$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Tapahtumien riippumattomuus

Tapahtumien riippumattomuudella tarkoitetaan epämuodollisesti sitä, että niiden realisoitumiset eivät vaikuta toisiinsa. Täsmällisesti riippumattomuus voidaan määritellä seuraavalla tavalla.

Määritelmä 1.6.1

Saman otosavaruuden tapahtumat $A$ ja $B$ ovat tilastollisesti riippumattomia (statistically independent), eli riippumattomia, jos

$$P(A\cap B)=P(A)P(B).$$

Muistamalla ehdollisen todennäköisyyden ja kertolaskusäännön tälle saadaan välitön seuraus.

Seuraus 1.6.2

Jos $A, B \subseteq \Omega$ ja $P(B)>0$, niin tapahtumat $A$ ja $B$ ovat riippumattomia täsmälleen silloin, kun

$$P(A\mid B)=P(A).$$

Riippumattomille tapahtumille siis toisen realisoituminen ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen, eli määritelmä vastaa arkista intuitiota riippumattomuudesta. Kaikissa tilanteissa riippumattomuudelle ei kuitenkaan välttämättä löydy selvää tulkintaa.

Esimerkki 1.6.3

Tarkastellaan nopanheittoa, missä $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Olkoot tapahtumat $A=\{1,2\}$ ja $B=\{x \in \Omega : x = 2n, n \in \Z\}=\{2,4,6\}$, jolloin määritelmän mukaan ne ovat riippumattomia, sillä

$$P(A\cap B)=P(\{2\})=\frac{1}{6} = \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{6} = P(A)P(B).$$

Esimerkki 1.6.4

Osoitetaan, että jos $A$ ja $B$ ovat riippumattomia, niin myös $A$ ja $\overline{B}$ ovat riippumattomia. Oletuksen mukaan siis $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Nyt tapahtumat $A \cap \overline{B}$ ja $A \cap B$ ovat erilliset, joten

$$P(A \cap \overline{B}) + P(A \cap B) = P((A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B)) = P(A)$$

ja täten

$$\begin{split}\begin{aligned} P(A\cap\overline{B}) &= P(A)-P(A\cap B)\\ &= P(A)-P(A)P(B)\\ &= P(A)(1-P(B))\\ &= P(A)P(\overline{B}). \end{aligned}\end{split}$$

Siis myös tapahtumat $A$ ja $\overline{B}$ ovat riippumattomia.

Question 1

Oletetaan, että otosavaruuden $\Omega$ ositus on tehty pareittain erillisesti, siis $\Omega = \bigcup_{i=1}^N A_i$, missä $A_n \cap A_m = \varnothing$ jos $m \neq n$. Ovatko tapahtumat $A_n$ ja $A_m$ tällöin varmasti riippumattomia?

Kyllä

Ei

Useamman kuin kahden tapahtuman riippumattomuus määritellään seuraavasti.

Määritelmä 1.6.5

Tapahtumat $A_1,A_2,\ldots,A_n \subseteq \Omega$ ovat riippumattomia, jos jokaiselle näiden tapahtumien joukon osajoukolle $\{A_{i_1},A_{i_2},\ldots,A_{i_m}\}$, $m\leq n$ on voimassa

$$P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\cdots\cap A_{i_m})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_m}).$$

Esimerkki 1.6.6

Tapahtumat $A_1$, $A_2$ ja $A_3$ ovat riippumattomia, jos ne ovat pareittain riippumattomia ja $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$.

Huomautus 1.6.7

Tapahtumien riippumattomuus säilyy, jos jo(t)kin tapahtuma(t) korvataan komplement(e)illaan.

Huomautus 1.6.8

Käytännössä, jos ei ole mitään näyttöä tapahtumien riippuvuudesta, tapahtumat oletetaan lähtökohtaisesti riippumattomiksi. Tällöin siis tapahtumien leikkauksien todennäköisyys on tapahtumien todennäköisyyksien tulo.

Esimerkki 1.6.9

Oikolukija A löytää kirjasta 84 kirjoitusvirhettä ja oikolukija B 96 virhettä. Kun oikolukijat vertaavat virheitään, huomaavat he löytäneensä 67 samaa virhettä. Jos oletetaan, että A ja B huomaavat virheet toisistaan riippumattomasti, niin kuinka monta virhettä kirjassa on ja kuinka monta jäi löytymättä?

Oletetaan, että kirjassa on $N$ virhettä. Merkitään tapahtumia $A=$‘A löytää virheen’ ja $B=$‘B löytää virheen’. Nyt

$$P(A)=\frac{84}{N},\ P(B)=\frac{96}{N}, \ P(A\cap B)=\frac{67}{N}$$

Jos $A$ ja $B$ ovat riippumattomia

$$\begin{split}\begin{array}{rcl} P(A\cap B)&=&\frac{67}{N}= P(A)P(B)=\frac{84}{N}\cdot \frac{96}{N} = \frac{8064}{N^2} \\ \ &\Rightarrow& N=\frac{8064}{67}=120.35 \approx 120 \end{array}\end{split}$$

Kirjassa on siis 120 virhettä. A ja B löysivät yhdessä $84+96-67=113$ eri virhettä, joten 7 virhettä jäi löytymättä.

Esimerkki 1.6.10

Arvion mukaan tietyllä alueella tapahtuu ainakin yksi merkittävä maanjäristys seuraavan 30 vuoden aikana todennäköisyydellä 0.87. Jos oletetaan, että maanjäristykset tapahtuvat toisistaan riippumattomasti, niin millä todennäköisyydellä tällainen maanjäristys tapahtuu seuraavan vuoden aikana.

Olkoon tapahtuma $A_i=$‘Ainakin yksi merkittävä maanjäristys tapahtuu vuoden $i$ aikana.’ 30 vuoden aikana tapahtuu ainakin yksi maanjäristys todennäköisyydellä

$$P(A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_{30}) = 0.87$$

Käytetään tämän tapahtuman komplementtitapahtumaa ja De Morganin sääntöä, jolloin

$$P(\overline{A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_{30}}) = P(\overline{A_1}\cap \overline{A_2} \cap \cdots \cap \overline{A_{30}})=1-0.87=0.13$$

Oletetaan, että todennäköisyys $P(A_i)$ ovat sama jokaisena vuotena ja tapahtumat $A_i$ ovat riippumattomia. Koska tapahtumat $P(A_i)$ ovat riipumattomia, niin myös niiden komplementit ovat riippumattomia ja

$$\begin{split}\begin{array}{rcl} P(\overline{A_1}\cap \overline{A_2} \cap \cdots \cap \overline{A_{30}})&=& P(\overline{A_1}) P(\overline{A_2})\cdots P(\overline{A_{30}}) =P(\overline{A_1})^{30}=0.13 \\&\Rightarrow& P(\overline{A_1})= 0.13^{1/30}\\ &\Rightarrow& P(A_1)= 1- 0.13^{1/30} = 0.066 \end{array}\end{split}$$

Todennäköisyys, että ainakin yksi merkittävä maanjäristys tapahtuu seuraavan vuoden aikana on $0.066$

Palautusta lähetetään...