\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Kanta ja dimensio

Jos avaruuden virittäjävektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, niitä kutsutaan avaruuden kannaksi. Kantan vektorit muodostavat ihanteellisen virittäjävektorien joukon, sillä niiden joukossa ei ole turhia virittäjiä ja siksi jokainen avaruuden vektori voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa täsmälleen yhdellä tavalla.

Määritelmä 5.5.1

Olkoot \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_n \in \R^n\). Vektorijoukko \(\{\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\}\) on vektoriavaruuden \(\R^n\) kanta, jos seuraavat ehdot pätevät:

1. vektorit \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\) virittävät avaruuden \(\R^n\).
2. vektorit \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia.

Esimerkki 5.5.2

Viritystä käsittelevän luvun alussa osoitettiin, että vektorit \(\be_1 =(1,0)\) ja \(\be_2 = (0,1)\) virittävät avaruuden \(\R^2\). Vektorit \(\be_1\) ja \(\be_2\) ovat lisäksi lineaarisesti riippumattomia esimerkin 5.4.5 perusteella. Siten \(\{\be_1,\be_2\}\) on avaruuden \(\R^2\) kanta.

Vastaavasti avaruudella \(\R^n\) on kanta

\[\{\be_1,\be_2,\dots,\be_n\}.\]

Tässä \(\be_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)\), missä luku \(1\) on vektorin \(i\):s komponentti. Kantaa kutsutaan avaruuden \(\R^n\) luonnolliseksi kannaksi. Tässä materiaalissa vektoriavaruuden \(\R^n\) luonnollista kantaa merkitään symbolilla \(\cE_n\).

Seuraava lause osoittaa, että vektorit muodostavat avaruuden kannan, jos ja vain jos avaruuden vektorit voidaan kirjoittaa niiden lineaarikombinaatioina täsmälleen yhdellä tavalla. Kannan määritelmässä on kaksi ehtoa, joista ensimmäinen koskee virittämistä ja toinen lineaarista riippumattomuutta. Virittäminen on yhtäpitävää sen kanssa, että avaruuden vektorit voidaan kirjoittaa annettujen vektoreiden lineaarikombinaatioina. Lineaarinen riippumattomuus puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että avaruuden vektorit voidaan kirjoittaa annettujen vektorien lineaarikombinaatioina täsmälleen yhdellä tavalla.

Lause 5.5.3

Joukko \(\{\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\}\) on vektoriavaruuden \(\R^n\) kanta, jos ja vain jos jokainen avaruuden \(\R^n\) vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\) lineaarikombinaationa.

Piilota/näytä todistus

”\(\Rightarrow\)”: Oletetaan, että \(\{\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\}\) on vektoriavaruuden \(\R^n\) kanta. Nyt

\[\R^n=\vir\{\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\}.\]

Lisäksi vektorit \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia. Siten lauseen 5.4.11 perusteella jokainen avaruuden \(\R^n\) vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\) lineaarikombinaationa.

”\(\Leftarrow\)”: Oletetaan sitten, että jokainen avaruuden \(\R^n\) vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektorien \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\) lineaarikombinaationa. Osoitetaan, että joukko \(\{\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\}\) on avaruuden \(\R^n\) kanta.

Koska avaruuden \(\R^n\) vektorit voidaan kirjoittaa vektorien \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\) lineaarikombinaationa, virittävät vektorit \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\) avaruuden \(\R^n\).

On vielä osoitettava, että vektorit \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia. Sitä varten tutkitaan yhtälöä

\[x_1\bv_1+x_2\bv_2+\dots+x_k\bv_k=\nv,\]

missä \(x_1=0, \dots, x_k \in \R\). Tiedetään, että ainakin

\[0\bv_1+0\bv_2+\dots+0\bv_k=\nv.\]

Koska nollavektori \(\nv\) on vektoriavaruuden \(\R^n\) alkio, se voidaan oletuksen mukaan kirjoittaa virittäjävektorien lineaarikombinaationa täsmälleen yhdellä tavalla. Siksi pätee \(x_1=0, \ldots, x_k=0\). Siis vektorit \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia.

