\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Mitä matriisit ovat?
Pohdi 4.1.1
Ruska ja Tuisku ovat lähdössä ruokaostoksille ja vertailevat hintoja kahdessa lähikaupassaan. Alla olevassa taulukossa on heidän kauppalistansa sekä ruokatavaroiden hinnat eri kaupoissa:
\[\begin{split}\begin{array}{c|ccc}
& \text{maitoja} & \text{sämpylöitä} & \text{jogurtteja} \\\hline
\text{Ruska} & 6 & 4 & 4 \\
\text{Tuisku} & 6 & 2 & 3
\end{array} \qquad
\begin{array}{c|cc}
& \text{Y-kauppa} & \text{T-valinta} \\\hline
\text{maito} & 1{,}40 \text{ e} & 1{,}30 \text{ e} \\
\text{sämpylä} & 1{,}10 \text{ e} & 1{,}15 \text{ e} \\
\text{jogurtti} & 0{,}50 \text{ e} & 0{,}60 \text{ e}
\end{array}\end{split}\]
- Kuinka monta jogurttia Tuisku aikoo ostaa?
- Mitä kaikkea Ruska on ostamassa ja kuinka paljon?
- Mitkä ovat tuotteiden hinnat T-valinnassa?
Kuten Ruskan ja Tuiskun tapauksesta nähdään toisinaan asiat on kätevä kirjoittaa muistiin taulukkoon. Matematiikassa lukutaulukkoja kutsutaan matriiseiksi. Esimerkiksi Ruskan ja Tuiskun kauppalistan voi kirjoittaa matriisina
\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{ccc}
6& 4& 4 \\
6 & 2 & 3
\end{augmatrix}\end{split}\]
ja ruokatavaroiden hinnat matriisiksi
\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{cc}
1{,}40& 1{,}30 \\
1{,}10 & 1{,}15 \\
0{,}50 & 0{,}60
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Esimerkiksi Tuiskun ostama jogurttimäärä näkyy matriisissa \(A\) rivillä 2 ja sarakkeessa 3. Ruskan ostoslista näkyy matriisin \(A\) ensimmäisellä rivillä. T-valinnan hinnat puolestaan näkyvät matriisin \(B\) toisessa sarakkeessa.
Reaalialkioinen \(m\times n\) -matriisi on reaalilukutaulukko, jossa on \(m\) riviä ja \(n\) saraketta.
Esimerkiksi
\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{augmatrix}\end{split}\]
on \(m\times n\) -matriisi. Voidaan myös sanoa, että matriisin \(A\) koko
on \(m\times n\). Kaikkien reaalikertoimisten \(m \times n\) -matriisien joukkoa merkitään \(\R^{m \times n}\).
Matriisissa olevia lukuja kutsutaan matriisin alkioiksi. Rivillä
\(i\) sarakkeessa \(j\) olevalle alkiolle käytetään tässä tekstissä merkintää \(A(i,j)\).
Esimerkki 4.1.2
Esimerkiksi
\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{rcr}
1 & 0 & 5 \\
-3 & 11 & 2 \\
4 & 0 & 2 \\
0 & \sqrt{2} & -6 \\
\end{augmatrix}\end{split}\]
on reaalialkioinen \(4 \times 3\) -matriisi eli \(B \in \R^{4 \times 3}\).
Siinä \(B(1,3)=5\) ja \(B(2,2)=11\).
Vektorit ovat matriiseja, joissa on yksi sarake. Toisinaan on hyödyllistä ajatella matriisi vierekkäin asetettuksi pystyvektoreiksi. Tällöin voidaan kirjoittaa
\[A=\begin{augmatrix}{cccc}
\ba_1 & \ba_2 & \cdots & \ba_n
\end{augmatrix},\]
missä \(\ba_1, \ba_2, \dots, \ba_n \in \R^m\).
Nyt vektorit \(\ba_1, \ba_2, \dots, \ba_n\) kuvaavat matriisin sarakkeita.
Matriisien alkioille on matematiikassa käytössä monenlaisia merkintöjä. Esimerkiksi matriisin alkiolle voidaan käyttää merkinnän \(A(i,j)\) sijasta merkintää \([A]_{ij}\). Matriisille \(A \in \R^{m\times n}\) puolestaan voidaan käyttää merkintää \(A=[a_{ij}]_{m\times n}\) tai \(A=[a_{ij}]\), joissa on ilmaistu, että matriisin alkiot ovat muotoa \(a_{ij}\).