\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Käänteismatriisit ja yhtälönratkaisu
Myös alkeisrivimuunnokset voi ilmaista matriisikertolaskun
avulla. Osoittautuu, että jos matriisia kerrotaan niin kutsutulla
alkeismatriisilla, tullaan matriisille tehneeksi jokin alkeisrivimuunnos. Tästä havainnosta tulee olemaan hyötyä kääntyvien matriisien käsittelyssä.
Esimerkiksi seuraavat matriisit ovat alkeismatriiseja:
\[\begin{split}E_1=\begin{augmatrix}{ccrc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{augmatrix}, \quad
E_2=\begin{augmatrix}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{augmatrix}, \quad
E_3=\begin{augmatrix}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\\
3 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Nämä alkeismatriisit on saatu yksikkömatriisista tekemällä sille alkeisrivimuunnokset
\(-\frac{1}{2}R_3\), \(R_2 \leftrightarrow R_4\) ja \(R_3+3R_1\).
Esimerkki 4.8.2
Osoittautuu, että alkeismatriiseilla kertominen vastaa alkeisrivimuunnosten
tekemistä. Tutkitaan tätä edellisen esimerkin alkeismatriisien ja matriisin
\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{augmatrix}\end{split}\]
avulla. Laskemalla nähdään, että \(E_1\) kertoo kolmannen rivin luvulla \(-\frac{1}{2}\),
\[\begin{split}E_1A=\begin{augmatrix}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & \boldsymbol{-\frac{1}{2}} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{augmatrix}
\begin{augmatrix}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{augmatrix}
=
\begin{augmatrix}{rrr}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\boldsymbol{-\frac{1}{2}}a_{31} & \boldsymbol{-\frac{1}{2}}a_{32} & \boldsymbol{-\frac{1}{2}}a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{augmatrix},\end{split}\]
\(E_2\) vaihtaa toisen ja neljännen rivin,
\[\begin{split}E_2A=\begin{augmatrix}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \boldsymbol{1}\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & \boldsymbol{1} & 0 & 0
\end{augmatrix}
\begin{augmatrix}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
\boldsymbol{a_{21}} & \boldsymbol{a_{22}} & \boldsymbol{a_{23}} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\boldsymbol{a_{41}} & \boldsymbol{a_{42}} & \boldsymbol{a_{43}}
\end{augmatrix}=
\begin{augmatrix}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
\boldsymbol{a_{41}} & \boldsymbol{a_{42}} & \boldsymbol{a_{43}} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\boldsymbol{a_{21}} & \boldsymbol{a_{22}} & \boldsymbol{a_{23}}
\end{augmatrix},\end{split}\]
ja \(E_3\) lisää kolmanteen riviin luvulla \(3\) kerrotun ensimmäisen rivin,
\[\begin{split}E_3A=\begin{augmatrix}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\\
\boldsymbol{3} & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{augmatrix}
\begin{augmatrix}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{augmatrix}
= \begin{augmatrix}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\boldsymbol{3a_{11}}+a_{31} & \boldsymbol{3a_{12}}+a_{32} & \boldsymbol{3a_{13}}+a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Huomataan, että jokaisella alkeismatriisilla kerrottaessa matriisille
\(A\) tullaan tehneeksi sama alkeisrivimuunnos, jonka avulla alkeismatriisi muodostettiin.
Yksittäinen esimerkki ei takaa, että alkeismatriisilla kertominen vastaa aina
alkeisrivimuunnoksen tekemistä. Esimerkin perusteella voi kuitenkin ymmärtää,
miksi näin on. Yleisen tapauksen todistaminen ei ole vaikeaa, mutta se on kuitenkin melko työlästä, joten tyydytään mainitsemaan tulos ilman todistusta.
Lemma 4.8.3
Oletetaan, että \(A \in \R^{n \times m}\).
Olkoon \(E\) alkeismatriisi, joka saadaan tekemällä jokin alkeisrivimuunnos
yksikkömatriisille \(I_n\). Jos matriisille \(A\) tehdään sama alkeisrivimuunnos,
tuloksena on matriisi \(EA\).
Lemma tarkoittaa apulausetta. Se on siis pieni tulos, jota voidaan käyttää hyväksi tärkeämpien lauseiden todistamisessa.