Kannan määritelmää käytettäessä täytyy tarkistaa kaksi ehtoa, virittäminen ja lineaarinen riippumattomuus. Niissä molemmissa muodostetaan yhtälöryhmän, jonka kertoimet ovat samat. Tällöin tullaan tehneeksi ylimääräistä työtä. Lausetta 5.5.3 käytettäessä puolestaan tarvitsee tarkistaa vain yksi ehto, joka yhdistää virittämisen ja lineaarisen riippumattomuuden.

Esimerkki 5.5.4

Merkitään \(\bw_1 = (2,-1)\), \(\bw_2 = (1,3)\). Osoitetaan lauseen 5.5.3 avulla, että \(\{\bw_1, \bw_2\}\) on avaruuden \(\R^2\) kanta. Oletetaan, että \(\bv \in \R^2\). Ratkaistaan yhtälö \(x_1\bw_1 + x_2\bw_2 = \bv\) eli yhtälö \(x_1(2,-1) + x_2(1,3) = (v_1,v_2)\). Sitä vastaa yhtälöryhmä

\[\begin{split}\left\{ \begin{aligned} 2x_1+x_2 & =v_1 \\ -x_1+3x_2 & =v_2. \end{aligned} \right.\end{split}\]

Kun yhtälöryhmän matriisia muokataan alkeisrivitoimituksilla, saadaan matriisi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rr|c} 1 & -3 & -v_2 \\ 0 & 7 & v_1+2v_2 \\ \end{augmatrix}.\end{split}\]

Koska tässä porrasmatriisissa ei ole yhtälöä, joka on epätosi, ja jokaisessa sarakkeessa viivan vasemmalla puolella on johtava alkio, yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu riippumatta vektorista \(\bv \in \R^2\).

Siten jokainen avaruuden \(\R^2\) vektori voidaan kirjoittaa vektorien \(\bw_1\) ja \(\bw_2\) lineaarikombinaationa täsmälleen yhdellä tavalla. Näin ollen \(\{\bw_1, \bw_2\}\) on avaruuden \(\R^2\) kanta.

Aliavaruuden kanta

Samalla tavalla kuin vektoriavaruudelle määriteltiin kanta voidaan määritellä kanta aliavaruudelle. Aiempi kannan käsite on uuden määritelmän erikoistapaus, sillä koko avaruus \(\R^n\) on aina itsensä aliavaruus.

Määritelmä 5.5.5

Oletetaan, että \(W\) on vektoriavaruuden \(\R^n\) aliavaruus ja että \(\bw_1,\bw_2,\dots,\bw_k \in W\). Joukko \(\{\bw_1,\bw_2,\dots,\bw_k\}\) on aliavaruuden \(W\) kanta, jos seuraavat ehdot pätevät:

1. vektorit \(\bw_1,\bw_2,\dots,\bw_k\) virittävät aliavaruuden \(W\)
2. vektorit \(\bw_1,\bw_2,\dots,\bw_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia.

Esimerkki 5.5.6

Tutkitaan avaruuden \(\R^3\) aliavaruutta \(W=\vir\{(3,9,-3),(1,5,1)\}\) ja etsitään sille kanta. Vektorit \((3,9,-3)\) ja \((1,5,1)\) virittävät avaruuden \(W\). Lisäksi nämä kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippumattomia, sillä ne eivät ole yhdensuuntaisia (ks. lause 5.4.8). Siten vektorit \((3,9,-3)\) ja \((1,5,1)\) muodostavat aliavaruuden \(W\) kannan.

