\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Matriisin transpoosi
Esimerkiksi matriisin
\[\begin{split}A = \begin{augmatrix}{ccc}
1 & 3 & 2 \\
5 & 0 & 1 \\
\end{augmatrix}\end{split}\]
transpoosi on
\[\begin{split}\tp{A} = \begin{augmatrix}{cc}
1 & 5 \\
3 & 0 \\
2 & 1 \\
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Pistetuloa voidaan ajatella matriisin ja vektorin tulona. Näin saadaan pistetulolle toisenlainen kirjoitustapa. Jotta vektorit voi kertoa keskenään, täytyy ensimmäisestä vektorista ottaa transpoosi.
Oletetaan, että \(\bx, \by \in \R^n\).
Tällöin matriisin ja vektorin tulon määritelmän nojalla
\[\begin{split}\begin{aligned}
\tp{\bx}\by &=
\begin{augmatrix}{cccc}
x_1 & x_2 & \cdots & x_n
\end{augmatrix}
\begin{augmatrix}{c}
y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n
\end{augmatrix}
=\begin{augmatrix}{c}
y_1x_1+y_2x_2+\cdots+y_nx_n
\end{augmatrix}\\
&=\begin{augmatrix}{c}
x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n
\end{augmatrix}
=\begin{augmatrix}{c}
\bx\cdot\by
\end{augmatrix}.
\end{aligned}\end{split}\]
Kun samastetaan \(1\times 1\)-matriisit ja reaaliluvut, saadaan \(\tp{\bx}\by=\bx \cdot \by\).
Symmetrinen matriisi on symmetrinen lävistäjänsä suhteen. Tämä voidaan ilmaista transpoosin avulla.
Esimerkki 4.5.3
Merkitään
\[\begin{split}B = \begin{augmatrix}{ccc}
1&4&5 \\
4&2&6 \\
5&6&0
\end{augmatrix}
\quad \text{ja} \quad
C = \begin{augmatrix}{rcr}
0&4&-5 \\
-4&0&-6 \\
5&6&0
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Tällöin
\[\begin{split}\tp{B} = \begin{augmatrix}{ccc}
1&4&5 \\
4&2&6 \\
5&6&0
\end{augmatrix}
= B
\quad \text{ja} \quad
\tp{C} = \begin{augmatrix}{rrc}
0&-4&5 \\
4&0&6 \\
-5&-6&0
\end{augmatrix} = -C.\end{split}\]
Siis \(B\) on symmetrinen
ja \(C\) on antisymmetrinen.
Transpoosioperaation käyttäytymistä matriisien laskutoimitusten kanssa valottaa seuraava lause.
Lause 4.5.4
Seuraavat säännöt pätevät
matriiseille \(A\) ja \(B\) sekä reaaliluvulle \(t\), jos laskutoimitukset on määritelty (ts. matriisit ovat sopivaa kokoa):
- \(\tp{(\tp{A})}=A\)
- \(\tp{(A+B)}=\tp{A}+\tp{B}\)
- \(\tp{(AB)}=\tp{B}\tp{A}\)
- \(\tp{(tA)} = t(\tp{A})\).
Erityisesti kannattaa huomata tulon tekijöiden järjestyksen vaihtuminen kohdassa 3.
Piilota/näytä todistus
Osoitetaan todeksi kohta 3 ja jätetään loput kohdat lukijalle.
Olkoot \(A \in \R^{m \times n}\) ja \(B \in \R^{n \times p}\). Nyt
sekä \(\tp{(AB)}\) että \(\tp{B}\tp{A}\) ovat molemmat \(p \times m\) -matriiseja. On osoitettava, että
kyseisten matriisien alkiot ovat samoja. Olkoot \(i\in\{1,2,\dots,p\}\) ja \(j\in\{1,2,\dots,m\}\). Nähdään, että
\[\begin{split}\begin{aligned}
\tp{(AB)}(i,j) & =\bigl(AB\bigr)(j,i)=\sum_{k=1}^n A(j,k)\cdot B(k,i)
=\sum_{k=1}^n\tp{A}(k,j)\cdot\tp{B}(i,k) \\
& =\sum_{k=1}^n\tp{B}(i,k)\cdot\tp{A}(k,j)=(\tp{B}\tp{A})(i,j).
\end{aligned}\end{split}\]
Siten \(\tp{(AB)}=\tp{B}\tp{A}\).