Lause 4.8.4
Alkeismatriisit ovat kääntyviä, ja alkeismatriisin käänteismatriisi on myös alkeismatriisi.
Piilota/näytä todistus
Tämänkään tuloksen tarkkaa todistusta ei esitetä tässä. Käydään kuitenkin läpi todistuksen
idea.
Jokainen alkeisrivimuunnos voidaan peruuttaa toisella alkeisrivimuunnoksella kuten kohta nähdään. Kutsutaan tätä alkeisrivimuunnosta alkuperäisen alkeisrivimuunnoksen käänteismuunnokseksi.
Oletetaan, että \(a,b \in \R\) ja \(a \neq 0\). Jos matriisille tehdään alkeisrivimuunnos \(R_i \leftrightarrow R_j\), päästään takaisin alkutilanteeseen tekemällä sama alkeisrivimuunnos uudelleen. Alkeisrivimuunnos \(R_i \leftrightarrow R_j\) on siis itsensä käänteismuunnos. Alkeisrivimuunnoksen \(aR_i\) käänteismuunnos on puolestaan \(\frac{1}{a}R_i\), ja alkeisrivimuunnoksen \(R_i+bR_j\) käänteismuunnos on \(R_i-bR_j\).
Alkeismatriisin käänteismatriisi saadaan aina käänteismuunnosta vastaavasta alkeismatriisista. Alkeisrivimuunnosta \(R_i \leftrightarrow R_j\) vastaava alkeismatriisi on oma käänteismatriisinsa, alkeisrivimuunnosta \(aR_i\) vastaavan alkeismatriisin käänteismatriisi on alkeisrivimuunnosta \(\frac{1}{a}R_i\) vastaava alkeismatriisi ja niin edelleen. Alkeisrivimuunnoksen tekeminen vastaa nimittäin edellisen lemman nojalla alkeismatriisilla kertomista. Esimerkiksi alkeisrivimuunnokset \(aR_i\) ja \(\frac{1}{a}R_i\) peräkkäin suoritettuina eivät tee matriisille mitään. Siten niitä vastaavien alkeismatriisien tulo on yksikkömatriisi, jolla kertominen ei tee matriisille mitään.
Esimerkki 4.8.5
Etsitään alkeismatriisin
\[\begin{split}E=\begin{augmatrix}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\\
3 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{augmatrix}\end{split}\]
käänteismatriisi. Matriisi vastaa alkeisrivimuunnosta \(R_3+3R_1\). Tämän
alkeisrivimuunnoksen voi kumota tekemällä alkeisrivimuunnoksen \(R_3-3R_1\).
Sitä vastaava alkeismatriisi on
\[\begin{split}F=\begin{augmatrix}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\\
-3 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Laskemalla voi vielä varmistaa, että \(EF=I\) ja \(FE=I\). Siis \(E^{-1}=F\).
Lauseessa 4.7.1 todettiin jo kääntyvien matriisien merkitys yhtälöryhmän ratkaisun kannalta. Nyt tuota tulosta voidaan täydentää tarkastelemalla lisäksi alkeisrivimuunnoksia ja niitä vastaavia alkeismatriiseja.
Lause 4.8.6 (Kääntyvien matriisien lause)
Oletetaan, että \(A\) on \(n \times n\)-neliömatriisi.
Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:
- Matriisi \(A\) on kääntyvä.
- Yhtälöllä \(A\bx=\bb\) on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla \(\bb \in\R^n\).
- Yhtälöllä \(A\bx=\nv\) on vain triviaali ratkaisu \(\bx=\nv\).
- Matriisi \(A\) on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa.
- Matriisi \(A\) on alkeismatriisien tulo.
- Matriisi \(A\) ei ole riviekvivalentti minkään nollarivin sisältävän matriisin kanssa.
Muista, että matriisit ovat riviekvivalentit, jos ne voidaan muuttaa alkeisrivimuunnoksilla toisikseen.
Piilota/näytä todistus
Osoitetaan väite todistamalla seuraavat päättelyketjut:
\[1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 5 \Rightarrow 1
\qquad \text{ja} \qquad
4 \Rightarrow 6 \Rightarrow 4.\]
Tämän jälkeen tiedetään, että jokainen lauseen kohta on yhtäpitävä toisten kohtien kanssa.
\(1 \Rightarrow 2\): Väite on osoitettu lauseessa 4.7.1.