Esimerkki 5.5.7

Etsitään aliavaruudelle \(W = \vir\{((3,-1,5),(2,1,3),(0,-5,1)\}\) kanta. Aloitetaan tutkimalla, sattuvatko annetut virittäjävektorit muodostamaan kannan. Tätä varten täytyy tutkia, ovatko ne lineaarisesti riippumattomia. Tarkastellaan siis yhtälöä

(1)\[x_1(3,-1,5) + x_2(2,1,3) + x_3(0,-5,1) = (0,0,0),\]

missä \(x_1,x_2,x_3\in\R\). Yhtälöstä saadaan yhtälöryhmä, jota vastaa matriisi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrr|c} 3 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -5 & 0 \\ 5 & 3 & 1 & 0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tästä saadaan alkeisrivitoimituksilla matriisi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrr|c} 1 & -1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Porrasmatriisista nähdään, että yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua, joten vektorit \((3,-1,5)\), \((2,1,3)\) ja \((0,-5,1)\) eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Siten ne eivät muodosta kantaa aliavaruudelle.

Matriisin avulla voidaan kuitenkin löytää eräs aliavaruuden kanta. Muuttuja \(x_3\) on vapaa, joten sen arvo voidaan valita vapaasti, ja valinta määrää muuttujien \(x_1\) ja \(x_2\) arvot. Siispä yhtälössä (1) voi kerroin \(x_3\) saada minkä tahansa arvon, esimerkiksi arvon \(1\). Tällöin saadaan yhtälö

\[a_1(3,-1,5) + a_2(2,1,3)+ (0,-5,1) = (0,0,0),\]

missä \(a_1\) ja \(a_2\) ovat joitakin reaalilukuja. Tästä seuraa edelleen, että \((0,-5,1) = -a_1(3,-1,5) -a_2(2,1,3)\).

Nyt tiedetään, että \((0,-5,1)\) on toisten virittäjävektorien lineaarikombinaatio, joten lauseen 5.3.7 perusteella

\[W=\vir\{(3,-1,5),(2,1,3)\}.\]

Koska vektorit \((3,-1,5)\) ja \((2,1,3)\) eivät ole yhdensuuntaisia, ne ovat lineaarisesti riippumattomat lauseen 5.4.8 nojalla. Siten \(\{(3,-1,5),(2,1,3)\}\) on aliavaruuden \(W\) kanta.

Samaa menetelmää käyttäen voidaan aina löytää vektorien virittämälle aliavaruudelle kanta.

Avaruudella voi olla monta erilaista kantaa. Esimerkiksi avaruudella \(\R^2\) on luonnollinen kanta \(\{(1,0),(0,1)\}\), mutta edellisessä esimerkissä nähtiin, että myös \(\{(2,-1),(1,3)\}\) on avaruuden \(\R^2\) kanta. Huomataan, että kummassakin kannassa on sama maäärä vektoreita. Seuraava lause osoittaa, että jokaisessa avaruuden kannassa on aina sama määrä vektoreita.

Lause 5.5.8

Oletetaan, että \(W\) on vektoriavaruuden \(\R^n\) aliavaruus. Jokaisessa aliavaruuden \(W\) kannassa on yhtä monta vektoria.

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että \(\cB=\{\bv_1,\dots,\bv_j\}\) ja \(\cC=\{\bw_1,\dots,\bw_k\}\) ovat molemmat aliavaruuden \(W\) kantoja. Pyritään osoittamaan, että \(j = k\). Tehdään se osoittamalla, että muut vaihtoehdot \(j < k\) ja \(k < j\) johtavat ristiriitaan.

