\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Erityisiä matriiseja ja matriisien laskusääntöjä
Seuraavaksi esitellään muutamia matriiseja tai matriisityyppejä, jotka ansaitsevat hyödyllisyytensä vuoksi oman nimen. Neliömatriisi on matriisi, jossa on yhtä monta riviä
ja saraketta.
Neliömatriisin alkio on lävistäjällä eli diagonaalilla, jos
alkion rivin ja sarakkeen numerot ovat samat. Matriisi, jonka kaikki nollasta
poikkeavat alkiot ovat lävistäjällä, on
lävistäjämatriisi eli diagonaalimatriisi. Lävistäjämatriisi, jonka
kaikki lävistäjäalkiot ovat samoja, on puolestaan
skalaarimatriisi. Skalaarimatriisit ovat
yksikkömatriisin skalaarimonikertoja. Esimerkiksi
\[\begin{split}\begin{augmatrix}{crcc}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 15
\end{augmatrix}\end{split}\]
on lävistäjämatriisi ja
\[\begin{split}\begin{augmatrix}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{augmatrix}
=2I_3\end{split}\]
on skalaarimatriisi.
Matriiseja, joiden kaikki alkiot ovat nollia, eli jotka ovat muotoa
\[\begin{split}O_{m\times n}=
\begin{augmatrix}{cccc}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{augmatrix} \in \R^{m \times n},\end{split}\]
kutsutaan nollamatriiseiksi. Nollamatriisit käyttäytyvät matriisien yhteenlaskun suhteen samalla tavalla kuin nolla lukujen yhteenlaskussa tai nollavektori vektorien yhteenlaskussa: sellaisen lisääminen toiseen matriisiin ei muuta tuota toista matriisia mitenkään.
Toinen tärkeä matriisi on neliömatriisi
\[\begin{split}I_n=\begin{augmatrix}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & 1
\end{augmatrix}
\in\R^{n\times n},\end{split}\]
jonka kaikki lävistäjäalkiot ovat ykkösiä. Tällä matriisilla on monta eri nimeä. Sitä kutsutaan yksikkömatriisiksi tai identiteettimatriisiksi. Matriisi \(I\) käyttäytyy matriisikertolaskussa kuten ykkönen käyttäytyy lukujen kertolaskussa.
Samalla tavoin yksikkömatriisit käyttäytyvät matriisikertolaskussa aivan kuten reaaliluku 1 tavallisessa kertolaskussa. Kaikilla \(A\in\R^{m \times n}\) pätee nimittäin
\[I_m A=A \quad \text{ja} \quad A I_n=A.\]
Eri puolilta kerrottaessa on matriisikertolaskun rajoituksen vuoksi käytettävä eri kokoista yksikkömatriisia.
Jossain muualla yksikkömatriisia saatetaan kutsua kkkösmatriisiksi. Tämän termin kanssa on oltava varovainen, sillä se voi eri aloilla tarkoittaa eri asioita. Esimerkiksi insinööritieteissä se tarkoittaa usein matriisia, jonka kaikki alkiot ovat ykkösiä.
Nollamatriisissa voi olla mikä tahansa määrä rivejä ja sarakkeita. Sen sijaan yksikkömatriisissa on aina yhtä paljon rivejä ja sarakkeita. Jos matriisin tyypistä ei ole epäselvyyttä, saatetaan merkitä yksinkertaisemmin \(O_{m\times n}=O\) ja \(I_n=I\).
Matriisien laskutoimitukset noudattavat tiettyjä sääntöjä, jotka monessa kohdassa muistuttavat lukujen laskusääntöjä.
Lause 4.4.1
Seuraavat säännöt pätevät
matriiseille \(A\), \(B\) ja \(C\) sekä reaaliluvuille \(a\) ja \(b\), jos laskutoimitukset on määritelty:
- \(A+B=B+A\)
- \(A+(B+C)=(A+B)+C\)
- \(A(BC)=(AB)C\)
- \(A(B+C)=AB+AC\)
- \((A+B)C=AC+BC\)
- \((ab)A=a(bA)\)
- \(a(AB)=(aA)B=A(aB)\).
Kuten aiemmin on jo mainittu, yleisessä tapauksessa \(AB\neq BA\), eli tulon vaihdannaisuus ei päde matriiseilla. Myöskään tulon nollasääntö ei päde matriiseilla: kahden matriisin tulo voi olla nollamatriisi, vaikka kumpikaan tulon tekijöistä ei ole nollamatriisi.
Piilota/näytä todistus
Osoitetaan esimerkin vuoksi kohta 4.
Oletetaan, että \(A \in \R^{m \times n}\) ja \(B,C \in \R^{n \times p}\). Nyt
\(A(B+C)\) ja \(AB+AC\) ovat molemmat \(m \times p\) -matriiseja. On osoitettava, että
kyseisten matriisien alkiot ovat samoja. Olkoot sitä varten \(i \in \{1,2,\dots,m\}\) ja \(j\in \{1,2,\dots,p\}\). Nähdään, että
\[\begin{split}\begin{aligned}
\bigl(A(B+C)\bigr)(i,j)&=\sum_{k=1}^n A(i,k)\cdot (B+C)(k,j) \\
& =\sum_{k=1}^n A(i,k) \bigl(B(k,j)+C(k,j)\bigr) \\
& =\sum_{k=1}^n \bigl(A(i,k)B(k,j)+A(i,k)C(k,j)\bigr) \\
& =\sum_{k=1}^n A(i,k)B(k,j)+\sum_{k=1}^nA(i,k)C(k,j) \\
& =(AB)(i,j)+(AC)(i,j)=(AB+AC)(i,j).
\end{aligned}\end{split}\]
Koska matriisit \(A(B+C)\) ja \(AB+AC\) ovat samankokoisia ja niillä on täsmälleen
samat alkiot, pätee \(A(B+C)=AB+AC\).
- Kun nollamatriisin \(O\) laskee yhteen toisen matriisin kanssa, ei tapahdu mitään.
- Kun yksikkömatriisilla \(I\) kertoo toista matriisia, ei tapahdu mitään.
- Matriisien laskutoimituksille pätevät monet samat laskusäännöt kuin reaalilukujen laskututoimituksille.
- Joidenkin laskusääntöjen suhteen matriisit kuitenkin käyttäytyvät eri tavalla kuin reaaliluvut. Matriisitulo ei esimerkiksi ole vaihdannainen eikä sille päde tulon nollasääntö.
- Kun sievennät lausekkeita matriisien laskusääntöjen avulla, mieti aina tarkkaan, päteekö soveltamasi laskusääntö!
Tiivistelmä