>0, XPoi(λ), jos sen tiheysfunktio

f(x)=p(x;λ)=λxx!eλ,kun xΩ.

Voidaan osoittaa, että määritelmässä annettu funktio on tiheysfunktio. Sen arvot ovat ei-negatiivisia ja laskettaessa tiheysfunktioiden arvojen summa, saadaan sarjan summaksi =1.

../_images/kuva210poi1ja2.svg

Lause 4.3.2

Jos satunnaismuuttuja XPoi(λ), niin sen odotusarvo ja varianssi ovat

E(X)=Var(X)=λ.
Piilota/näytä todistus

Kun XPoi(λ)

f(x)=p(x;λ)=λxx!eλ,kun xΩ={0,1,2,3,}.

Nyt odotusarvo

E(X)=x=0xλxx!eλ(1)=x=1xλxx!eλ(2)=λx=1λx1(x1)!eλ(3)=λx=0λxx!eλ(4)=λ(5)

missä eri vaiheiden perusteluna ovat

  1. Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvon määritelmä
  2. Summan ensimmäinen termi =0, kun x=0. Siksi summan arvo ei muutu, vaikka indeksointi aloitetaan arvosta x=1.
  3. Supistetaan luvulla x ja otetaan yksi λ vakiona summan eteen.
  4. Korvataan x1x ja aloitetaan summaus arvosta x=0. Summa ei muutu.
  5. Summa on koko otosavaruuden todennäköisyys P(Ω)=1

Varianssia varten määritetään E(X2). Toimitaan vastaavalla tavalla.

E(X2)=x=0x2λxx!eλ(1)=x=1x2λxx!eλ(2)=λx=1xλx1(x1)!eλ(3)=λx=0(x+1)λxx!eλ(4)=λx=0xλxx!eλ+λx=0λxx!eλ(5)=λ2+λ(6)

missä eri vaiheiden perusteluna ovat

  1. Diskreetin satunnaismuuttujan funktion odotusarvon määritelmä
  2. Summan ensimmäinen termi =0, kun x=0. Siksi summan arvo ei muutu, vaikka indeksointi aloitetaan arvosta x=1.
  3. Supistetaan luvulla x ja otetaan yksi λ vakiona summan eteen.
  4. Korvataan x1x, xx+1 ja aloitetaan summaus arvosta x=0. Summa ei muutu.
  5. Jaetaan summa kahdeksi summaksi.
  6. Ensimmäinen osa on odotusarvo = λ ja toinen osa on koko otosavaruuden todennäköisyys P(Ω)=1.

Näin

Var(X)=E(X2)E(X)2=λ2+λλ2=λ

Poissonin jakauman odotusarvo ja varianssi ovat siis yhtä suuret. Tämän jakauman tärkeä sovellus on sen käyttö stokastisten prosessien käsittelyssä silloin, kun ollaan kiinnostuneita tietyn tapahtuman A realisoitumisten lukumäärästä tietyllä aikavälillä. Oletetaan prosessille seuraavat ominaisuudet.

  1. Jos I1,I2,,In ovat pistevieraita (erillisiä) aikavälejä, niin tapahtuman A esiintymisten lukumäärät eri aikaväleillä ovat riippumattomia.
  2. Tapahtuman A esiintymisten keskimääräistä lukumäärää aikayksikössä voidaan pitää vakiona q.
  3. Todennäköisyys sille, että A realisoituu hyvin lyhyellä aikavälillä Δt useammin kuin kerran, on likimain nolla.

Jos stokastinen prosessi toteuttaa oletukset 1–3 ja satunnaismuuttuja X kuvaa tapahtuman A esiintymisten lukumäärää aikavälillä (t1,t2), niin voidaan osoittaa että

XPoi(q(t2t1)),

eli X noudattaa Poissonin jakaumaa parametrinaan λ=q(t2t1).

Tehtävää ladataan...

Esimerkki 4.3.3

Yksi gramma radiumin isotooppia lähettää keskimäärin 3.571010 α-hiukkasta sekunnissa. Laske todennäköisyys sille, että yhden nanosekunnin (109s) aikana se lähettää

  1. täsmälleen 35 α-hiukkasta,
  2. 27, 28 tai 29 α-hiukkasta.
Piilota/näytä ratkaisu

Radioaktiivinen hajoaminen toteuttaa varsin hyvin edellä esitellyt Poissonin prosessin oletukset. Olkoon X radium-näytteen lähettämien α-hiukkasten lukumäärä nanosekunnissa, jolloin XPoi(λ), missä

λ=3.571010109=35.7
  1. Todennäköisyys sille, että nanosekunnissa vapautuu täsmälleen 35 α-hiukkasta on

    P(X=35)=p(35;35.7)=35.73535!e35.70.0668.

    Matlabin Poissonin jakaumaan liittyvät tiheys- ja kertymäfunktiot ovat poisspdf ja poisscdf. R:n vastaavat funktiot ovat dpois ja ppois. Sama tulos saataisiin siis Matlab- ja R-komennoilla

      poisspdf(35, 35.7) % Matlab
      dpois(35, 35.7) # R
  2. Todennäköisyys sille, että nanosekunnissa vapautuu 27, 28 tai 29 α-hiukkasta on

    P(27X29)=29x=27p(x;35.7)=29x=2735.7xx!e35.7=e35.7(35.72727!+35.72828!+35.72929!)0.0924.

