\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}}\]

Tasot

Pohdi 2.2.1

Jasmin lentää taikamatollaan, jota voi ohjailla vektorien \((1,0,0)\) ja \((0,1,0)\) suuntaisesti (eteen ja taaksepäin).

  1. Jasmin lähtee kotipalatsistaan, joka on koordinaatiston pisteessä \((0,0,0)\). Minne kaikkialle Jasmin voi matollaan päästä? Hahmottele tilanteesta kuva.
  2. Jasmin lähtee naapurikaupungista, jonka koordinaatit ovat \((-2,1,1)\). Minne kaikkialle Jasmin voi tällä kertaa matollaan päästä? Hahmottele tilanteesta kuva.

Vektoriavaruuksissa voidaan määritellä tasot samaan tapaan kuin suorat. Nyt tarvitaan paikkavektorin lisäksi kaksi suuntavektoria.

Määritelmä 2.2.2

Vektoriavaruuden \(\R^n\) taso on joukko

\[\{\bp+s\bv+t\bw \mid s,t \in \R\},\]

missä \(\bp \in \R^n\), \(\bv,\bw \in \R^n \setminus \{\nv\}\) ja vektorit \(\bv\) ja \(\bw\) eivät ole yhdensuuntaiset. Vektoria \(\bp\) kutsutaan tason paikkavektoriksi ja vektoreita \(\bv\) ja \(\bw\) tason suuntavektoreiksi.

Tason yhtälö on

\[\bx=\bp+s\bv+t\bw.\]

Tason suuntavektorit eivät saa olla yhdensuuntaisia. Jos ne nimittäin olisivat yhdensuuntaisia, olisi edellisen määritelmän joukko pelkkä suora.

Kuten suorien tapauksessa, tason alkioita voidaan ajatella pisteinä. Olkoon \(T\) vektoriavaruuden \(\R^3\) taso. Sanotaan, että piste \((a,b,c)\) on tasossa \(T\) tai että taso \(T\) kulkee pisteen \((a,b,c)\) kautta, jos \((a,b,c) \in T\). Tasoa ja siinä olevaa pistettä on havainnollistettu kuvassa 1. Vastaavia ilmauksia käytetään vektoriavaruudessa \(\R^n\).

../_images/kuva28.svg

Kuva 1. Piste \((a,b,c)\) on tasossa \(T\).

Esimerkki 2.2.3

Määritetään pisteiden \(A = (0,1,0)\), \(B = (-1,3,2)\) ja \(C = (-2,0,1)\) kautta kulkeva taso \(T\). Valitaan ensin tason paikkavektori. Esimerkiksi tason pisteen \(A\) paikkavektori \(\pv{OA} = (0,1,0)\) käy tähän tarkoitukseen. Lisäksi tarvitaan tason suuntaiset suuntavektorit:

\[\pv{AB}=\pv{OB}-\pv{OA}=(-1,2,2) \quad \text{ja} \quad \pv{AC}=\pv{OC}-\pv{OA}=(-2,-1,1).\]

Tilannetta on havainnollistettu kuvassa 2. On vielä tarkistettava, että vektorit \(\pv{AB}\) ja \(\pv{AC}\) eivät ole yhdensuuntaiset, sillä muutoin kyseessä ei ole taso. Tämä jätetään harjoitustehtäväksi lukijalle.

../_images/tasoPisteidenKautta.jpg

Kuva 2. Taso \(T\) kulkee pisteiden \(A\), \(B\) ja \(C\) kautta.

Näin saadaan taso

\[\begin{split} T & = \bigl\{\pv{OA} + s\pv{AB} + t\pv{AC} \mid s,t \in \R\bigr\} = \{(0,1,0)+ s(-1,2,2)+ t(-2,-1,1) \mid s,t \in \R\}. \end{split}\]

Tason yhtälö on

\[\bx=(0,1,0)+ s(-1,2,2)+ t(-2,-1,1).\]

Tarkistetaan vielä, että pisteet \(A\), \(B\) ja \(C\) tosiaankin ovat tasossa \(T\). Huomataan, että

\[\begin{split}\begin{aligned} A&=(0,1,0)+0(-1,2,2)+0(-2,-1,1), \\ B&=(0,1,0)+1(-1,2,2)+0(-2,-1,1) \quad \text{ja} \\ C&=(0,1,0)+0(-1,2,2)+1(-2,-1,1). \end{aligned}\end{split}\]

Siten \(T\) on taso, joka kulkee pisteiden \(A\), \(B\) ja \(C\) kautta.