Oletetaan, että \(j < k\). Tarkastellaan yhtälöä

(2)\[x_1\bw_1 + \dots + x_k\bw_k = \nv\,.\]

Koska \(\mathcal{B}\) on aliavaruuden \(W\) kanta, voidaan kaikki kannan \(\mathcal{C}\) vektorit kirjoittaa kannan \(\mathcal{B}\) vektorien lineaarikombinaatioina:

\[\begin{split}\begin{aligned} \bw_1 &= a_{11}\bv_1 + a_{12}\bv_2 +\dots + a_{1j}\bv_j \\ \bw_2 &= a_{21}\bv_1 + a_{22}\bv_2 +\dots + a_{2j}\bv_j \\ &\vdots \\ \bw_k &= a_{k1}\bv_1 + a_{k2}\bv_2 +\dots + a_{kj}\bv_j \end{aligned}\end{split}\]

joillakin \(a_{11},\dots,a_{kj} \in \R\). Sijoittamalla nämä yhtälöön (2) muodostuu yhtäpitävä yhtälö

\[\begin{split}\begin{aligned} &x_1(a_{11}\bv_1 + a_{12}\bv_2 + \cdots + a_{1j}\bv_j) + x_2(a_{21}\bv_1 + a_{22}\bv_2 + \cdots + a_{2j}\bv_j) \\ &\qquad + \cdots + x_k(a_{k1}\bv_1 + a_{k2}\bv_2 +\cdots + a_{kj}\bv_j) = \nv, \end{aligned}\end{split}\]

josta saadaan edelleen ryhmittelemällä

\[\begin{split}\begin{aligned} &(x_1a_{11} + x_2a_{21} + \cdots + x_ka_{k1})\bv_1 + (x_1a_{12} + x_2a_{22} + \cdots + x_ka_{k2})\bv_2 \\ &\qquad + \cdots + (x_1a_{1j} + x_2a_{2j} + \dots + x_ka_{kj})\bv_j = \nv. \end{aligned}\end{split}\]

Joukko \(\mathcal{B} = (\bv_1, \dots, \bv_j)\) on kanta, joten sen vektorit ovat lineaarisesti riippumaton. Siten edellinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos kaikki kertoimet ovat nollia:

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{rcr} x_1a_{11} + x_2a_{21} + \dots + x_ka_{k1} & = & 0 \\ x_1a_{12} + x_2a_{22} + \dots + x_ka_{k2} & = & 0 \\ \vdots\hspace{1.6cm} & & \vdots \\ x_1a_{1j} + x_2a_{2j} + \dots + x_ka_{kj} & = & 0 \\ \end{array} \right.\end{split}\]

Kyseessä on homogeeninen yhtälöryhmä, jossa tuntemattomien määrä \(k\) on suurempi kuin yhtälöiden määrä \(j\). Lauseen 3.4.15 mukaan yhtälöryhmällä on muitakin ratkaisuja kuin triviaaliratkaisu \(x_1 = 0, \ldots, x_k = 0\). Siis joukon \(\mathcal{C} = \{\bw_1, \dots, \bw_k\}\) vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. Tämä on ristiriita, sillä \(\cC\) on aliavaruuden \(W\) kanta.

Tapaus \(j > k\) käsitellään vastaavasti. Tällöinkin päädytään ristiriitaan. Täytyy siis päteä \(j=k\).

Dimensio

Lukijalla on todennäköisesti jonkinlainen käsitys siitä, mitä ulottuvuudella eli dimensiolla tarkoitetaan. Esimerkiksi avaruus \(\R^2\) on kaksiulotteinen. Samoin kaikki avaruuden \(\R^3\) tasot ovat kaksiulotteisia. Avaruus \(\R^3\) puolestaan on kolmiulotteinen. Suorat taas ovat yksiulotteisia.

Dimensio määritellään täsmällisesti kannan avulla: avaruuden dimensio on sen kannassa olevien vektorien lukumäärä.

Määritelmä 5.5.9

Avaruuden dimensio on avaruuden kannan vektorien lukumäärä.

Jos avaruuden dimensio on \(n\), sanotaan, että avaruus on \(n\)-ulotteinen. Sovitaan, että avaruuden \(\{\nv\}\) dimensio on nolla.

