$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Satunnaismuuttujien riippumattomuus

Määritelmä 2.6.1

Satunnaismuuttujat $X$ ja $Y$ ovat riippumattomia, jos

$$P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)P(Y \in B)$$

aina, kun $A \subseteq \Omega_X$ ja $B \subseteq \Omega_Y$.

Satunnaismuuttujien $X$ ja $Y$ riippumattomuudella tarkoitetaan siis sitä, että kaikki niihin erikseen liittyvät osatapahtumat ovat pareittain riippumattomia. Täten riippumattomilla satunnaismuuttujilla on seuraava intuitiivinen ominaisuus: tieto toisen muuttujan saamasta arvosta ei vaikuta toiseen muuttujaan liittyviin todennäköisyyksiin. Esimerkiksi satunnaisesti valitun ihmisen pituus ja sosiaaliturvatunnuksen alkuosan neljä ensimmäistä merkkiä voidaan varsin suurella tarkkuudella olettaa riippumattomiksi.

Esimerkki 2.6.2

Ovatko aiemman esimerkin 2.5.1 satunnaisvektorin $(X, Y)$ komponentit riippumattomia?

Piilota/näytä ratkaisu

Valitaan esimerkiksi joukot $A=\{0\} \subseteq \Omega_X$ ja $B=\{0\} \subseteq \Omega_Y$. Todennäköisyydet

$$\begin{split}\begin{aligned} P(X \in A) &= f(0, 1) + f(0, 2) = \frac{1}{12}((0 + 2 \cdot 1) + (0 + 2 \cdot 2)) = \frac{1}{2} \\ P(Y \in B) &= f(1, 0) + f(2, 0) = \frac{1}{12}((1 + 2 \cdot 0) + (2 + 2 \cdot 0)) = \frac{1}{4}, \\ P(X \in A, Y \in B) &= f(0, 0) = 0 \end{aligned}\end{split}$$

joten $P(X \in A, Y \in B) = 0 \not= \frac{1}{8} = P(X \in A)P(Y \in B)$. Koska riippumattomuuden määritelmän mukaan yhtäsuuruus pitäisi olla voimassa kaikilla joukoilla $A \subseteq \Omega_X$ ja $B \subseteq \Omega_Y$, niin satunnaismuuttujat $X$ ja $Y$ eivät ole riippumattomia.

Question 1

Heitetään noppaa viisi kertaa ja merkitään ensimmäisen kolmen heiton aikana kerättyä silmälukujen summaa satunnaismuuttujalla $X$ ja kolmen viimeisen heiton aikana kerättyä silmälukujen summaa satunnaismuutujalla $Y$.

Mikä seuraavista väittämistä on väärin?

$P(X = 9 \cap Y = 7) \neq P(X = 9) P(Y = 7)$

Satunnaismuuttujat $X$ ja $Y$ ovat riippumattomia.

Satunnaismuuttujan $X$ arvo ei vaikuta satunnaismuuttujan $Y$ arvoon.

Diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa riippuvuus voidaan osoittaa edellisen esimerkin menetelmällä, jossa etsitään yksi joukkopari, jolle riippumattomuuden määrittelevä yhtäsuuruus ei ole voimassa. Riippumattomuuden osoittamiseksi pitäisi osoittaa, että $f(x_i, y_j)=f_1(x_i)f(y_j)$ kaikilla otosavaruuden alkeistapauksilla $x_i\in\Omega_X$ ja $y_j\in\Omega_Y$ alkeistapaukset, mikä on äärellisissä otosavaruuksissa mahdollista, joskin työlästä. Tämä sama idea siirtyy myös jatkuviin satunnaismuuttujiin, joiden kohdalla riippumattomuuden pystyy selvittämään seuraavan lauseen avulla.

Lause 2.6.3

Satunnaisvektorin $(X, Y)$, jonka tiheysfunktio on $f(x,y)$, komponentit ovat riippumattomia, jos ja vain jos

$$f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$$

missä $f_1(x)$ ja $f_2(y)$ ovat komponenttien $X$ ja $Y$ marginaalijakaumien tiheysfunktiot.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan väite kahdessa osassa tapauksessa, jossa kaikki tiheysfunktiot ovat jatkuvia.

1. Oletetaan, että satunnaismuuttujat $X$ ja $Y$ ovat riippumattomia. Tällöin riippumattomuuden määritelmän nojalla

   $$F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y) = P(X \leq y)P(Y \leq y) = F_1(x)F_2(y),$$

   missä $F(x, y)$ on satunnaisvektorin $(X, Y)$ kertymäfunktio, sekä $F_1(x)$ ja $F_2(y)$ komponenttien $X$ ja $Y$ marginaalijakaumien kertymäfunktiot. Osittaisderivoimalla puolittain nähdään, että

   $$f(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial y\partial x}F(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(F_1'(x)F_2(y)) = F_1'(x)F_2'(y) = f_1(x)f_2(y),$$

   sillä jatkuvan tiheysfunktio on kertymäfunktion derivaatta.