Edellisessä esimerkissä käytetty menetelmä toimii yleisemminkin. Jos taso halutaan kirjoittaa muodossa \(\{\bp+s\bw + t\bv \mid s, t \in \R\}\), paikkavektoriksi \(\bp\) voidaan valita tason minkä tahansa pisteen paikkavektori. Suuntavektoreiksi \(\bw\) ja \(\bv\) voidaan valita mitkä tahansa tason suuntaiset vektorit, kunhan \(\bw\) ja \(\bv\) eivät ole yhdensuuntaiset. Taso on siis mahdollista kirjoittaa usealla eri tavalla joukkona \(\{\bp+s\bw + t\bv \mid s, t \in \R\}\). Tilannetta on havainnollistettu kuvassa 3.

../_images/kuva28b.svg
../_images/kuva29.svg

Kuva 3. Taso voidaan kirjoittaa eri tavoin joukkona \(\{\bp+s\bw + t\bv \mid s, t \in \R\}\).

Kuten suoran yhtälön myös tason yhtälön voi myös kirjoittaa parametrimuodossa, jossa listataan yhtälöt, jotka pätevät tason alkioiden komponenteille. Esimerkiksi tason yhtälö \(\bx=(0,1,0)+ s(-1,2,2)+ t(-2,-1,1)\) parametrimuoto on

\[\begin{split}\begin{cases} x_1=-s-2t \\ x_2=1+2s-t \\ x_3=2s+t. \end{cases}\end{split}\]

Samaan tapaan kuin avaruuden \(\R^2\) suorien tapauksessa, avaruuden \(\R^3\) tasot voidaan kirjoittaa normaalivektorin avulla.

Määritelmä 2.2.4

Olkoon \(T\) avaruuden \(\R^3\) taso. Vektoria, joka on kohtisuorassa tason \(T\) suuntavektoreita vastaan, kutsutaan tason normaalivektoriksi.

Normaalivektoria kutsutaan myös lyhyesti normaaliksi.

../_images/kuva71.svg

Kuva 4. Tason normaalivektori \(\bn\).

Esimerkki 2.2.5

Vektori \((3,20,12)\) on tason

\[T=\{s(4,0,-1)+t(0,3,-5) \mid s,t \in \R\}\]

normaalivektori, sillä \((3,20,12) \cdot (4,0,-1)=0\) ja \((3,20,12) \cdot (0,3,-5)=0\). Vektori \((3,20,12)\) on itse asiassa kohtisuorassa kaikkia tason \(T\) vektoreita vastaan, sillä

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{augmatrix}{c} 3 \\ 20 \\ 12 \end{augmatrix} \cdot \left(s \begin{augmatrix}{r} 4 \\ 0 \\ -1 \end{augmatrix} + t \begin{augmatrix}{r} 0 \\ 3 \\ -5 \end{augmatrix}\right) &= \begin{augmatrix}{c} 3 \\ 20 \\ 12 \end{augmatrix} \cdot \left(s \begin{augmatrix}{r} 4 \\ 0 \\ -1 \end{augmatrix}\right) + \begin{augmatrix}{c} 3 \\ 20 \\ 12 \end{augmatrix} \cdot \left(t \begin{augmatrix}{r} 0 \\ 3 \\ -5 \end{augmatrix}\right) \\ &= s\left( \begin{augmatrix}{c} 3 \\ 20 \\ 12 \end{augmatrix} \cdot \begin{augmatrix}{r} 4 \\ 0 \\ -1 \end{augmatrix}\right) + t\left( \begin{augmatrix}{c} 3 \\ 20 \\ 12 \end{augmatrix} \cdot \begin{augmatrix}{r} 0 \\ 3 \\ -5 \end{augmatrix}\right) \\ &= s \cdot 0 + t \cdot 0 = 0. \end{aligned}\end{split}\]

Vektori \((3,20,12)\) on myös tason

\[U=\{(0,-14,-7)+s(4,0,-1)+t(0,3,-5) \mid s,t \in \R\}\]

normaali, sillä se on kohtisuorassa tämänkin tason suuntavektoreita vastaan:

\[(3,20,12) \cdot (4,0,-1)=0 \quad \text{ja} \quad (3,20,12) \cdot (0,3,-5)=0.\]

Vektori \((3,20,12)\) ei kuitenkaan ole kohtisuorassa mitään tason \(U\) vektoria vastaan. (Tämän tarkistaminen jätetään lukijalle.) Erona edelliseen tapaukeen on se, että taso \(U\) ei kulje origon kautta.

