- MATH.MA.140
- 5. Lineaarialgebraa
- 5.2 Virittäminen
Virittäminen¶
Pohdi 5.2.1
Marty McFly voi ohjata leijulautaansa vektoreilla (3,-1) ja (-2,-1). Tutkitaan, voiko Marty päästä mihin tahansa tason \R^2 pisteeseen. Voidaan olettaa, että Marty lähtee origosta (0,0).
- Halutaan selvittää, voiko Marty päästä pisteeseen (b_1,b_2)\in \R^2. Millaista yhtälöä pitää tutkia?
- Millainen yhtälöryhmä yhtälöstä saadaan?
- Onko yhtälöryhmällä ratkaisuja? Vaikuttavatko lukujen b_1 ja b_2 arvot siihen, onko yhtälöryhmällä ratkaisuja?
- Pääseekö Marty pisteeseen (b_1,b_2)?
- Voiko Marty päästä mihin tahansa tason \R^2 pisteeseen?
Olemme oppineet selvittämään, onko jokin vektori toisten vektoreiden lineaarikombinaatio. Tässä luvussa tutkitaan, milloin jokainen vektoriavaruuden vektori voidaan kirjoittaa joidenkin tiettyjen vektoreiden lineaarikombinaationa. Esimerkiksi avaruuden \R^2 jokainen vektori voidaan kirjoittaa vektorien (1,0) ja (0,1) lineaarikombinaationa. Avaruuden vektorit ovat nimittäin muotoa (x,y), missä x,y \in \R. Jokainen tätä muotoa oleva alkio voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa
Sanotaan, että vektorit (1,0) ja (0,1) virittävät avaruuden \R^2. Asian voi ilmaista epämuodollisesti sanomalla, että vektoreilla (1,0) ja (0,1) pääsee jokaiseen avaruuden \R^2 pisteeseen.
Määritelmä 5.2.2
Vektorit \bv_1,\dots,\bv_k \in \R^n virittävät vektoriavaruuden \R^n, jos jokainen vektoriavaruudenavaruuden \R^n alkio voidaan kirjoittaa vektoreiden \bv_1,\dots,\bv_k lineaarikombinaationa.
Virittämisen määritelmä voidaan ilmaista myös toisin sanoin: vektorit \bv_1,\dots,\bv_k \in \R^n virittävät vektoriavaruuden \R^n, jos
Vektoreita \bv_1,\dots,\bv_k kutsutaan vektoriavaruuden \R^n virittäjiksi. Huomaa, että määritelmässä on oleellista, että avaruuden virittäjävektorit ovat avaruuden alkioita. Ei voida esimerkiksi sanoa, että jotkin avaruuden \R^3 vektorit virittäisivät avaruuden \R^2, sillä \R^3 ja \R^2 ovat kaksi eri joukkoa, joilla ei ole yhteisiä alkioita.
Samalla tavalla kuin luvun alussa osoitettiin, että vektorit (1,0) ja (0,1) virittävät avaruuden \R^2, voidaan osoittaa, että vektorit (1,0,0), (0,1,0) ja (0,0,1) virittävät avaruuden \R^3. Kyseiset kolme vektoria eivät kuitenkaan ole avaruuden \R^3 ainoat virittäjät kuten seuraavasta esimerkistä näkyy.
Esimerkki 5.2.3
Osoitetaan, että vektorit \bv_1 = (1,1,1), \bv_2=(1,1,0) ja \bv_3=(1,0,0) virittävät avaruuden \R^3.
On siis osoitettava, että jokainen avaruuden \R^3 vektori voidaan esittää vektoreiden \bv_1, \bv_2 ja \bv_3 lineaarikombinaationa. Oletetaan tätä varten, että \bw \in \R^3. Nyt \bw=(w_1,w_2,w_3) joillakin w_1,w_2,w_3 \in \R.
Jotta vektori \bw olisi vektoreiden \bv_1, \bv_2 ja \bv_3 lineaarikombinaatio, täytyy löytyä luvut x_1, x_2, x_3 \in \R, joille pätee
Osoitetaan, että tällaisia lukuja on olemassa eli että yhtälöllä on ratkaisuja.
Yhtälöä vastaa yhtälöryhmä
jonka matriisi on
Yhtälöryhmän matriisista saadaan alkeisrivimuunnoksilla porrasmatriisi
Tavoitteena on siis selvittää, onko yhtälöryhmällä ratkaisuja. Tämä voidaan lukea suoraan porrasmatriisista. Koska porrasmatriisissa ei näy epätosia yhtälöitä, yhtälöryhmällä on ratkaisuja. Siten etsityt reaaliluvut x_1, x_2 ja x_3 ovat olemassa, ja \bw on vektoreiden \bv_1, \bv_2 ja \bv_3 lineaarikombinaatio.
