- MATH.APP.210
- 3. Odotusarvo
- 3.2 Satunnaismuuttujan funktion odotusarvo
Satunnaismuuttujan funktion odotusarvo¶
Satunnaismuuttujan X funktiona voidaan määritellä uusi muuttuja Y = h(X). Samoin uusi muuttuja voidaan muodostaa kahden tai useamman satunnaismuuttujan funktiona Y=h(X,Y). Näiden odotusarvot voidaan määrittää ilman, että tiedetään uuden muuttujan tiheysfunktiota.
Lause 3.2.1
Olkoon satunnaismuuttujan X otosavaruus \Omega_X ja tiheysfunktio f(x), sekä olkoon satunnaismuuttuja Y=h(X).
Jos X on diskreetti, niin
\rE(Y) = \rE(h(X)) = \sum_{x \in \Omega_X}h(x)f(x).Jos X on jatkuva, niin
\rE(Y) = \rE(h(X)) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x)f(x)\,\rd x.
Kahden muuttujan funktion tapauksessa saadaan vastaavat tulokset
Lause 3.2.2
Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman otosavaruus \Omega ja tiheysfunktio f(x, y), sekä olkoon satunnaismuuttuja U = h(X, Y).
Jos (X, Y) on diskreetti, niin
\rE(U)=\rE(h(X, Y)) = \sum_{(x,y)\in\Omega}h(x,y)f(x,y).Jos (X, Y) on jatkuva, niin
\rE(U)=\rE(h(X, Y)) = \iint_{\R^2} h(x,y)f(x,y)\,\rd x\rd y.
Esimerkki 3.2.3
Tarkastellaan peliä, jossa pelaajan voittama summa arvotaan heittämällä kolikkoa. Pelin kolikko on harhaton ja jokainen heittokerta on riippumaton muista heittokerroista. Voitto määräytyy sen mukaan, monennellako heitolla tulee ensimmäinen klaava siten, että pelaaja voittaa 2^n euroa, jos klaava tulee heitolla n. Mikä on voiton odotusarvo?
Rahanheitto on riippumattomien toistojen koe, jossa heitetään kolikkoa kunnes saadaan 1. onnistuminen = klaava. Satunnaismuuttuja X=‘Ensimmäisen klaavan heittokerta’ noudattaa siten geometrista jakaumaa X\sim\mathrm{Geo}(0.5) tiheysfunktiona
f(x) = 0.5 \cdot 0.5^{x - 1} = 0.5^{x} ja otosavaruutena \Omega=\{1,2,3,\ldots\}.
Voitto on satunnaismuuttujan X funktio Y = h(X) = 2^X, joten voiton odotusarvo
eli voiton odotusarvo on ääretön. Tämä on esimerkki ns. Pietarin paradoksista (St. Petersburg paradox)
Lauseista seuraa käyttökelpoisia tuloksia odotusarvolle.
Lause 3.2.4
Jos X_1,X_2,\ldots,X_n ovat satunnaismuuttujia, sekä a_1, a_2, \ldots, a_n \in \R, niin odotusarvo
Tätä kutsutaan odotusarvon lineaarisuusominaisuudeksi.
Erityisesti satunnaismuuttujien X,Y funktion aX+bY,\ a,b\in\R odotusarvo
ja
Muiden kuin lineaaristen muunnosten kohdalla odotusarvo ei säilytä muunnoksen rakennetta. Esimerkiksi \rE(X^2)\neq \rE(X)^2, kuten seuraavassa lauseessa todetaan. Tämä lause antaa toisen tavan laskea satunnaismuuttujan varianssi ja on käyttökelpoinen tulos joidenkin myöhempien tulosten osoittamisessa.
Lause 3.2.5
Satunnaismuuttujan X varianssi
Sekä diskreetissä että jatkuvassa tapauksessa muuttujan X varianssi on lausekkeen (X - \rE(X))^2 odotusarvo. Luvut \rE(X) ja \rE(X^2) ovat vakioita, jolloin
Esimerkki 3.2.6
Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan X tiheysfunktio
Nyt
joten \Var(X) = 10 - 3^2 = 1.
Esimerkki 3.2.7
Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio
Aiemmassa esimerkissä 3.1.6 saatiin \rE(X)=\frac{2}{3}, ja tämän lisäksi
Siis \Var(X) = \dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{18}.
Myös satunnaismuuttujien X,Y lineaarisen muunnoksen varianssille voidaan osoittaa vastaava tulos. Varianssin kohdalla kuitenkin edellytetään satunnaismuuttujien riippumattomuutta.
Lause 3.2.8
Jos satunnaismuuttujat X_1,X_2,\ldots,X_n ovat riippumattomia ja a_1, a_2, \ldots, a_n vakioita, niin
Erityisesti, jos X ja Y ovat riippumattomia ja a,b ovat vakioita, niin
Yhden satunnaismuuttujan X funktion aX + b varianssi on
Esimerkki 3.2.9
Olkoon satunnaismuuttujat X,Y ovat riippumattomia, joille \rE(X)=3, \rE(Y)=-2, \Var(X)=4 ja \Var(Y)=9
Nyt
ja
Edellä olevat odotusarvot olisivat samat, vaikka satunnaismuuttujat eivät olisi riippumattomia. Sen sijaan variansseja laskettaessa riippumattomuus on oleellinen. Samojen muunnosten varianssit ovat
ja
Ensimmäisessä kohdassa vakion lisääminen tai luvulla -1 kertominen ei muuta varianssia. Huomaa myös, että \Var(X+X)=\Var(2X)= 2^2\Var(X)=4\Var(X) eikä suinkaan 2\Var(X), sillä X ja X eivät tietenkään ole riippumattomia, vaan ne ovat täydellisesti riippuvia.
Keskihajonnat ovat \rD(X)=\sqrt{\Var(X)}=\sqrt4 =2 ja \rD(Y)=\sqrt{\Var(Y)}=\sqrt9 =3. Jos halutaan laskea, mitä on \rD(3X-Y), täytyy ensin laskea varianssi kuten edellä ja sen avulla \rD(3X-Y)=\sqrt{\Var(3X-Y)}=\sqrt{45}. Keskihajonnalle ei siis ole vastaavaa lineaarisen muunnoksen kaavaa.