Esimerkki 5.5.10

Tutkitaan vektoriavaruuden \(\R^3\) aliavaruutta \(S=\vir\{(3,9,-3)\}\). Tällä aliavaruudella on kanta \(\{(3,9,-3)\}\). Koska kannassa on yksi vektori, aliavaruuden \(S\) dimensio on määritelmän mukaan yksi. Aliavaruus \(S\) on suora, joten esimerkistä nähdään, että suoran dimensio on yksi. Suora on siis yksiulotteinen aliavaruus.

Esimerkissä 5.5.6 tutkittiin vektoriavaruuden \(\R^3\) aliavaruutta

\[W=\vir\{(3,9,-3),(1,5,1)\}.\]

Esimerkissä nähtiin, että aliavaruudella \(W\) on kanta \(\{(3,9,-3),(1,5,1)\}\). Tässä kannassa kaksi vektoria, joten aliavaruuden \(W\) dimensio on kaksi. Aliavaruus \(W\) on taso, joten esimerkitä nähdään, että tason dimensio on kaksi. Taso on siis kaksiulotteinen aliavaruus.

Avaruudella \(\R^3\) on luonnollinen kanta, jonka vektorit ovat \(\be_1=(1,0,0)\), \(\be_2=(0,1,0)\) ja \(\be_3=(0,0,1)\). Siten määritelmän mukaan avaruuden \(\R^3\) dimensio on kolme, eli avaruus on kolmiulotteinen. Yleisesti esimerkin 5.5.2 perusteella vektoriavaruudella \(\R^n\) on aina luonnollinen kanta

\[\{\be_1,\be_2,\dots,\be_n\}.\]

Tässä kannassa on \(n\) vektoria. Siten avaruuden \(\R^n\) dimensio on \(n\), eli \(\R^n\) on \(n\)-ulotteinen.

Dimension määritteleminen ei ole aivan suoraviivaista, sillä yhdellä avaruudella voi olla monta erilaista kantaa. Periaatteessa eri kannoissa voisi olla eri määrä vektoreita, eikä silloin olisi selvää, mikä niistä määräisi avaruuden dimension. Lauseen 5.5.8 perusteella kuitenkin tiedetään, että jokaisessa kannassa on aina yhtä monta vektoria. Siten dimension määritelmä on järkevä.

Tutkitaan vielä tapausta, jossa aliavaruuden kanta ei ole sama kuin virittäjävektorien joukko.

Esimerkki 5.5.11

Määritetään avaruuden \(\R^3\) aliavaruuden

\[W=\vir\{((1,3,-1),(-3,-9,3)\}\]

dimensio. Vektorit \((1,3,-1)\) ja \((-3,-9,3)\) kylläkin virittävät avaruuden \(W\), mutta ne eivät muodosta aliavaruuden kantaa. Huomataan nimittäin, että \(3(1,3,-1)=(-3,-9,3)\), joten vektorit ovat yhdensuuntaisia ja siksi ne eivät lauseen 5.4.8 mukaan ole lineaarisesti riippumattomia kuten kantavektorien pitäisi olla.

Koska toinen virittäjävektori on ensimmäisen skalaarimonikerta, lauseen 5.3.7 nojalla

\[W=\vir\{(1,3,-1),(-3,-9,3)\}=\vir\{(1,3,-1)\}.\]

Yksi nollavektorista poikkeava vektori on lineaarisesti riippumaton. Näin ollen aliavaruuden \(W\) kannan muodostaa vektori \((1,3,-1)\), joten \(\dim(W)=1\).

Koordinaatit

Pohdi 5.5.12

Jasmin lentää taikamatollaan. Hän ohjaa mattoaan suuntavektoreilla \(\bv_1=(0,2,-1)\), \(\bv_2=(1,2,0)\) ja \(\bv_3=(1,0,2)\). Jasmin pitää kirjaa matkoistaan. Jotta kirjoittamista olisi mahdollisimman vähän, Jasmin listaa vain käytetyt vektorimäärät.

1. Matkapäiväkirjassa on matka \(-5\), \(3\), \(1\). Mihin pisteeseen Jasmin matkusti?
2. Jasmin matkustaa pisteeseen \((10,10,10)\). Mitä hän kirjoittaa matkapäiväkirjaansa?

