- MATH.MA.140
- 4. Matriisit
- 4.10 Sarake- ja nolla-avaruus yhtälönratkaisussa
Sarake- ja nolla-avaruus yhtälönratkaisussa¶
Seuraavaksi tarkastellaan näihin sarake- ja nolla-avaruutta informaatiota matriisiyhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisun näkökulmasta.
Jos sarakeavaruus \(\cR(A)\) on tiedossa, voidaan selvittää, onko matriisiyhtälöllä \(A\bx = \bb\) ratkaisuja. Sarakeavaruus \(\cR(A)\) nimittäin koostuu niistä vektoreista \(\bb\), joita kohden yhtälöllä \(A\bx = \bb\) on vähintään yksi ratkaisu.
Lause 4.10.1
Olkoon \(A\) \(m \times n\)-matriisi, sekä \(\bb\) avaruuden \(\R^m\) vektori. Yhtälöllä \(A\bx = \bb\) on ratkaisuja, jos ja vain jos \(\bb \in \cR(A)\)
Oletetaan ensin, että yhtälöllä \(A\bx = \bb\) on ratkaisuja. Olkoon \(\bv\) eräs ratkaisu. Tällöin \(A\bv = \bb\). Nyt sarakeavaruuden määritelmän nojalla \(\bb \in \cR(A)\).
Oletetaan sitten, että \(\bb \in \cR(A)\). Nyt sarakeavaruuden määritelmän nojalla on olemassa \(\bv \in \R^n\), jolle pätee \(A\bv = \bb\). Siten yhtälöllä \(A\bx = \bb\) on ratkaisu.
Jos tunnetaan matriisin nolla-avaruus sekä jokin yhtälön ratkaisu, saadaan selville kaikki ratkaisut.
Lause 4.10.2
Olkoon \(A\) \(m \times n\)-matriisi, sekä \(\bb\) avaruuden \(\R^m\) vektori. Olkoon \(\bx_0\) yhtälön \(A\bx = \bb\) jokin ratkaisu. Tällöin yhtälön ratkaisut ovat täsmälleen muotoa \(\bx_0 + \by\), missä \(\by \in \cN(A)\).
Osoitetaan, että \(\bv \in \R^n\) on yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisu, jos ja vain jos \(\bv=\bx_0 + \by\) jollakin \(\by \in \cN(A)\).
Oletetaan ensin, että \(\bv \in \R^n\) on yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisu. Nyt täytyy löytää nolla-avaruuden \(\cN(A)\) alkio \(\by\), jolle pätee \(\bv=\bx_0 + \by\). Valitaan \(\by=\bv-\bx_0\). Nyt
Siten \(\by \in \cN(A)\). Lisäksi \(\bv=\bx_0 + \by\).
Oletetaan sitten, että \(\bv=\bx_0 + \by\) jollakin \(\by \in \cN(A)\). On osoitettava, että \(\bv\) on yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisu. Nähdään, että
Siten \(\bv\) on yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisu.
Esimerkki 4.10.3
Olkoon
Esitetään yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisut muodossa \(\bx_0 + \by\), missä \(\bx_0\) on yksittäisratkaisu ja \(\by\) homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu.
Kirjoitetaan yhtälöryhmä \(A\bx = \bb\) kokonaismatriisina
Kun matriisia muokataan alkeisrivimuuunnoksilla, saadaan redusoitu porrasmatriisi
Tästä nähdään, että yhtälöryhmän ratkaisu on
Vektorimuodossa kirjoitettuna ratkaisu on
Merkitään
Osoittautuu, että nämä vektorit toteuttava vaaditut ehdot:
ja
joten haluttu esitys on löydetty.
Koska lineaariset yhtälöryhmät voidaan kirjoittaa matriisiyhtälöinä, voidaan tässä osiossa esitettyjä tuloksia soveltaa lineaarisiin yhtälöryhmiin.