Määritelmänsä mukaan normaalivektori on kohtisuorassa tason suuntavektoreita vastaan. Jos taso kulkee origon kautta, tason normaalivektori on kohtisuorassa kaikkia tason vektoreita vastaan. Taso koostuu täsmälleen niistä vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa normaalia vastaan. Toisin sanoen, jos \(\bn\) on origon kautta kulkevan tason \(T\) normaali, piste \(\bx\) on tasossa \(T\), jos ja vain jos

\[\bn\cdot\bx=0.\]

Jos taso ei kulje origon kautta, saa tason yhtälö hiukan toisen muodon. Oletetaan, että \(T\) on avaruuden \(\R^3\) taso, jonka paikkavektori on \(\bp\) ja jolla on normaalivektori \(\bn\). Tällöin \(\bx\) on tasossa \(T\), jos ja vain jos

\[\bn \cdot (\bx-\bp) = 0.\]

Tilannetta on havainnollistettu kuvassa 5.

Määritelmä 2.2.6

Avaruuden \(\R^3\) tason yhtälön normaalimuoto on

\[\bn \cdot (\bx-\bp) = 0,\]

missä \(\bp\) on tason paikkavektori ja \(\bn\) normaalivektori.

Tason yhtälön normaalimuodon voi kirjoittaa myös muodossa \(\bn \cdot \bx=\bn \cdot \bp\)

../_images/kuva38.svg

Kuva 5. Tason \(T\) normaalimuotoisen yhtälön havainnollistus.

Esimerkki 2.2.7

Oletetaan, että avaruuden \(\R^3\) taso \(T\) kulkee pisteen \(P=(6,0,1)\) kautta ja sillä on normaalivektori \(\bn=(1,2,3)\). Tason \(T\) normaalimuotoinen yhtälö on tällöin

\[(1,2,3) \cdot \bigl(\bx - (6,0,1)\bigr) = 0.\]

Tasossa \(T\) ovat siis täsmälleen ne pisteet \(\bx\), jotka toteuttavat edellä esitetyn yhtälön. Toisin sanoen

\[T=\{\bx \in \R^3 \mid (1,2,3) \cdot (\bx - (6,0,1)) = 0\}.\]

Kirjoitetaan yhtälö vielä hiukan toisenlaisessa muodossa. Merkitään \(\bx=(x,y,z)\), missä \(x,y,z \in \R\). Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} (1,2,3) \cdot (\bx - (6,0,1))&=(1,2,3) \cdot (x-6,y-0,z-1)\\ &=x-6+2y+3z-3 \\ &=x+2y+3z-9. \end{aligned}\end{split}\]

Tason normaalimuotoinen yhtälö saa siis muodon \(x+2y+3z-9=0\), ja voidaan kirjoittaa \(T=\{\bx \in \R^3 \mid x+2y+3z-9=0\}\).

Edellisestä esimerkkejä mukaillen voidaan osoittaa, että tason yhtälön voi aina muuttaa muotoon

\[ax+by+cz=d,\]

missä \(a,b,c,d \in \R\). Tätä kutsutaan tason yhtälön yleiseksi muodoksi.

Esimerkki 2.2.8

Määritetään normaalimuotoinen yhtälö tasolle \(T\), joka kulkee pisteiden \(A = (0,1,0)\), \(B = (-1,3,2)\) ja \(C = (-2,0,1)\) kautta. Tätä varten tarvitaan tason \(T\) normaalivektori eli vektori, joka on kohtisuorassa tason suuntavektoreita vastaan. Valitaan suuntavektoreiksi \(\pv{AB} = (-1,2,2)\) ja \(\pv{AC} = (-2,-1,1)\), jolloin normaaliksi käy lauseen 1.5.4 perustella vektorien ristitulo \(\pv{AB} \times \pv{AC} = (4,-3,5)\).

Lisäksi tarvitaan jokin tason paikkavektori, kuten esimerkiksi \(\pv{OA}=(0,1,0)\). Kun merkitään vielä \(\bx=\pv{OX}=(x,y,z)\), tason normaalimuotoiseksi yhtälöksi saadaan esimerkin 2.2.7 mukaisesti

\[(\underbrace{\pv{AB} \times \pv{AC}}_{\text{normaalivektori}})\cdot(\pv{OX}-\pv{OA})=0.\]

Tilannetta on havainnollistettu kuvassa 6.

