Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Arrows.js

Käänteismatriisit ja yhtälönratkaisu

Myös alkeisrivimuunnokset voi ilmaista matriisikertolaskun avulla. Osoittautuu, että jos matriisia kerrotaan niin kutsutulla alkeismatriisilla, tullaan matriisille tehneeksi jokin alkeisrivimuunnos. Tästä havainnosta tulee olemaan hyötyä kääntyvien matriisien käsittelyssä.

Määritelmä 4.8.1

Matriisi on alkeismatriisi, jos se on saatu yksikkömatriisista yhdellä alkeisrivimuunnoksella.

Esimerkiksi seuraavat matriisit ovat alkeismatriiseja:

E1=[10000100001200001],E2=[1000000100100100],E3=[1000010030100001].

Nämä alkeismatriisit on saatu yksikkömatriisista tekemällä sille alkeisrivimuunnokset 12R3, R2R4 ja R3+3R1.

Esimerkki 4.8.2

Osoittautuu, että alkeismatriiseilla kertominen vastaa alkeisrivimuunnosten tekemistä. Tutkitaan tätä edellisen esimerkin alkeismatriisien ja matriisin

A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33a41a42a43]

avulla. Laskemalla nähdään, että E1 kertoo kolmannen rivin luvulla 12,

E1A=[10000100001200001][a11a12a13a21a22a23a31a32a33a41a42a43]=[a11a12a13a21a22a2312a3112a3212a33a41a42a43],

E2 vaihtaa toisen ja neljännen rivin,

E2A=[1000000100100100][a11a12a13a21a22a23a31a32a33a41a42a43]=[a11a12a13a41a42a43a31a32a33a21a22a23],

ja E3 lisää kolmanteen riviin luvulla 3 kerrotun ensimmäisen rivin,

E3A=[1000010030100001][a11a12a13a21a22a23a31a32a33a41a42a43]=[a11a12a13a21a22a233a11+a313a12+a323a13+a33a41a42a43].

Huomataan, että jokaisella alkeismatriisilla kerrottaessa matriisille A tullaan tehneeksi sama alkeisrivimuunnos, jonka avulla alkeismatriisi muodostettiin.

Yksittäinen esimerkki ei takaa, että alkeismatriisilla kertominen vastaa aina alkeisrivimuunnoksen tekemistä. Esimerkin perusteella voi kuitenkin ymmärtää, miksi näin on. Yleisen tapauksen todistaminen ei ole vaikeaa, mutta se on kuitenkin melko työlästä, joten tyydytään mainitsemaan tulos ilman todistusta.

Lemma 4.8.3

Oletetaan, että ARn×m. Olkoon E alkeismatriisi, joka saadaan tekemällä jokin alkeisrivimuunnos yksikkömatriisille In. Jos matriisille A tehdään sama alkeisrivimuunnos, tuloksena on matriisi EA.

Lemma tarkoittaa apulausetta. Se on siis pieni tulos, jota voidaan käyttää hyväksi tärkeämpien lauseiden todistamisessa.

Lause 4.8.4

Alkeismatriisit ovat kääntyviä, ja alkeismatriisin käänteismatriisi on myös alkeismatriisi.

Piilota/näytä todistus

Tämänkään tuloksen tarkkaa todistusta ei esitetä tässä. Käydään kuitenkin läpi todistuksen idea.

Jokainen alkeisrivimuunnos voidaan peruuttaa toisella alkeisrivimuunnoksella kuten kohta nähdään. Kutsutaan tätä alkeisrivimuunnosta alkuperäisen alkeisrivimuunnoksen käänteismuunnokseksi.

Oletetaan, että a,bR ja a0. Jos matriisille tehdään alkeisrivimuunnos RiRj, päästään takaisin alkutilanteeseen tekemällä sama alkeisrivimuunnos uudelleen. Alkeisrivimuunnos RiRj on siis itsensä käänteismuunnos. Alkeisrivimuunnoksen aRi käänteismuunnos on puolestaan 1aRi, ja alkeisrivimuunnoksen Ri+bRj käänteismuunnos on RibRj.

Alkeismatriisin käänteismatriisi saadaan aina käänteismuunnosta vastaavasta alkeismatriisista. Alkeisrivimuunnosta RiRj vastaava alkeismatriisi on oma käänteismatriisinsa, alkeisrivimuunnosta aRi vastaavan alkeismatriisin käänteismatriisi on alkeisrivimuunnosta 1aRi vastaava alkeismatriisi ja niin edelleen. Alkeisrivimuunnoksen tekeminen vastaa nimittäin edellisen lemman nojalla alkeismatriisilla kertomista. Esimerkiksi alkeisrivimuunnokset aRi ja 1aRi peräkkäin suoritettuina eivät tee matriisille mitään. Siten niitä vastaavien alkeismatriisien tulo on yksikkömatriisi, jolla kertominen ei tee matriisille mitään.

Esimerkki 4.8.5

Etsitään alkeismatriisin

E=[1000010030100001]

käänteismatriisi. Matriisi vastaa alkeisrivimuunnosta R3+3R1. Tämän alkeisrivimuunnoksen voi kumota tekemällä alkeisrivimuunnoksen R33R1. Sitä vastaava alkeismatriisi on

F=[1000010030100001].