Kun avaruuden vektori kirjoitetaan kannan vektorien lineaarikombinaationa, kertoimia kutsutaan vektorin koordinaateiksi.

Määritelmä 5.5.13

Oletetaan, että \(\mathcal{B}=\{\bv_1,\dots,\bv_k\}\) on aliavaruuden \(W\) kanta. Oletetaan, että \(\bu \in W\). Vektorin \(\bu\) koordinaateiksi kannan \(\mathcal{B}\) suhteen kutsutaan reaalilukuja \(b_1,\dots,b_k\), joilla

\[\bu=b_1\bv_1+\dots+b_k\bv_k\,.\]

Vektorin koordinaatit jonkin tietyn kannan suhteen ovat yksikäsitteiset, sillä vektori voidaan lauseen 5.5.3 mukaan kirjoittaa vain yhdellä tavalla kannan alkioiden lineaarikombinaationa. Vektorilla on siis kunkin tietyn kannan suhteen vain yhdet koordinaatit. Eri kantojen suhteen saman vektorin koordinaatit voivat tietenkin olla erilaisia.

Esimerkki 5.5.14

Luonnollisen kannan suhteen koordinaatit on helppo määrittää. Esimerkiksi vektorin \(\ba=(-1,-4)\) koordinaatit avaruuden \(\R^2\) luonnollisen kannan \(\cE_2 = \{\be_1, \be_2\}\) suhteen ovat \(-1\) ja \(-4\), sillä \(\ba =(-1,-4) = (-1)(1,0) + (-4)(0,1) = (-1)\be_1 + (-4)\be_2\).

Tutkitaan sitten erästä toista avaruuden \(\R^2\) kantaa. Merkitään \(\bv_1 = (1,-2)\), \(\bv_2 = (-2,1)\). Nyt \(\cB=\{\bv_1, \bv_2\}\) on avaruuden \(\R^2\) kanta, minkä osoittaminen jätetään lukijalle. Määritetään vektorin \(\ba=(-1,-4)\) koordinaatit kannan \(\cB\) suhteen. On ratkaistava yhtälö \(\ba=x_1\bv_1+x_2\bv_2\) eli yhtälö

\[(-1,-4)=x_1(1,-2)+x_2(-2,1).\]

Tästä yhtälöstä saadaan tuttuun tapaan yhtälöryhmä, jonka ratkaisuksi paljastuu \(x_1=3\), \(x_2=2\). Näin ollen \(\ba=3\bv_1+2\bv_2\) eli vektorin \(\ba\) koordinaatit kannan \(\cB\) suhteen ovat \(3\) ja \(2\) (ks. kuva 1).

Fig. 1: Vektori \(\ba=(-1,-4)\) ilmaistuna kannan \(\cB=\{\bv_1, \bv_2\}\) vektoreiden lineaarikombinaationa. Vektorin koordinaatit kannan \(\cB\) suhteen ovat 3 ja 2.

Vektorin \(\ba=(-1,-4)\) koordinaatteja kannan \(\cB=\{\bv_1, \bv_2\}\) suhteen on havainnollistettu kuvassa 1. Jotta päästään pisteeseen \((-1,-4)\) on mentävä 3 ruutua vektorin \(\bv_1\) suuntaan ja 2 ruutua vektorin \(\bv_2\) suuntaan. Siten vektorin \(\ba=(-1,-4)\) koordinaatit kannan \(\cB\) suhteen ovat \(3\) ja \(2\).

Kun käytetään jotakin muuta kuin luonnollista kantaa, vääntyy koordinaatisto vinoon. Kuvassa 2 vasemmalla vektori \(\ba\) on piirretty luonnollista kantaa \(\cE_2 = \{\be_1, \be_2\}\) vastaavaan tavalliseen koordinaatistoon ja oikealla kantaa \(\cB = \{\bv_1, \bv_2\}\) vastaavaan koordinaatistoon.

