- MATH.MA.140
- 4. Matriisit
- 4.9 Sarake- ja nolla-avaruus
Sarake- ja nolla-avaruus¶
Kun matriisilla A kerrotaan vektoreita, saadaan tulokseksi toisia vektoreita. Kaikki mahdolliset tulosvektorit muodostavat matriisin A sarakeavaruuden.
Määritelmä 4.9.1
Oletetaan, että A∈Rm×n. Matriisin A sarakeavaruus on joukko
Sarake-avaruutta kutsutaan myös kuva-avaruudeksi. Jos matriisia ajattelee kuvauksena, koostuu sarakeavaruus kaikista niistä maalijoukon vektoreista, joille kuvautuu jotain. Kyseessä on siis matriisia vastaavan kuvauksen kuvajoukko. Tämän alaluvun lopussa näemme, että sarakeavaruuden vektorit ovat matrisiin sarakkeiden lineaarikombinaatioita. Tästä juontaa nimi sarakeavaruus.
Esimerkki 4.9.2
Tutkitaan sarakeavaruuden käsitettä matriisin
avulla. Kertomalla mitä tahansa avaruuden R4 vektoria matriisilla A, saadaan aikaiseksi sarakeavaruuden alkio. Merkitään x=(1,−1,3,2). Nyt Ax on matriisin A sarakeavaruuden alkio. Lasketaan vielä tulo Ax:
Toisin sanoen vektori (5,8) on matriisin A sarakeavaruudessa. Voidaan siis kirjoittaa (5,8)∈R(A).
Kun vektorin x tilalle laittaa minkä tahansa avaruuden R4 alkio, saa aina tulokseksi sarakeavaruuden alkion. Jos esimerkiksi valitaan x=(1,1,1,1), saadaan
Toisin sanoen vektori (5,1) on matriisin A sarake-avaruudessa eli (5,1)∈R(A).
Laittamalla vektorin x tilalle eri vektoreita, voidaan tuottaa äärettömän paljon erilaisia sarakeavaruuden R(A) alkioita.
Esimerkki 4.9.3
Jos matrisiit tulkitsee kuvauksiksi kuten aiemmassa luvussa, voi sarakeavaruuden päätellä kuvan avulla. Esimerkin 4.3.4 projektiomatriisi P kuvaa tason vektorit vaaka-akselille ja jokaiselle vaaka-akselin pisteelle projisoituu jotakin. Siten sarakeavaruus on vaaka-akseli, eli R(P)={(a,0)∣a∈R}.
Esimerkin 4.3.3 kiertomatriisin C sarakeavaruus on puolestaan koko avaruus R2, sillä jokaiselle tason vektorille kuvautuu kiertossa jokin toinen vektori. Siten R(C)=R2.
Matriisin A nolla-avaruus koostuu kaikista niistä vektoreista, joita kertomalla saadaan aikaiseksi nollavektori. Toisin sanoen nolla-avaruus muodostuu yhtälön Ax=0 ratkaisuista.
Määritelmä 4.9.4
Oletetaan, että A∈Rm×n. Matriisin A nolla-avaruus on joukko
Nolla-avaruutta kutsutaan myös ytimeksi. Jos matriisia ajattelee kuvauksena, koostuu nolla-avaruus kaikista niistä lähtöjoukon vektoreista, jotka kuvautuvat nollavektorille.
Esimerkki 4.9.5
Tutkitaan, onko vektori x=(−32,−14,1,0) on matriisin
nolla-avaruudessa laskemalla tulo Ax:
Koska tulokseksi tulee nollavektori, on vektori (−32,−14,1,0) matriisin A nolla-avaruudessa eli (−32,−14,1,0)∈N(A).
Valitaan sitten x=(1,2,0,1) ja tutkitaan, onko kyseinen vektori matriisin A nolla-avaruudessa. Nähdään, että
Koska tulokseksi ei tule nollavektoria, ei vektori (1,2,0,1) ole matriisin A nolla-avaruudessa eli (1,2,0,1)∉R(A).
Esimerkki 4.9.6
Jos matriisit tulkitsee kuvauksiksi, voi nolla-avaruuden päätellä kuvan avulla. Esimerkiksi esimerkin 3.3.3 projektiomatriisi P kuvaa nollavektoriksi kaikki pystyakselin pisteet eli muotoa (0,a) olevat vektorit, missä a∈R. Siten N(P)={(0,a)∣a∈R}.
Kiertomatriisin C nolla-avaruudessa puolestaan ei ole mitään muuta kuin nollavektori, sillä mikään nollavektorista poikkeava vektori ei kuvaudu kierrossa nollavektorille. Siten N(C)={(0,0)}.
Jos m×n-matriisi A esitetään sarakkeidensa a1,a2,…,an avulla ja x∈Rn, niin
Vektori x on matriisin A nolla-avaruudessa täsmälleen silloin, kun sen komponentit toteuttavat vektoriyhtälön
Vektori y on puolestaan matriisin A sarakeavaruudessa täsmälleen silloin, kun
jollakin x∈Rn. Sen täytyy siis olla matriisin A sarakkeiden lineaarikombinaatio. Matriisin A sarakeavaruus koostuukin kaikista sarakkeiden a1,a2,…,an lineaarikombinaatioista.