    Matlab- ja R-komennot

       poisscdf(29, 35.7) - poisscdf(26, 35.7) % Matlab
       ppois(29, 35.7) - ppois(26, 35.7) # R

    antavat saman tuloksen. Huomaa, että tapahtuman 27X29 todennäköisyys lasketaan kertymäfunktion F avulla erotuksena F(29)F(26).

Huomautus 4.3.4

Poissonin jakaumaa voidaan soveltaa myös satunnaiskokeisiin, joissa ollaan kiinnostuneita tapahtuman A realisoitumien lukumäärästä tietyllä pituuden, pinta-alan tai tilavuuden osalla. Satunnaiskokeen tulee toteuttaa oletuksia 1–3 vastaavat oletukset, joissa aika korvataan sopivasti muilla käsitteillä.

Tietyissä tilanteissa Poissonin jakaumaa voidaan käyttää myös binomijakauman approksimoimiseen. Oletetaan, että satunnaismuuttuja XBin(n,p), ja että np=λ on vakio. Jos nyt n, niin p=λn0. Tällöin

limnb(x;n,λn)=p(x;λ)

aina, kun xN={0,1,2,}, sillä

(nx)(λn)x(1λn)nx=n(n1)(nx+1)x!λxnx(1λn)n(1λn)x=λxx!nnn1nnx+1n(1λn)n(1λn)x=λxx!(11n)(1x1n)(1λn)n(1λn)xλxx!eλ,

kun n, sillä

limn(11n)==limn(1x1n)=limn(1λn)x=1

ja eksponenttifunktion raja-arvomääritelmän mukaan raja-arvo

limn(1λn)n=eλ.

Kyseisen lukujonon suppeneminen tapahtuu nopeasti silloin, kun λn.

Lause 4.3.5

Jos n-toistokokeessa n on suuri, onnistumisen todennäköisyys on pieni p ja λn, eli kyseessä on harvinainen tapahtuma hyvin monen toiston sarjassa, niin binomijakauma

Bin(n,p)Poi(np).

Huomautus 4.3.6

Milloin ehdot n on suuri ja p on pieni riittävän hyvin täyttyvät? Yksi päätössääntö on, että Poissonjakaumaa voidaan käyttää binomijakauman approksimoimiseen, kun n100 ja np10. Tämän approksimaation merkitys laskennassa on vähäinen, kun todennäköisyydet voi Matlabilla/Rllä laskea myös suoraan alkuperäisellä binomijakaumalla.

Esimerkki 4.3.7

Tiedetään, että sadasta signaalista keskimäärin yksi välittyy virheellisesti. Lähetetään 200 toisistaan riippumatonta signaalia ja lasketaan todennäköisyys sille, että ainakin kolme signaalia välittyy virheellisesti. Olkoon satunnaismuuttuja X virhesignaalien lukumäärä, jolloin XBin(200,0.01). Tarkka todennäköisyys

P(X3)=1P(X<3)=1((2000)0.0100.99200+(2001)0.0110.99199+(2002)0.0120.99198)1(0.1340+0.2707+0.2720)=0.3233.

Kun approksimoidaan Bin(200,0.01)Poi(2), todennäköisyydeksi saadaan 4 desimaalin tarkkuudella sama tulos:

P(X3)1e2(200!+211!+222!)=1e2(1+2+2)0.3233.

Matlabilla laskut saa komennoilla

   1- binocdf(2, 200, 0.01)  % Matlab, Binomijakauma
   1- poisscdf(2, 2)  % Matlab, Poisson jakauma

Vastaavat R-komennot ovat

   1- pbinom(2, 200, 0.01)  # R, Binomijakauma
   1- ppois(2, 2)  # R, Poisson jakauma

Poissonin jakaumalla ja eksponenttijakaumalla on seuraavanlainen yhteys.

Esimerkki 4.3.8

Oletetaan, että satunnaisen tapahtuman esiintymiskertojen lukumäärä X tietyllä aikavälillä [0,t] noudattaa Poissonin jakaumaa. Jos tapahtumien keskimääräistä lukumäärää aikayksikössä merkitään luvulla λ>0, niin aikavälille [0,t] osuu λt tapahtumaa ja XPoi(λt) tiheysfunktiolla

f(x)=(λt)xx!eλt.

Olkoon ensimmäisen tapahtuman realisoitumisaika satunnaismuuttuja T. Jos aikavälillä [0,t] ei satu yhtään tapahtumaa, on T>t. Tämän todennäköisyys

P(T>t)=P(X=0)=eλt,

joten komplementtitapahtuman todennäköisyys on

P(Tt)=1eλt

Näin on saatu satunnaismuuttujan T kertymäfunktio ja tiheysfunktio saadaan derivoimalla

f(t)=ddtP(Tt)=λeλt.

Tämä jakauma on eksponenttijakauma. Tapahtumien aikavälit Poissonin prosessissa noudattavat siis eksponenttijakaumaa Exp(λ), missä λ on tapahtumien keskimääräinen määrä aikayksikössä.

Palautusta lähetetään...