Fig. 2: Vektori \(\ba\) luonnollisen kannan \(\cE_2\) määräämässä koordinaatistossa ja kannan \(\cB\) määräämässä koordinaatistossa. Kun käytetään jotakin muuta kuin luonnollista kantaa, vääntyy koordinaatisto vinoon.

Koordinaattien tapauksessa järjestys on tärkeä. Koordinaatit luetellaan samassa järjestyksessä kuin kannan vektorit. Palataan vielä edelliseen esimerkkiin, jossa tutkittiin kantaa \(\cB=\{\bv_1,\bv_2\}\) edellisessä esimerkissä vektori, jonka koordinaatit kannan \(\cB\) suhteen ovat \(2\) ja \(-3\), on

\[2\bv_1-3\bv_2=2(1,-2)-3(-2,1)=(8,-7).\]

Vektori, jonka koordinaatit kannan \(\cB\) suhteen ovat \(-3\) ja \(2\), on puolestaan

\[-3\bv_1+2\bv_2=-3(1,-2)+2(-2,1)=(-5,8).\]

Se, missä järjestyksessä koordinaatit listataan, on siis oleellista.

Kanta on tässä materiaalissa määritelty joukkona. Tarkalleen ottaen joukkojen tapauksessa alkioiden järjestyksellä ei ole väliä. Kannan tapauksessa kuitenkin ajatellaan, että kannan alkioilla on tietty järjestys, jotta koordinaateista puhuminen on mahdollista.

Seuraava video käsittelee vektorien esittämistä eri kantojen suhteen. Videon alku käsittelee tämän alaluvun asioita, ja loppupuolella käsitellään kurssin ulkopuolelle jäävää aihetta, kannanvaihtomatriiseja.

Tiivistelmä

previous | next

• Avaruuden kanta on vektorijoukko, jonka vektorit on lineaarisesti riippumattomia ja virittävät avaruuden.
• Jokainen avaruuden vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla kantavektoreiden lineaarikombinaationa. Tätä ominaisuutta voi käyttää, kun todistaa vektorijoukon kannaksi.
• Avaruuden ulottuvuus eli dimensio on sen kantavektoreiden lukumäärä.
• Suoran dimensio on yksi ja tason kaksi.
• Vektorin \(\bu\) koordinaatit jonkin kannan suhteen ovat ne skalaarikertoimet, joilla kannan vektoreista voi muodostaa vektorin \(\bu\).

Kysymys 1

Oletetaan, että \(\bv_1, \ldots, \bv_k \in \R^n\). Valitse riittävä ehto (yksi) sille, että vektorijoukko {\(\bv_1, \ldots, \bv_k\)} on vektoriavaruuden \(\R^n\) kanta.

Vektorit \(\bv_1, \ldots, \bv_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia.

Vektorit \(\bv_1, \ldots, \bv_k\) virittävät vektoriavaruuden \(\R^n\).

On olemassa jokin vektoriavaruuden \(\R^n\) alkio, joka voidaan kirjoittaa vektoreiden \(\bv_1, \ldots, \bv_k\) lineaarikombinaationa.

Jokainen vektoriavaruuden \(\R^n\) alkio voidaan kirjoittaa vektoreiden \(\bv_1, \ldots, \bv_k\) lineaarikombinaationa ja vektorit \(\bv_1, \ldots, \bv_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia.

Kaikki vektoriavaruuden \(\R^n\) alkiot voidaan kirjoittaa vektoreiden \(\bv_1, \ldots, \bv_k\) lineaarikombinaationa.

Vektorit \(\bv_1, \ldots, \bv_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia ja on olemassa jokin vektoriavaruuden \(\R^n\) alkio, joka voidaan kirjoittaa vektoreiden \(\bv_1, \ldots, \bv_k\) lineaarikombinaationa.

Palautusta lähetetään...