- MATH.MA.140
- 4. Matriisit
- 4.3 Matriisit kuvauksina
Matriisit kuvauksina¶
Seuraavassa videossa näytetään, kuinka matriiseja voi ajatella kuvauksina. Tätä kautta saadaan myös havainnollistus matriisikertolaskulle.
Matriisia voidaan ajatella kuvauksena, joka kuvaa vektoreita toisiksi vektoreiksi kertolaskun avulla. Tutkitaan tätä esimerkkien avulla.
Esimerkki 4.3.1
Matriisi
tuottaa kuvauksen, joka kuvaa avaruuden R2 vektorin x vektoriksi Ax. Esimerkiksi vektori x=(−4,3) kuvautuu vektoriksi
Toisin sanoen (−4,3)↦(−8,3). Yleisesti vektori x∈R2 kuvautuu kuvauksessa vektoriksi
Toisin sanoen (x1,x2)↦(2x1,x2). Vektorin ensimmäinen komponentti siis kaksinkertaistuu ja toinen kompontentti pysyy samana. Niinpä matriisi A venyttää vektoreita vaaka-akselin suunnassa (kuva 1).
Fig. 1: Matriisi A venyttää vektoreita vaaka-akselin suunnassa.
Esimerkki 4.3.2
Tutkitaan, sitten millaisen kuvauksen määrää matriisi
Vektori x∈R2 kuvautuu kuvauksessa vektoriksi
Toisin sanoen (x1,x2)↦(−x1,x2). Matriisi B peilaa vektorit x2-akselin suhteen (kuva 2).
Fig. 2: Matriisi B peilaa vektorit pystyakselin suhteen.
Esimerkki 4.3.3
Tutkitaan vielä matriisin
määräämää kuvausta. Vektori x∈R2 kuvautuu kuvauksessa vektoriksi
Toisin sanoen (x1,x2)↦(−x2,x1). Matriisi C kiertää vektoreita kulman π/2 verran vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan (kuva 3).
Fig. 3: Matriisi C kiertää vektoreita kulman π/2 verran positiiviseen kiertosuuntaan.
Esimerkki 4.3.4
Tarkastellaan matriisia
Vektori x∈R2 kuvautuu kuvauksessa vektoriksi
Toisin sanoen (x1,x2)↦(x1,0). Matriisi P projisoi vektorit vaaka-akselille (kuva 4).
Fig. 4: Matriisi P projisoi vektorit vaaka-akselille.
Kun matriisia ajatellaan kuvauksena, matriisin sarakkeina ovat luonnollisen kannan vektoreiden kuvavektorit. Esimerkiksi edellä esitetyn matrisiin A sarakkeet ovat Ae1 ja Ae2, missä e1=(1,0) ja e2=(0,1). Tämä seuraa suoraan lauseesta 4.2.11, jonka nojalla matriisin tulo luonnollisen kannan vektorin kanssa poimii matriisista vastaavan sarakkeen.
Kun matriiseja ajatellaan kuvauksina, matriisitulo vastaa sitä, että kaksi kuvausta tehdään peräkkäin. Toisin sanoen matriisitulo vastaa yhdistettyä kuvausta.
Tutkitaan, mitä matriisien yhdistetty kuvaus näyttää geometrisesti. Tehdään ensin peilaus B ja sitten kierto C. Yhdistetty kuvaus ensin peilaa vektorit pysty-akselin suhteen ja sen jälkeen kiertää niitä kulman π/2 verran vastapäivään (ks. kuva 5).
Fig. 5: Ylemmässä kuvassa näytetään, mitä vektoreille tapahtuu, kun niitä kerrotaan ensin matriisilla B ja sitten matriisilla C. Alemmassa kuvassa sama saadaan aikaan kertomalla vektoreita matriisilla CB.
Tutkitaan sitten, miten yhdistetty kuvaus lasketaan. Kun vektoria x∈R2 kuvataan matriisilla B, saadaan vektori Bx. Kun tätä tulosvektoria kuvataan matriisilla C saadaan vektori C(Bx). Matriisien laskusääntöjen (lause 3.4.1) nojalla tämä on sama asia kuin (CB)x. Toisin sanoen tulomatriisi CB on kuvaus, joka ensin kiertää ja sitten peilaa vektoreita.
Ensi alkuun voi tuntua siltä, että matriisit ovat tulomatriisissa väärin päin. Jos peilaus B tehdään ensin, miksi se on tulossa CB vasta toisena tulon tekijänä? Tämä kuitenkin johtuu tavasta, jolla kuvauksia kirjoitetaan. Kuvaus B kirjoitetaan alkion x vasemmalle puolelle (Bx). Siksi tulossa CB kuvaus B tehdään ensin.
Matriisien määrittämät kuvaukset ovat niin kutsuttuja lineaarikuvauksia. Kuvaus L:Rm→Rn on lineaarikuvaus, jos seuraavat ehdot pätevät:
- L(v+w)=L(v)+L(w) kaikilla v,w∈Rm
- L(tv)=tL(v) kaikilla t∈R ja v∈Rm.
- Matriiseja voidaan ajatella kuvauksina, jotka kuvaavat vektoreita.
- Matriisien kertolasku vastaa kuvausten yhdistämistä.