\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Peruslaskutoimitukset

Määritelmä 8.2.1

Kompleksiluvut, \(\C\), koostuvat luvuista \(z = a + b\iu\), missä \(a\) ja \(b\) ovat reaalilukuja, sekä \(\iu\) on imaginaariyksikkö. Kompleksilukujen summa määritellään kaavalla

\[(a+b\iu)+(c+d\iu)=(a+c)+(b+d)\iu\]

ja tulo kaavalla

\[(a+b\iu)(c+d\iu)=(ac-bd)+(ad+bc)\iu.\]

Havaitaan, että kompleksilukujen summa ja tulo ovat myös kompleksilukuja, sillä edellisessä määritelmässä luvut \(a + c\), \(b + d\), \(ac - bd\) ja \(ad + bc\) ovat reaalilukuja. Kompleksiluvusta käytetään myös merkintöjä

\[a + b\iu = a + \iu b = a + b\ju = a + \ju b.\]

Kompleksilukuja voidaan havainnollistaa esittämällä ne pisteinä tai vektoreina kompleksitasossa (complex plane), kuten alla olevassa kuvassa.

../_images/kompleksitaso.svg

Kompleksiluku \(a + 0\iu\) samastetaan reaaliluvun \(a\) kanssa ja merkitään \(a + 0\iu = a\). Niinpä voidaan sanoa, että jokainen reaaliluku on myös kompleksiluku. Samoin voidaan merkitä \(0 + b\iu = b\iu\). Erityisesti

\[1 + 0\iu = 1 \qquad\text{ja}\qquad 0 + 1\iu = 1\iu = \iu.\]

Imaginaariyksikkö \(\iu\) on siis myös kompleksiluku. Otetaan käyttöön seuraava kompleksilukua \(z=a+b\iu\) koskeva terminologia.

  • \(a = \re z\) on luvun \(z\) reaaliosa ja \(b = \im z\) on luvun \(z\) imaginaariosa.
  • Jos \(b = 0\), luku \(z\) on reaalinen.
  • Jos \(b \ne 0\), luku \(z\) on imaginaarinen.
  • Jos \(a = 0\) ja \(b \ne 0\), luku \(z\) on puhtaasti imaginaarinen.

Kompleksiluvut \(z\) ja \(w\) ovat samoja, jos niiden reaali- ja imaginaariosat ovat samoja. Toisin sanoen \(z = w\) jos ja vain jos \(\re z = \re w\) ja \(\im z = \im w\).

Määritelmä 8.2.2

Kompleksiluvun \(z=a+b\iu\) vastaluku (negative) on

\[-z=-a-b\iu\]

(jolloin \(z+(-z)=0\)). Kompleksilukujen \(z=a+b\iu\) ja \(w=c+d\iu\) erotus (difference) \(z-w\) määritellään asettamalla

\[z-w=z+(-w)=(a-c)+(b-d)\iu.\]

Lasketaan reaaliluvun \(t=t+0\iu\) ja kompleksiluvun \(a+b\iu\) tulo määritelmän mukaan.

\[t(a+b\iu)=(t+0\iu)(a+b\iu)=(ta-0\cdot b)+(tb+0\cdot a)\iu=ta+tb\iu,\]

eli samaan tulokseen päästään vain kertomalla sekä reaali- että imaginaariosa luvulla \(t\). Tiivistetysti voidaan todeta, että kompleksilukujen summa, vastaluku, erotus ja reaaliluvulla kertominen toimivat täsmälleen samoin kuin tasovektorien vastaavat operaatiot. Näiden geometriset tulkinnat voidaan siis esittää kuten alla.

../_images/kompleksivektorit.svg

Esimerkki 8.2.3

  1. \(\re(-2-3\iu)=-2\) ja \(\im(-2-3\iu)=-3\)
  2. \((3-2\iu)-(-5+3\iu)=8-5\iu\)

Kompleksilukujen kertolaskun määritelmästä seuraa mielenkiintoinen ja hyödyllinen luvun \(\iu\) ominaisuus.

Lause 8.2.4

\(\iu^2=\iu\cdot \iu=-1\).