2. Oletetaan, että $f(x, y) = f_1(x)f_2(y)$. Jos nyt $A \subseteq \Omega_X$ ja $B \subseteq \Omega_Y$, niin

   $$\begin{split}\begin{aligned} P(X \in A, Y \in B) &= \int_A\left(\int_B f(x, y)\,\rd y\right)\rd x = \int_A\left(\int_B f_1(x)f_2(y)\,\rd y\right)\rd x \\ &= \left(\int_A f_1(x)\,\rd x\right)\left(\int_B f_2(y)\,\rd y\right) = P(X \in A)P(Y \in B), \end{aligned}\end{split}$$

   joten satunnaismuuttujat $X$ ja $Y$ ovat riippumattomia.

Huomautus 2.6.4

Joskus voi olla kiinnostavaa selvittää yhteisjakauman $(X, Y)$ tiheysfunktio $f(x, y)$, kun muuttujien $X$ ja $Y$ tiheysfunktiot $f_1(x)$ ja $f_2(y)$ tunnetaan. Riippumattomien muuttujien tapauksessa tämä tapahtuu yksinkertaisesti edellisen lauseen avulla: tällöin $f(x, y) = f_1(x)f_2(y)$.

Esimerkki 2.6.5

Satunnaiskoe, jonka mittaustuloksen tiheysfunktio on

$$g(x) = 2x, \qquad\text{kun } 0 \leq x \leq 1,$$

toistetaan kahdesti. Erilliset mittaustulokset $X$ ja $Y$ ovat riippumattomia. Laske todennäköisyys $P(X + Y \leq 1)$.

Piilota/näytä ratkaisu

Koska muuttujat $X$ ja $Y$ ovat riippumattomia, yhteisjakauman $(X, Y)$ tiheysfunktio on

$$\begin{split}f(x, y) = g(x)g(y) = \begin{cases} 4xy, & \text{kun } 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{muulloin}. \end{cases}\end{split}$$

Tapahtuman $\{(x, y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 - x\}$ todennäköisyys on tällöin

$$\begin{split}\begin{array}{rcl} P(X+Y\leq1) &=& \displaystyle\int_0^1\left(\int_0^{1-x}4xy\,\rd y\right)\rd x = \int_0^1\left(\sij{0}{1-x}2xy^2\right)\rd x \\ &=& \displaystyle\int_0^1(2x^3-4x^2+2x)\,\rd x = \sij{0}{1}\left(\frac{1}{2}x^4-\frac{4}{3}x^3+x^2\right)\\ &=& \displaystyle\frac{1}{2}-\frac{4}{3}+1 = \frac{1}{6}. \end{array}\end{split}$$

Satunnaismuuttujien riippumattomuuden käsite yleistyy koskemaan useampaa kuin kahta muuttujaa vastaavasti, kuin tapahtumien riippumattomuus yleistyy useammalle kuin kahdelle tapahtumalle.

Määritelmä 2.6.6

Satunnaismuuttujat $X_1, X_2, \ldots, X_p$ ovat riippumattomia, jos kaikille otosavaruuksien osajoukoille $A_1 \subseteq \Omega_{X_1}, A_2 \subseteq \Omega_{X_2}, \ldots, A_p \subseteq \Omega_{X_p}$ on voimassa

$$P(X_1 \in A_1, X_2 \in A_2, \ldots, X_p \in A_p) = P(X_1 \in A_1)P(X_2 \in A_2) \cdots P(X_p \in A_p).$$

Huomautus 2.6.7

Sovelluksissa satunnaismuuttujien riippumattomuuden selvittäminen saattaa olla vaikeata. Tyypillisesti satunnaismuuttujat oletetaan riippumattomiksi, jos ei ole näyttöä niiden riippuvuudesta.

Esitetään lopuksi tärkeä tulos riippumattomien satunnaismuuttujien funktioiden riippumattomuudesta.

Lause 2.6.8

Olkoot satunnaismuuttujat $X_1, X_2, \ldots, X_p$ riippumattomia, sekä

$$Y_1 = h_1(X_1), \qquad Y_2 = h_2(X_2), \qquad \ldots,\qquad Y_p=h_p(X_p).$$

Tällöin satunnaismuuttujat $Y_1, Y_2, \ldots, Y_p$ ovat riippumattomia.

Piilota/näytä todistus

Valitaan osajoukot $A_i \subseteq \Omega_{Y_i}$, $i = 1, 2, \ldots, p$, jolloin niitä vastaavat jotkin joukot $B_i = h_i^{-1}(A_i)$, $i = 1, 2, \ldots, p$, joille $X_i \in B_i$ jos ja vain jos $Y_i \in A_i$. Tällöin

$$\begin{split}\begin{aligned} P(Y_1 \in A_1, Y_2 \in A_2, \ldots, Y_p \in A_p) &= P(X_1 \in B_1, X_2 \in B_2, \ldots, X_p \in B_p)\\ &= P(X_1 \in B_1)P(X_2 \in B_2) \cdots P(X_p \in B_p)\\ &= P(Y_1 \in A_1)P(Y_2 \in A_2) \cdots P(Y_p \in A_p), \end{aligned}\end{split}$$

ja satunnaismuuttujat $Y_1, Y_2, \ldots, Y_p$ ovat riippumattomia.

Huomautus 2.6.9

Mikä tahansa riippumattomista satunnaismuuttujista $X_1, X_2, \ldots, X_p$ koostuva kokoelma muuttujia on myös riippumaton.

Palautusta lähetetään...