\(2 \Rightarrow 3\):
Oletetaan, että yhtälöllä \(A\bx=\bb\) on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla \(\bb \in\R^n\). Tämä pätee myös, jos \(\bb=\nv\). Toisaalta yhtälöllä \(A\bx=\nv\) on aina ratkaisu \(\bx=\nv\). Siten \(\bx=\nv\) on ainoa ratkaisu.
\(3 \Rightarrow 4\): Oletetaan, että yhtälöllä \(A\bx=\nv\) on vain ratkaisu
\(\bx=\nv\). Merkitään \(A(i,j)=a_{ij}\) kaikilla \(i,j \in \{1,2,\dots,n\}\). Yhtälöä \(A\bx=\nv\)
vastaava lineaarinen yhtälöryhmä on
\[\begin{split}\left\{
\begin{array}{ccc}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n & = & 0 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n & = & 0 \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n & = & 0
\end{array}
\right.\end{split}\]
Yhtälöryhmässä on sama määrä yhtälöitä ja tuntemattomia. Koska yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu \(\bx=\nv\), se on ekvivalentti yhtälöryhmän
\[\begin{split}\left\{
\begin{aligned}
x_1 & =0 \\
x_2 & =0 \\
\vdots & \\
x_n & =0
\end{aligned}
\right.\end{split}\]
kanssa. Tämä tarkoittaa, että matriisi \(A\) saadaan alkeisrivimuunnoksilla
muutettua yksikkömatriisiksi. Toisin sanottuna \(A\) on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa.
\(4 \Rightarrow 5\): Oletetaan, että matriisi \(A\) on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa. Toisin sanoen \(A\) voidaan muuttaa alkeisrivimuunnoksilla yksikkömatriisiksi \(I\). Tällöin on olemassa alkeismatriisit \(E_1,\dots,E_k\), joilla kertomalla matriisista \(A\) saadaan yksikkömatriisi. Pätee siis
\[E_k \cdots E_1A=I.\]
Kun yhtälön molemmat puolet kerrotaan vasemmalta matriisilla \(E_k^{-1}\), saadaan
uusi yhtälö \(E_{k-1} \cdots E_1A=E_k^{-1}.\) Kun tämän yhtälön vasemmat puolet kerrotaan puolestaan matriisilla \(E_{k-1}^{-1}\), saadaan \(E_{k-2} \cdots E_1A=E_{k-1}^{-1}E_k^{-1}\). Jatkamalla samaan tapaan päädytään yhtälöön
\[A=E_1^{-1} \cdots E_{k-1}^{-1}E_k^{-1}.\]
Koska alkeismatriisin käänteismatriisi on myös alkeismatriisi, on väite todistettu.
\(5 \Rightarrow 1\): Oletetaan, että \(A=E_1 \cdots E_k\), missä \(E_1, \dots ,E_k\) ovat alkeismatriiseja. Merkitään \(B=E_k^{-1} \cdots E_1^{-1}\). Nyt
\[\begin{split}\begin{aligned}
AB & =(E_1 \cdots E_k)(E_k^{-1} \cdots E_1^{-1}) \\
& =E_1 \cdots (E_kE_k^{-1}) \cdots E_1^{-1} \\
& =E_1 \cdots E_{k-1}IE_{k-1}^{-1} \cdots E_1^{-1} \\
& \hspace{3em} \vdots \\
& =E_1 E_1^{-1}=I.
\end{aligned}\end{split}\]
Siispä \(AB=I\). Samalla tavalla nähdään, että \(BA=I\). Siten \(B\) on matriisin \(A\) käänteismatriisi ja \(A\) on kääntyvä.
\(4 \Rightarrow 6\): Oletetaan, että \(A\) on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa. Tehdään lisäksi vastaoletus, että \(A\) on riviekvivalentti jonkin matriisin \(B\) kanssa, joka sisältää nollarivin. Tällöin matriisiyhtälöitä \(A\bx=\nv\), \(I\bx=\nv\) ja \(B\bx=\nv\) vastaavilla yhtälöryhmillä on kaikilla samat ratkaisut.