Laskemalla voi vielä varmistaa, että EF=I ja FE=I. Siis E1=F.

Lauseessa 4.7.1 todettiin jo kääntyvien matriisien merkitys yhtälöryhmän ratkaisun kannalta. Nyt tuota tulosta voidaan täydentää tarkastelemalla lisäksi alkeisrivimuunnoksia ja niitä vastaavia alkeismatriiseja.

Lause 4.8.6 (Kääntyvien matriisien lause)

Oletetaan, että A on n×n-neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:

  1. Matriisi A on kääntyvä.
  2. Yhtälöllä Ax=b on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla bRn.
  3. Yhtälöllä Ax=0 on vain triviaali ratkaisu x=0.
  4. Matriisi A on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa.
  5. Matriisi A on alkeismatriisien tulo.
  6. Matriisi A ei ole riviekvivalentti minkään nollarivin sisältävän matriisin kanssa.

Muista, että matriisit ovat riviekvivalentit, jos ne voidaan muuttaa alkeisrivimuunnoksilla toisikseen.

Piilota/näytä todistus

Osoitetaan väite todistamalla seuraavat päättelyketjut:

123451ja464.

Tämän jälkeen tiedetään, että jokainen lauseen kohta on yhtäpitävä toisten kohtien kanssa.

12: Väite on osoitettu lauseessa 4.7.1.

23: Oletetaan, että yhtälöllä Ax=b on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla bRn. Tämä pätee myös, jos b=0. Toisaalta yhtälöllä Ax=0 on aina ratkaisu x=0. Siten x=0 on ainoa ratkaisu.

34: Oletetaan, että yhtälöllä Ax=0 on vain ratkaisu x=0. Merkitään A(i,j)=aij kaikilla i,j{1,2,,n}. Yhtälöä Ax=0 vastaava lineaarinen yhtälöryhmä on

{a11x1+a12x2++a1nxn=0a21x1+a22x2++a2nxn=0an1x1+an2x2++annxn=0

Yhtälöryhmässä on sama määrä yhtälöitä ja tuntemattomia. Koska yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu x=0, se on ekvivalentti yhtälöryhmän

{x1=0x2=0xn=0

kanssa. Tämä tarkoittaa, että matriisi A saadaan alkeisrivimuunnoksilla muutettua yksikkömatriisiksi. Toisin sanottuna A on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa.

45: Oletetaan, että matriisi A on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa. Toisin sanoen A voidaan muuttaa alkeisrivimuunnoksilla yksikkömatriisiksi I. Tällöin on olemassa alkeismatriisit E1,,Ek, joilla kertomalla matriisista A saadaan yksikkömatriisi. Pätee siis

EkE1A=I.

Kun yhtälön molemmat puolet kerrotaan vasemmalta matriisilla E1k, saadaan uusi yhtälö Ek1E1A=E1k. Kun tämän yhtälön vasemmat puolet kerrotaan puolestaan matriisilla E1k1, saadaan Ek2E1A=E1k1E1k. Jatkamalla samaan tapaan päädytään yhtälöön

A=E11E1k1E1k.

Koska alkeismatriisin käänteismatriisi on myös alkeismatriisi, on väite todistettu.

51: Oletetaan, että A=E1Ek, missä E1,,Ek ovat alkeismatriiseja. Merkitään B=E1kE11. Nyt

AB=(E1Ek)(E1kE11)=E1(EkE1k)E11=E1Ek1IE1k1E11=E1E11=I.

Siispä AB=I. Samalla tavalla nähdään, että BA=I. Siten B on matriisin A käänteismatriisi ja A on kääntyvä.

46: Oletetaan, että A on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa. Tehdään lisäksi vastaoletus, että A on riviekvivalentti jonkin matriisin B kanssa, joka sisältää nollarivin. Tällöin matriisiyhtälöitä Ax=0, Ix=0 ja Bx=0 vastaavilla yhtälöryhmillä on kaikilla samat ratkaisut.

Matriisi B sisältää nollarivin, joten joltakin sen riviltä puuttuu johtava alkio. Koska B sisältää yhtä monta riviä kuin saraketta, myös jostakin sen sarakkeesta puuttuu johtava alkio. Täten yhtälöryhmällä Bx=0 on vapaa muuttuja ja ratkaisuja on ääretön määrä. Kuitenkin yhtälöllä Ix=0 on vain yksi ratkaisu: x=0. Tämä on ristiriita, joten vastaoletus on väärä ja A ei ole riviekvivalentti nollarivin sisältävän matriisin kanssa.

64: Oletetaan, että A ei ole riviekvivalentti minkään nollarivin sisältävän matriisin kanssa. Olkoon B redusoitu porrasmatriisi, joka on riviekvivalentti matriisin A kanssa. Oletuksen mukaan B ei sisällä nollarivejä, joten sen jokaisella rivillä on johtava alkio. Koska B on neliömatriisi, myös sen jokaisessa sarakkeessa on johtava alkio. Tällöin B on itse asiassa yksikkömatriisi, joten A on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa.