Piilota/näytä todistus

Kirjoitetaan \(\iu=0+1\iu\) ja lasketaan tulo määritelmän mukaan. Nyt \(a=c=0\) ja \(b=d=1\), joten

\[\iu^2=\iu\cdot \iu=(0+1\iu)(0+1\iu)=(0\cdot0-1\cdot1)+(0\cdot1+1\cdot0)\iu=-1+0\iu=-1.\]

Käsitellään seuraavaksi kompleksilukuja \(a+b\iu\) ja \(c+d\iu\) kuten reaalisia binomeja ja lasketaan niiden tulo käyttämällä tulosta \(\iu^2 = -1\).

\[(a+b\iu)(c+d\iu)=ac+ad\iu+bc\iu+bd\iu^2=ac+ad\iu+bc\iu-bd=(ac-bd)+(ad+bc)\iu\]

Tulos on sama kuin kertolaskun määritelmässä, joten kompleksilukujen tulo voidaan laskea kuten binomien tulo osittelulakia käyttäen. Tulon geometriseen tulkintaan palataan myöhemmin.

Esimerkki 8.2.5

\((-3-2\iu)(5+\iu)=-15-3\iu-10\iu-2\iu^2=-13-13i\).

Oheiseen kuvaan on piirretty muutamien kompleksilukujen vektoriesitykset. Kahden apuviivan väli on \(1\). Vastaa kysymyksiin.

../_images/KMT-vko3-kompleksi-kuvat-1.svg
Mitä on \(a+d\)?
Mitä on \(b-2c\)?
Onko \(f-b\) reaalinen?
Onko \(e+d\) imaginaarinen?
Mitä on \(ad\)?
Mitä on \(2ei\)? Huomaa, että tässä \(e\) ei ole Neperin luku.

Reaaliluvuille \(a=a+0\iu\) ja \(b=b+0\iu\) kompleksilukujen laskutoimitukset antavat samat tulokset kuin vastaavat reaaliset laskutoimitukset. Lisäksi seuraavan lauseen mukaan kaikkia tuttuja laskusääntöjä saa soveltaa myös kompleksilukuja käsiteltäessä

Lause 8.2.6

Jokaisella kompleksiluvulla \(z\ne0\) on olemassa yksikäsitteinen käänteisluku (reciprocal) \(z^{-1}\), joka toteuttaa ehdon \(zz^{-1}=1\).

Piilota/näytä todistus

Käänteisluvun olemassaolo ja yksikäsitteisyys on todistettava erikseen. Olkoon \(z=a+b\iu\ne0\) ja merkitään

\[w=\frac{1}{a^2+b^2}(a-b\iu).\]

Suoralla laskulla nähdään, että

\[zw = \frac{1}{a^2 + b^2}(a + b\iu)(a - b\iu) = \frac{1}{a^2 + b^2}(a^2 - ab\iu + ab\iu - b^2\iu^2) = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1,\]

eli luku \(w\) toteuttaa käänteisluvun ehdon. Täten \(z^{-1} = w\) on olemassa.

Yksikäsitteisyyden osoittamiseksi väitetään, että \(u\) ja \(v\) ovat luvun \(z \not= 0\) käänteislukuja, eli esimerkiksi \(uz = 1\) ja \(zv = 1\). Tällöin kuitenkin välttämättä

\[u = u \cdot 1 = u(zv) = (uz)v = 1 \cdot v = v,\]

eli luvut \(u\) ja \(v\) ovat samat. Täten käänteisluku on yksikäsitteinen.

Koska jokaiselle nollasta poikkeavalle kompleksiluvulle löytyy käänteisluku, niille on mahdollista määritellä jakolasku vastaavasti kuin reaaliluvuille.

Määritelmä 8.2.7

Kompleksilukujen \(z\) ja \(w\) osamäärä (quotient) \(\dfrac{z}{w}\), missä \(w\ne0\), määritellään asettamalla

\[\frac{z}{w}=zw^{-1}.\]

Erityisesti \(\dfrac{1}{w}=1 \cdot w^{-1}=w^{-1}\).

Reaaliluvuille \(a=a+0\iu\) ja \(b=b+0\iu\) kompleksiset laskutoimitukset antavat samat tulokset kuin vastaavat reaalilukujen laskutoimitukset. Lisäksi seuraavan luvun mukaan kompleksiset laskutoimitukset toteuttavat samat peruslait kuin reaalilukujen laskutoimitukset. Siis kompleksilukujen laskutoimitukset laajentavat reaalilukujen laskutoimitukset \(\R^2\):een.