Kun normaalimuotoiseen yhtälöön sijoitetaan luvut, se saadaan muotoon

\[(4,-3,5)\cdot(x,y-1,z)=0.\]

Laskemalla pistetulo saa yhtälö muodon \(4x-3y+5z+3 = 0\). Näin ollen

\[T=\{(x,y,z) \in \R^3 \mid 4x - 3y + 5z + 3 = 0\}.\]
../_images/kuva134.svg

Kuva 6. Tason \(T\) normaalimuotoisen yhtälön määrittäminen, kun tiedetään tason pisteet \(A\), \(B\) ja \(C\).

Esimerkki 2.2.9

Pisteen \(X\) etäisyys tasosta \(T\) on kaikkein lyhin välimatka, joka voi olla pisteen \(X\) ja tason \(T\) jonkin pisteen välillä. Voidaan osoittaa, että tämä etäisyys on sama kuin sellaisen janan pituus, jonka toinen päätepiste on \(X\) ja toinen tasossa \(T\), ja joka muodostaa suoran kulman tason \(T\) kanssa. Etäisyyden määrittämiseen voidaan käyttää normaalivektoria ja projektiota.

Tutkitaan edellisen esimerkin tasoa \(T\), joka kulkee pisteiden \(A = (0,1,0)\), \(B = (-1,3,2)\) ja \(C = (-2,0,1)\) kautta ja jolla on normaalivektori \(\bn=(4,-3,5)\). Selvitetään, mikä on pisteen \(D=(5,3,-1)\) etäisyys tasosta \(T\).

Valitaan jokin tason \(T\) piste kuten piste \(A=(0,1,0)\). Tutkitaan vektoria \(\pv{AD}\). Vektorin \(\pv{AD}\) projektio normaalivektorille \(\bn\) on kohtisuorassa tasoa vastaan. Se voidaan piirtää kulkemaan tasolta pisteeseen \(D\). Siten projektiovektorin pituus on pisteen \(D\) etäisyys tasosta \(T\). Toisin sanoen etäisyys on \(\norm{\proj_{\bn}(\pv{AD})}\).

Projektiovektoriksi saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \proj_{\bn}(\pv{AD})&=\frac{\pv{AD} \cdot \bn}{\bn\cdot \bn}\bn=\frac{(5,2,-1)\cdot (4,-3,5)}{(4,-3,5)\cdot (4,-3,5)}(4,-3,5) \\ &=\frac{20-6-5}{16+9+25}(4,-3,5)=\frac{9}{50}(4,-3,5). \end{aligned}\end{split}\]

Projektiovektorin pituus on

\[\begin{split}\begin{aligned} \norm{\proj_{\bn}(\pv{AD})}&=\norm{\frac{9}{50}(4,-3,5)}=\left|\frac{9}{50}\right|\norm{(4,-3,5)} \\ &=\frac{9}{50}\sqrt{16+9+25}=\frac{9}{50}\sqrt{50}=\frac{9}{\sqrt{50}}. \end{aligned}\end{split}\]

Siten pisteen \(D\) etäisyys tasosta \(T\) on \(9/\sqrt{50}\).

Esimerkki 2.2.10

Tutkitaan tasoa \(T=\{\bx \in \R^3 \mid x+2y+3z-9=0\}\) sekä tasoa \(U=\{\bx \in \R^3 \mid 3x-2y+4z+5=0\}\). Halutaan selvittää, mitkä pisteet kuuluvat sekä tasoon \(T\) että tasoon \(U\).

Piste \((x,y,z)\) kuuluu molempiin tasoihin, jos ja vain jos se toteuttaa molempien tasojen yhtälöt. Täytyy siis päteä yhtä aikaa \(x+2y+3z-9=0\) ja \(3x-2y+4z+5=0\). Saadaan yhtälöryhmä

\[\begin{split}\begin{cases} x+2y+3z-9=0 \\ 3x-2y+4z+5=0. \end{cases}\end{split}\]

Tällaisia yhtälöryhmiä opitaan ratkaisemaan hetken kuluttua.

  1. Tason pisteet saadaan lisäämällä paikkavektoriin suuntavektorien lineaarikombinaatioita.
  2. Avaruuden \(\R^3\) tason voi myös kirjoittaa normaalievektorin avulla. Sen on vektori, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan.
Mikä seuraavista on tason yhtälön normaalimuotoinen yhtälö? Olkoot \(\bn\) tason normaalivektori ja \(\bp\) tason paikkavektori.
Valitse paikkansa pitävät väittämät.
Palautusta lähetetään...