Käänteismatriisin määrittäminen

Seuraavaksi esitellään menetelmä, jonka avulla matrisiin kääntyvyyden ja mahdollisen käänteismatriisin voi selvittää. Menetelmä esitellään ensin. Sen jälkeen perustellaan, miksi menetelmä toimii.

Matriisin kääntyvyyden selvittäminen ja käänteismatriisin etsiminen voidaan tehdä yhtä aikaa. Oletetaan, että halutaan selvittää, onko matriisi A kääntyvä. Yhdistetään matriisi A ja yksikkömatriisi I matriisiksi [AI]. Tehdään tälle matriisille alkeisrivimuunnoksia, joilla yritetään muuttaa A redusoiduksi porrasmatriisiksi. Jos A saadaan muutettua alkeisrivimuunnosten avulla yksikkömatriisiksi, on A kääntyvä. Lisäksi matriisin I paikalle muodostuu matriisin A käänteismatriisi.

Havainnollistetaan menetelmää esimerkein.

Esimerkki 4.8.7

Tutkitaan, onko matriisilla

A=[242001104]

käänteismatriisi. Muokataan yhdistettyä matriisia

[242100001010104001]

alkeisrivimuunnoksilla samaan tapaan kuin Gaussin–Jordanin menetelmässä. Tavoitteena on saada vasemmalle puolelle yksikkömatriisi. Muokkaus voi tapahtua esimerkiksi seuraavasti:

[242100001010104001]R1R3[104001001010242100]R32R1[1040010010100410102]R2R3[1040010410102001010]14R2[104001015214012001010]R2+52R3[104001010145212001010]R14R3[100041010145212001010].

Koska matriisi A saatiin muutettua alkeisrivimuunnoksilla yksikkömatriisiksi, on A kääntyvä. Lisäksi sen käänteismatriisi on

[041145212010].

Jos matriisi ei ole kääntyvä, tulee myös se ilmi matriisia redusoitaessa. Jos matriisia voidaan muokata alkeisrivimuunnoksilla niin, että saadaan aikaiseksi nollarivi, ei matriisi ole kääntyvä. Toisin sanoen matriisi ei voi olla kääntyvä, jos se on riviekvivalentti sellaisen matriisin kanssa, jossa on nollarivi.

Esimerkki 4.8.8

Tutkitaan, onko matriisilla

B=[102413311]

käänteismatriisi. Ryhdytään muokkaamaan yhdistettyä matriisia alkeisrivimuunnoksilla:

[102100413010311001](1)R1[102100413010311001]R24R1[102100015410311001]R33R1[102100015410015301]R3R2[102100015410000111].

Koska matriisin B viimeisen rivin paikalle tuli nollarivi, matriisi B ei ole kääntyvä.

Perustellaan sitten, miksi menetelmä toimii. Menetelmässä matriisia muokataan alkeisrivimuunnoksilla. Jos näin saadaan aikaiseksi yksikkömatriisi, on alkuperäinen matriisi kääntyvä. Tämä perustuu siihen, että jos matriisi A onnistutaan muuttamaan alkeisrivimuunnoksilla yksikkömatriisiksi, niin A on lauseen 4.8.6 nojalla kääntyvä eli sillä on käänteismatriisi A1.

Jos matriisi on kääntyvä, käytetyistä alkeisrivimuunnoksista saadaan myös selville, mikä käänteismatriisi on. Oletetaan, että matriisi A on muutettu yksikkömatriisiksi alkeisrivimuunnoksilla, joita vastaavat alkeismatriisit E1,,Ek. Nyt

EkE1A=I.

Tällöin käänteismatriisille pätee

A1=IA1=(EkE1A)A1=EkE1(AA1)=EkE1I.

Tämä tarkoittaa, että tekemällä yksikkömatriisille I samat alkeisrivimuunnokset kuin tehtiin alunperin matriisille A päädytään käänteismatriisiin A1. Siis

[AI]

Siksi käänteismatriisi A^{-1} ilmestyy yksikkömatriisin I paikalle.

Lause 4.8.6 antaa välineet myös sen osoittamiseen, että matriisi ei ole kääntyvä. Lauseen mukaan matriisi A ei ole kääntyvä, jos se on riviekvivalentti sellaisen matriisin kanssa, joka sisältää nollarivin. Tämä voidaan ilmaista myös toisin: matriisi A ei ole kääntyvä, jos siihen saadaan alkeisrivimuunnoksilla muodostettua nollarivi.

  • Alkeismatriisilla kertominen vastaa alkeisrivimuunnoksen tekemistä.
  • Matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos se voidaan muuttaa alkeisrivimuunnoksilla yksikkömatriisiksi.
Olkoon A n \times n -neliömatriisi. Oletetaan, että matriisi A on kääntyvä. Mikä seuraavista ehdoista ei vastaa tätä oletusta?
Olkoon I yksikkömatriisi. Matriisin A käänteismatriisi on
Palautusta lähetetään...