Lause 8.2.8

Kun \(x\), \(y\) ja \(z\) ovat kompleksilukuja, niin

  1. \(x + y = y + x\) ja \(xy = yx\) (vaihdantalait),
  2. \(x + (y + z) = (x + y) + z\) ja \(x(yz) = (xy)z\) (liitäntälait),
  3. \(x(y + z) = xy + xz\) (osittelulaki).
Piilota/näytä todistus

Nämä voidaan todistaa suorilla laskuilla, kun sopivissa välivaiheissa sovelletaan reaalilukujen laskusääntöjä. Todistetaan esimerkkinä tulon vaihdantalaki. Merkitään \(x=x_1+x_2\iu\) ja \(y=y_1+y_2\iu\). Tällöin

\[\begin{split}\begin{aligned} xy&=(x_1+x_2\iu)(y_1+y_2\iu)=x_1y_1+x_1y_2\iu+x_2y_1\iu+x_2y_2\iu^2\\ &=y_1x_1+y_1x_2\iu+y_2x_1\iu+y_2x_2\iu^2=(y_1+y_2\iu)(x_1+x_2\iu)=yx. \end{aligned}\end{split}\]

Muut kohdat vastaavasti.

Lemma 8.2.9

Jos \(z \not= 0\) ja \(w \not= 0\) ovat kompleksilukuja, niin \((zw)^{-1} = z^{-1}w^{-1}\), eli

\[\frac1z\cdot\frac1w=\frac{1}{zw}.\]
Piilota/näytä todistus

Määritelmän nojalla \(zz^{-1}=1\) ja \(ww^{-1}=1\), joten tulon liitännäisyyden ja vaihdannaisuuden nojalla

\[\left(zw\right)\left(z^{-1}w^{-1}\right)=z\left(wz^{-1}\right)w^{-1}=\left(zz^{-1}\right)\left(ww^{-1}\right)=1\cdot1=1.\]

Niinpä \(z^{-1}w^{-1}\) on luvun \(zw\) käänteisluku.

Tästä tuloksesta seuraa, että tavanomainen laventaminen ja supistaminen on luvallista myös kompleksiluvuilla. Jos \(z\ne0\), niin \(zz^{-1} = 1\) ja siten

\[\frac{v}{w} = \left(vw^{-1}\right)\left(zz^{-1}\right) = (vz)\left(w^{-1}z^{-1}\right) = (vz)\left(wz\right)^{-1} = \frac{vz}{wz}.\]

Laventaminen tarjoaa yksinkertaisimman tavan etsiä kompleksiluvun käänteisluku. Suoralla laskulla voidaan tarkistaa, että \((a + b\iu)(a - b\iu) = a^2 + b^2\), missä \(a\) ja \(b\) ovat reaalisia. Tällöin myös luku \(a^2 + b^2\) on reaalinen, eli

(1)\[\frac{1}{a + b\iu} = \frac{a - b\iu}{(a + b\iu)(a - b\iu)} = \frac{a - b\iu}{a^2 + b^2} = \frac{1}{a^2 + b^2}(a - b\iu),\]

joka on sama luku kuin aiemmassa lauseen 8.2.6 todistuksessa.

Esimerkki 8.2.10

  1. Etsi luvun \(2 + 3\iu\) käänteisluku muodossa \(a + b\iu\).
  2. Ilmoita luku \(\dfrac{3 - 4\iu}{-2 + \iu}\) muodossa \(a + b\iu\).
  3. Ratkaise \(z\) muodossa \(a + bi\) yhtälöstä \((2 - \iu)z = 1 + \iu\).
Piilota/näytä ratkaisu

Hyödynnetään sopivalla luvulla laventamista.

  1. Lavennetaan luvulla \(2 - 3\iu\).

    \[(2+3\iu)^{-1}=\frac{1}{2+3\iu}=\frac{2-3\iu}{(2+3\iu)(2-3\iu)}=\frac{2-3\iu}{4-9\iu^2}=\frac{2-3\iu}{13}=\frac{2}{13}-\frac{3}{13}\iu\]
  2. Lavennetaan luvulla \(-2 - \iu\).

    \[\frac{3-4\iu}{-2+\iu}=\frac{(3-4\iu)(-2-\iu)}{(-2+\iu)(-2-\iu)}=\frac{-10+5\iu}{5}=-2+\iu\]
  3. Ratkaisu on olemassa, sillä luvulla \(2 - \iu\) on käänteisluku. Jaetaan yhtälö puolittain sillä ja lavennetaan luvulla \(2 + \iu\).

    \[z=\frac{1+\iu}{2-\iu}=\frac{(1+\iu)(2+\iu)}{(2-\iu)(2+\iu)}=\frac{1+3\iu}{5}=\frac15+\frac35\iu\qedhere\]
Mikä on luvun \(\iu\) neliö?
Mikä on luvun \(-1\) neliöjuuri?
Mikä seuraavista laskulaeista ei ole voimassa kaikille kompleksiluvuille \(x\), \(y\) ja \(z\)?
Jaetaan mikä tahansa kompleksiluku luvulla \(\iu\). Tulokseksi tulee sama luku, kuin jos
Palautusta lähetetään...