$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Yhtälöryhmästä matriisiyhtälöksi

Aloita katsomalla seuraava video:

Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä vektoreita. Tällöin yhtälöryhmien ratkaisussa voidaan käyttää avuksi matriisien ominaisuuksia.

Tutkitaan yhtälöryhmää

$$\begin{split}\left\{ \begin{array}{cccc} 2x_1+3x_2+4x_3+5x_4 & = & 6 \\ 11x_1+12x_2+13x_3+14x_4 & = & 15 \\ -7x_1-8x_2-9x_3-10x_4 & = & -11 \end{array}\right.\end{split}$$

Yhtälön vasemmalla puolella näkyy jotain samanlaista kuin saadaan tulokseksi matriisien kertolaskusta. Kirjoitetaan yhtälöryhmän kertoimet yhdeksi matriisiksi

$$\begin{split}A= \begin{augmatrix}{rrrr} 2 & 3 & 4 & 5\\ 11 & 12 & 13 & 14 \\ -7 & -8 & -9 & -10 \end{augmatrix},\end{split}$$

tuntemattomat toiseksi matriisksi

$$\begin{split}\bx= \begin{augmatrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{augmatrix}\end{split}$$

ja vakiot kolmanneksi

$$\begin{split}\bb= \begin{augmatrix}{r} 6 \\ 15 \\ -11\\ \end{augmatrix}.\end{split}$$

Nyt

$$\begin{split}A\bx=\begin{augmatrix}{c} 2x_1+3x_2+4x_3+5x_4 \\ 11x_1+12x_2+13x_3+14x_4 \\ -7x_1-8x_2-9x_3-10x_4 \end{augmatrix}\end{split}$$

eli tulo $A\bx$ vastaa yhtälöryhmän vasenta puolta. Siten yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa muodossa $A\bx=\bb$ eli

$$\begin{split}\begin{augmatrix}{rrrr} 2 & 3 & 4 & 5\\ 11 & 12 & 13 & 14 \\ -7 & -8 & -9 & -10 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{r} 6 \\ 15 \\ -11 \end{augmatrix}.\end{split}$$

Yleisesti yhtälöryhmä

$$\begin{split}\left\{ \begin{array}{ccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n & = & b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n & = & b_2 \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n & = & b_m \end{array}\right.\end{split}$$

voidaan kirjoittaa muodossa $A\bx=\bb$, missä

$$\begin{split}A= \begin{augmatrix}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{augmatrix}, \qquad \bx= \begin{augmatrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{augmatrix} \qquad \text{ja} \qquad \bb= \begin{augmatrix}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \\ \end{augmatrix}.\end{split}$$

Matriisia $A$ kutsutaan yhtälöryhmän kerroinmatriisiksi Jos nyt kerroinmatriisi on neliömatriisi, sen kääntyvyys vaikuttaa merkittävästi yhtälöryhmän ratkaisuihin.

Lause 4.7.1

Jos matriisi $A\in\R^{n\times n}$ on kääntyvä ja $\bb\in\R^n$, yhtälöllä $A\bx=\bb$ on täsmälleen yksi ratkaisu, ja se on $\bx=A^{-1}\bb$.

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että matriisi $A$ on kääntyvä. Todistuksessa on kaksi osaa. On osoitettava, että $A^{-1}\bb$ on yhtälön ratkaisu ja että muita ratkaisuja ei ole.

Osoitetaan ensin, että $A^{-1}\bb$ on yhtälön ratkaisu sijoittamalla se yhtälön vasemmalle puolelle vektorin $\bx$ paikalle:

$$A(A^{-1}\bb)=(AA^{-1})\bb=I\bb=\bb.$$

Koska tuloksena oli yhtälön oikea puoli, esitetty ratkaisu toteuttaa yhtälön.

Osoitetaan sitten, ettei muita ratkaisuja ole. Oletetaan, että $\by$ on jokin (toinen) ratkaisu. Tällöin $A\by=\bb$. Kerrotaan yhtälön molemmat puolet vasemmalta matriisilla $A^{-1}$, jolloin saadaan

$$A^{-1}A\by=A^{-1}\bb.$$

Koska $A^{-1}A=I$, edellinen yhtälö sievenee muotoon $\by=A^{-1}\bb$. Kysymyksessä on siis sama ratkaisu kuin edellä. Siten ratkaisuja on vain yksi ja se on $A^{-1}\bb$.

Huomaa, että todistuksessa tarvittiin käänteismatriisin kumpaakin ominaisuutta: $AA^{-1}=I$ ja $A^{-1}A=I$.

Tiivistelmä

previous | next

• Lineaariset yhtälöryhmät voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä muodossa $A\bx=\bb$.
• Matriisiyhtälöllä $A\bx=\bb$ on täsmälleen yksi ratkaisu, jos ja vain jos $A$ on kääntyvä.

Palautusta lähetetään...