Olemme nyt osoittaneet, että jokainen vektoriavaruuden \R^3 vektori on vektoreiden \bv_1, \bv_2 ja \bv_3 lineaarikombinaatio. Näin ollen kyseiset kolme vektoria virittävät vektoriavaruuden \R^3.
Esimerkki 5.2.4
Tutkitaan, virittävätkö vektorit
vektoriavaruuden \R^3.
Oletetaan, että \bw \in \R^3. Nyt \bw=(w_1,w_2,w_3) joillakin w_1,w_2,w_3 \in \R^3. Tutkitaan, onko \bw vektoreiden \bv_1, \bv_2 ja \bv_3 lineaarikombinaatio. Täytyy siis selvittää, onko olemassa lukuja x_1, x_2, x_3 \in \R, joille pätee
Tätä yhtälöä vastaa yhtälöryhmä
Yhtälöryhmän matriisista saadaan alkeisrivimuunnoksilla porrasmatriisi
Porrasmatriisista nähdään, että yhtälöryhmällä on ratkaisuja, jos ja vain jos alinta riviä vastaava yhtälö 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = w_1-2w_2-w_3 on tosi eli w_1-2w_2-w_3=0. Siten vektori \bw = (w_1,w_2,w_3) on vektorien \bv_1, \bv_2 ja \bv_3 lineaarikombinaatio, jos ja vain jos w_1-2w_2-w_3=0.
Näin ollen esimerkiksi vektori (1,0,0) ei ole vektoreiden \bv_1, \bv_2 ja \bv_3 lineaarikombinaatio, sillä se ei toteuta edellä saatua yhtälöä. On siis olemassa vektoriavaruuden \R^3 vektori, joka ei ole vektoreiden \bv_1, \bv_2 ja \bv_3 lineaarikombinaatio. Siten vektorit \bv_1, \bv_2 ja \bv_3 eivät viritä avaruutta \R^3.
Esimerkki 5.2.5
Tutkitaan, virittävätkö vektorit
avaruuden \R^3. Oletetaan, että \bw=(w_1,w_2,w_3) \in \R^3. On selvitettävä, onko olemassa lukuja x_1,x_2,x_3,x_4 \in \R, joille pätee
Saadaan yhtälöryhmä, jonka matriisi on
Tästä saadaan alkeisrivimuunnoksilla porrasmatriisi
Yhtälöryhmällä on ratkaisuja, sillä porrasmatriisissa ei näy epätosia yhtälöitä. Tämä ei riipu mitenkään luvuista w_1, w_2 ja w_3. Siten \bw on vektoreiden \bu_1, \bu_2, \bu_3 ja \bu_4 lineaarikombinaatio. Näin ollen kyseiset vektorit virittävät avaruuden \R^3.
Sekä esimerkissä 5.2.3 että esimerkissä 5.2.5 annetut vektorit virittävät avaruuden. Esimerkit poikkeavat toisistaan siinä suhteessa, että ensin mainitussa jokainen vektori voidaan kirjoittaa virittäjävektoreiden lineaarikombinaationa täsmälleen yhdellä tavalla ja jälkimmäisessä kirjoitustapoja on äärettömän monta. Tällä ei ole väliä, jos vain tutkitaan, virittävätkö vektorit avaruuden. Usein kuitenkin halutaan sellaiset virittäjävektorit, joiden lineaarikombinaatioina avaruuden vektorit voidaan kirjoittaa vain yhdellä tavalla. Tähän palataan luvussa 1.
Jokaisessa tämän luvun esimerkissä muodostettiin ensin vektoriyhtälö. Tuo yhtälö kirjoitettiin sitten yhtälöryhmänä ja edelleen matriisina. Huomataan, että näin muodostuvan matriisin sarakkeet ovat aina esimerkissä tutkitut virittäjävektorit. Vektoriyhtälö
voidaankin aina kirjoittaa matriisina
Tämä merkintä tarkoittaa, että sarakkeiden alkiot ovat vektoreissa \bv_1, \bv_2,\dots,\bv_k olevat luvut. Ei ole kuitenkaan tarpeen opetella ulkoa, että virittäjävektorit laitetaan matriisin sarakkeiksi. Jos olet asiasta epävarma, voit aina tarkistaa sen laskemalla kuten esimerkeissä on tehty.