\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Sarake- ja nolla-avaruus

Määritelmä 3.7.1

Oletetaan, että \(A \in \R^{m \times n}\). Matriisin \(A\) sarakeavaruus on joukko

\[\cR(A) = \{\by \in \R^m \mid \by = A\bx, \text{ jollakin } \bx \in \R^n\}.\]

Sarake-avaruutta kutsutaan myös kuva-avaruudeksi. Jos matriisia ajattelee kuvauksena, koostuu sarakeavaruus kaikista niistä maalijoukon vektoreista, joille kuvautuu jotain. Kyseessä on siis matriisia vastaavan kuvauksen kuvajoukko.

Esimerkki 3.7.2

Tutkitaan sarakeavaruuden käsitettä matriisin

\[\begin{split}A = \begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix}\end{split}\]

avulla. Kertomalla mitä tahansa avaruuden \(\R^4\) vektoria matriisilla \(A\), saadaan aikaiseksi sarakeavaruuden alkio. Koska

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{r} 1 \\ -1\\ 3\\ 2 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{r} 5\\ -8 \end{augmatrix},\end{split}\]

esimerkiksi vektori \((5,-8)\) on matriisin \(A\) sarake-avaruudessa.

Esimerkki 3.7.3

Jos matrisiit tulkitsee kuvauksiksi kuten aiemmassa luvussa, voi sarakeavaruuden päätellä kuvan avulla. Esimerkiksi aliluvussa esitetty projektiomatriisi \(P\) kuvaa tason vektorit vaaka-akselille ja jokaiselle vaaka-akselin pisteelle projisoituu jotakin. Siten sarakeavaruus on vaaka-akseli, eli \(\cR(P)=\{(a,0) \mid a \in \R\}\).

Kiertomatriisin \(C\) sarakeavaruus on puolestaan koko avaruus \(\R^2\), sillä jokaiselle tason vektorille kuvautuu kiertossa jokin toinen vektori. Siten \(\cR(C)=\R^2\).

Määritelmä 3.7.4

Oletetaan, että \(A \in \R^{m \times n}\). Matriisin \(A\) nolla-avaruus on joukko

\[\cN(A) = \{\bx \in \R^n \mid A\bx = \bzero\}.\]

Nolla-avaruutta kutsutaan myös ytimeksi. Jos matriisia ajattelee kuvauksena, koostuu nolla-avaruus kaikista niistä lähtöjoukon vektoreista, jotka kuvautuvat nollavektorille.

Esimerkki 3.7.5

Esimerkiksi vektori \(\bx=\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{4},1,0\right)\) on matriisin

\[\begin{split}A = \begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{augmatrix}\end{split}\]

nolla-avaruudessa, sillä

\[\begin{split}A\bx=\begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{r} -\frac{3}{2} \\ -\frac{1}{4}\\ 1\\ 0 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 0\\ 0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Vektori \(\bv=\left(1,2,0,1\right)\) puolestaan ei ole matriisin \(A\) nolla-avaruudessa, sillä

\[\begin{split}A\bv=\begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} 1 \\ 2\\ 0\\ 1 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{r} 5\\ -2 \end{augmatrix}\neq \begin{augmatrix}{c} 0\\ 0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Esimerkki 3.7.6

Jos matriisit tulkitsee kuvauksiksi kuten aiemmassa luvussa, voi nolla-avaruuden päätellä kuvan avulla. Esimerkiksi aliluvussa esitetty projektiomatriisi \(P\) kuvaa nollavektoriksi kaikki pystyakselin pisteet eli muotoa \((0,a)\) olevat vektorit, missä \(a \in \R\). Siten \(\cN(P)=\{(0,a) \mid a \in \R\}\).

Kiertomatriisin \(C\) nolla-avaruudessa puolestaan ei ole mitään muuta kuin nollavektori, sillä mikään nollavektorista poikkeava vektori ei kuvaudu kierrossa nollavektorille. Siten \(\cN(C)=\{(0,0)\}\).

Jos \(m \times n\)-matriisi \(A\) esitetään sarakkeidensa \(\ba_1, \ba_2, \ldots, \ba_n\) avulla ja \(\bx \in \R^n\), niin

\[\begin{split}A\bx = \begin{augmatrix}{cccc} \ba_1 & \ba_2 & \cdots & \ba_n \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{augmatrix} = x_1\ba_1 + x_2\ba_2 + \cdots + x_n\ba_n.\end{split}\]

Vektori \(\bx\) on matriisin \(A\) nolla-avaruudessa täsmälleen silloin, kun sen komponentit toteuttavat vektoriyhtälön

\[x_1\ba_1 + x_2\ba_2 + \cdots + x_n\ba_n = \nv.\]

Vektori \(\by\) on puolestaan matriisin \(A\) sarakeavaruudessa täsmälleen silloin, kun

\[\by = x_1\ba_1 + x_2\ba_2 + \cdots + x_n\ba_n\]

jollakin \(\bx \in \R^n\). Sen täytyy siis olla matriisin \(A\) sarakkeiden lineaarikombinaatio. Matriisin \(A\) sarakeavaruus koostuukin kaikista sarakkeiden \(\ba_1, \ba_2, \ldots, \ba_n\) lineaarikombinaatioista.

Valitse epätosi väite.
  • Matriisi on lukutaulukko.
  • Matriiseja voi laskea yhteen, kertoa reaaliluvuilla ja kertoa keskenään.
  • Matriisien laskutoimituksille pätevät monet samat laskusäännöt, kuin reaalilukujen laskutoimituksille, mutta poikkeuksiakin on erityisesti tulon kohdalla. Matriisitulo ei esimerkiksi ole vaihdannainen eikä tulon nollasääntö päde.
  • Joillekin matriiseille löytyy käänteismatriisi. Käänteismatriisit vastaavat käänteislukuja. Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on ykkösmatriisi.
  • Matriiseja voidaan ajatella kuvauksina, jotka kuvaavat vektoreita. Tällöin matriisien kertolasku vastaa kuvausten yhdistämistä.
Palautusta lähetetään...

Palautus on vastaanotettu.