Matriisi \(B\) sisältää nollarivin, joten joltakin sen riviltä puuttuu johtava alkio. Koska \(B\) sisältää yhtä monta riviä kuin saraketta, myös jostakin sen sarakkeesta puuttuu johtava alkio. Täten yhtälöryhmällä \(B\bx=\nv\) on vapaa muuttuja ja ratkaisuja on ääretön määrä. Kuitenkin yhtälöllä \(I\bx=\nv\) on vain yksi ratkaisu: \(\bx=\nv\). Tämä on ristiriita, joten vastaoletus on väärä ja \(A\) ei ole riviekvivalentti nollarivin sisältävän matriisin kanssa.
\(6 \Rightarrow 4\): Oletetaan, että \(A\) ei ole riviekvivalentti minkään nollarivin sisältävän matriisin kanssa. Olkoon \(B\) redusoitu porrasmatriisi, joka on riviekvivalentti matriisin \(A\) kanssa. Oletuksen mukaan \(B\) ei sisällä nollarivejä, joten sen jokaisella rivillä on johtava alkio. Koska \(B\) on neliömatriisi, myös sen jokaisessa sarakkeessa on johtava alkio. Tällöin \(B\) on itse asiassa yksikkömatriisi, joten \(A\) on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa.
Käänteismatriisin määrittäminen
Seuraavaksi esitellään menetelmä, jonka avulla matrisiin kääntyvyyden ja mahdollisen käänteismatriisin voi selvittää. Menetelmä esitellään ensin. Sen jälkeen perustellaan, miksi menetelmä toimii.
Matriisin kääntyvyyden selvittäminen ja käänteismatriisin etsiminen voidaan tehdä yhtä aikaa. Oletetaan, että halutaan selvittää, onko matriisi \(A\) kääntyvä. Yhdistetään matriisi \(A\) ja yksikkömatriisi \(I\) matriisiksi \([A \mid I\,]\). Tehdään tälle matriisille alkeisrivimuunnoksia, joilla yritetään muuttaa \(A\) redusoiduksi porrasmatriisiksi.
Jos \(A\) saadaan muutettua alkeisrivimuunnosten avulla yksikkömatriisiksi, on \(A\) kääntyvä. Lisäksi matriisin \(I\) paikalle muodostuu matriisin \(A\) käänteismatriisi.
Havainnollistetaan menetelmää esimerkein.
Esimerkki 4.8.7
Tutkitaan, onko matriisilla
\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{rrr}
2 & 4 & -2 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 4
\end{augmatrix}\end{split}\]
käänteismatriisi.
Muokataan yhdistettyä matriisia
\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrr|ccc}
2 & 4 & -2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1
\end{augmatrix}\end{split}\]
alkeisrivimuunnoksilla samaan tapaan kuin Gaussin–Jordanin menetelmässä. Tavoitteena on saada vasemmalle puolelle yksikkömatriisi. Muokkaus voi tapahtua esimerkiksi seuraavasti:
\[\begin{split}\begin{aligned}
&\begin{augmatrix}{rrr|ccc}
2 & 4 & -2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1
\end{augmatrix} \overset{R_1 \leftrightarrow R_3}{\longrightarrow}
\begin{augmatrix}{rrr|ccc}
1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 4 & -2 & 1 & 0 & 0
\end{augmatrix} \overset{R_3-2R_1}{\longrightarrow} \\[2mm]
&\begin{augmatrix}{rrr|rrr}
1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 4 & -10 & 1 & 0 & -2
\end{augmatrix} \overset{R_2 \leftrightarrow R_3}{\longrightarrow}
\begin{augmatrix}{rrr|rrr}
1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 4 & -10 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{augmatrix} \overset{\frac{1}{4}R_2}{\longrightarrow} \\[2mm]
&\begin{augmatrix}{rrr|rrr}
1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -\frac{5}{2} & \frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{augmatrix} \overset{R_2+\frac{5}{2}R_3}{\longrightarrow}
\begin{augmatrix}{ccc|rrr}
1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{augmatrix} \overset{R_1-4R_3}{\longrightarrow} \\[2mm]
&\begin{augmatrix}{ccc|rrr}
1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 1 \\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{augmatrix}.
