- MATH.MA.140
- 4. Matriisit
- 4.1 Mitä matriisit ovat?
Mitä matriisit ovat?¶
Pohdi 4.1.1
Ruska ja Tuisku ovat lähdössä ruokaostoksille ja vertailevat hintoja kahdessa lähikaupassaan. Alla olevassa taulukossa on heidän kauppalistansa sekä ruokatavaroiden hinnat eri kaupoissa:
- Kuinka monta jogurttia Tuisku aikoo ostaa?
- Mitä kaikkea Ruska on ostamassa ja kuinka paljon?
- Mitkä ovat tuotteiden hinnat T-valinnassa?
Kuten Ruskan ja Tuiskun tapauksesta nähdään toisinaan asiat on kätevä kirjoittaa muistiin taulukkoon. Matematiikassa lukutaulukkoja kutsutaan matriiseiksi. Esimerkiksi Ruskan ja Tuiskun kauppalistan voi kirjoittaa matriisina
ja ruokatavaroiden hinnat matriisiksi
Esimerkiksi Tuiskun ostama jogurttimäärä näkyy matriisissa A rivillä 2 ja sarakkeessa 3. Ruskan ostoslista näkyy matriisin A ensimmäisellä rivillä. T-valinnan hinnat puolestaan näkyvät matriisin B toisessa sarakkeessa.
Reaalialkioinen m\times n -matriisi on reaalilukutaulukko, jossa on m riviä ja n saraketta. Esimerkiksi
on m\times n -matriisi. Voidaan myös sanoa, että matriisin A koko on m\times n. Kaikkien reaalikertoimisten m \times n -matriisien joukkoa merkitään \R^{m \times n}. Matriisissa olevia lukuja kutsutaan matriisin alkioiksi. Rivillä i sarakkeessa j olevalle alkiolle käytetään tässä tekstissä merkintää A(i,j).
Esimerkki 4.1.2
Esimerkiksi
on reaalialkioinen 4 \times 3 -matriisi eli B \in \R^{4 \times 3}. Siinä B(1,3)=5 ja B(2,2)=11.
Vektorit ovat matriiseja, joissa on yksi sarake. Toisinaan on hyödyllistä ajatella matriisi vierekkäin asetettuksi pystyvektoreiksi. Tällöin voidaan kirjoittaa
missä \ba_1, \ba_2, \dots, \ba_n \in \R^m. Nyt vektorit \ba_1, \ba_2, \dots, \ba_n kuvaavat matriisin sarakkeita.
Matriisien alkioille on matematiikassa käytössä monenlaisia merkintöjä. Esimerkiksi matriisin alkiolle voidaan käyttää merkinnän A(i,j) sijasta merkintää [A]_{ij}. Matriisille A \in \R^{m\times n} puolestaan voidaan käyttää merkintää A=[a_{ij}]_{m\times n} tai A=[a_{ij}], joissa on ilmaistu, että matriisin alkiot ovat muotoa a_{ij}.