\end{aligned}\end{split}\]
Koska matriisi \(A\) saatiin muutettua alkeisrivimuunnoksilla yksikkömatriisiksi, on \(A\) kääntyvä. Lisäksi sen käänteismatriisi on
\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrr}
0 & -4 & 1\\
\frac{1}{4} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & 1 & 0
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Jos matriisi ei ole kääntyvä, tulee myös se ilmi matriisia redusoitaessa. Jos matriisia voidaan muokata alkeisrivimuunnoksilla niin, että saadaan aikaiseksi nollarivi, ei matriisi ole kääntyvä. Toisin sanoen matriisi ei voi olla kääntyvä, jos se on riviekvivalentti sellaisen matriisin kanssa, jossa on nollarivi.
Esimerkki 4.8.8
Tutkitaan, onko matriisilla
\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{rrr}
-1 & 0 & 2 \\
4 & 1 & -3 \\
3 & 1 & -1
\end{augmatrix}\end{split}\]
käänteismatriisi.
Ryhdytään muokkaamaan yhdistettyä matriisia alkeisrivimuunnoksilla:
\[\begin{split}\begin{aligned}
& \begin{augmatrix}{rrr|ccc}
-1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
4 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0\\
3 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{augmatrix} \overset{(-1)R_1}{\longrightarrow}
\begin{augmatrix}{rrr|rrr}
1 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0\\
4 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0\\
3 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{augmatrix} \overset{R_2-4R_1}{\longrightarrow}
\begin{augmatrix}{rrr|rrr}
1 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 5 & 4 & 1 & 0\\
3 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{augmatrix} \\[1ex]
& \overset{R_3-3R_1}{\longrightarrow}
\begin{augmatrix}{rrr|rrr}
1 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 5 & 4 & 1 & 0\\
0 & 1 & 5 & 3 & 0 & 1
\end{augmatrix} \overset{R_3-R_2}{\longrightarrow} \begin{augmatrix}{rrr|rrr}
1 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 5 & 4 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1
\end{augmatrix}.
\end{aligned}\end{split}\]
Koska matriisin \(B\) viimeisen rivin paikalle tuli nollarivi, matriisi \(B\) ei ole kääntyvä.
Perustellaan sitten, miksi menetelmä toimii.
Menetelmässä matriisia muokataan alkeisrivimuunnoksilla. Jos näin saadaan aikaiseksi yksikkömatriisi, on alkuperäinen matriisi kääntyvä.
Tämä perustuu siihen, että
jos matriisi \(A\) onnistutaan muuttamaan alkeisrivimuunnoksilla yksikkömatriisiksi, niin \(A\) on lauseen 4.8.6 nojalla kääntyvä eli sillä on käänteismatriisi \(A^{-1}\).
Jos matriisi on kääntyvä, käytetyistä alkeisrivimuunnoksista saadaan myös selville, mikä käänteismatriisi on. Oletetaan, että matriisi \(A\) on muutettu yksikkömatriisiksi alkeisrivimuunnoksilla, joita vastaavat alkeismatriisit \(E_1, \dots, E_k\). Nyt
\[E_k\cdots E_1A = I.\]
Tällöin käänteismatriisille pätee
\[\begin{split}
A^{-1} &= IA^{-1} = (E_k\cdots E_1A)A^{-1} = E_k\cdots E_1(AA^{-1}) = E_k\cdots E_1 I.
\end{split}\]
Tämä tarkoittaa, että tekemällä yksikkömatriisille \(I\) samat alkeisrivimuunnokset kuin tehtiin alunperin matriisille \(A\) päädytään käänteismatriisiin \(A^{-1}\).
Siis
\[[A \mid I] \quad \leadsto \quad [I \mid A^{-1}].\]
Siksi käänteismatriisi \(A^{-1}\) ilmestyy yksikkömatriisin \(I\) paikalle.
Lause 4.8.6 antaa välineet myös sen osoittamiseen, että matriisi ei ole kääntyvä. Lauseen mukaan matriisi \(A\) ei ole kääntyvä, jos se on riviekvivalentti sellaisen matriisin kanssa, joka sisältää nollarivin. Tämä voidaan ilmaista myös toisin: matriisi \(A\) ei ole kääntyvä, jos siihen saadaan alkeisrivimuunnoksilla muodostettua nollarivi.
- Alkeismatriisilla kertominen vastaa alkeisrivimuunnoksen tekemistä.
- Matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos se voidaan muuttaa alkeisrivimuunnoksilla yksikkömatriisiksi.
Tiivistelmä