$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

Matriisin transpoosi¶

Määritelmä 4.5.1

Oletetaan, että $A$ on $m \times n$ -matriisi. Sen transpoosi $\tp{A}$ on $n \times m$ -matriisi, joka saadaan vaihtamalla matriisin $A$ rivit ja sarakkeet keskenään.

Esimerkiksi matriisin

$\begin{split}A = \begin{augmatrix}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 1 \\ \end{augmatrix}\end{split}$

transpoosi on

$\begin{split}\tp{A} = \begin{augmatrix}{cc} 1 & 5 \\ 3 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{augmatrix}.\end{split}$

Pistetuloa voidaan ajatella matriisin ja vektorin tulona. Näin saadaan pistetulolle toisenlainen kirjoitustapa. Jotta vektorit voi kertoa keskenään, täytyy ensimmäisestä vektorista ottaa transpoosi. Oletetaan, että $\bx, \by \in \R^n$ . Tällöin matriisin ja vektorin tulon määritelmän nojalla

$\begin{split}\begin{aligned} \tp{\bx}\by &= \begin{augmatrix}{cccc} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{c} y_1x_1+y_2x_2+\cdots+y_nx_n \end{augmatrix}\\ &=\begin{augmatrix}{c} x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{c} \bx\cdot\by \end{augmatrix}. \end{aligned}\end{split}$

Kun samastetaan $1\times 1$ -matriisit ja reaaliluvut, saadaan $\tp{\bx}\by=\bx \cdot \by$ .

Symmetrinen matriisi on symmetrinen lävistäjänsä suhteen. Tämä voidaan ilmaista transpoosin avulla.

Määritelmä 4.5.2

Neliömatriisin $A$ sanotaan olevan symmetrinen, jos $\tp{A} = A$ . Neliömatriisin $A$ sanotaan olevan antisymmetrinen, jos $\tp{A} = -A$ .

Esimerkki 4.5.3

Merkitään

$\begin{split}B = \begin{augmatrix}{ccc} 1&4&5 \\ 4&2&6 \\ 5&6&0 \end{augmatrix} \quad \text{ja} \quad C = \begin{augmatrix}{rcr} 0&4&-5 \\ -4&0&-6 \\ 5&6&0 \end{augmatrix}.\end{split}$

Tällöin

$\begin{split}\tp{B} = \begin{augmatrix}{ccc} 1&4&5 \\ 4&2&6 \\ 5&6&0 \end{augmatrix} = B \quad \text{ja} \quad \tp{C} = \begin{augmatrix}{rrc} 0&-4&5 \\ 4&0&6 \\ -5&-6&0 \end{augmatrix} = -C.\end{split}$

Siis $B$ on symmetrinen ja $C$ on antisymmetrinen.

Transpoosioperaation käyttäytymistä matriisien laskutoimitusten kanssa valottaa seuraava lause.

Lause 4.5.4

Seuraavat säännöt pätevät matriiseille $A$ ja $B$ sekä reaaliluvulle $t$ , jos laskutoimitukset on määritelty (ts. matriisit ovat sopivaa kokoa):

$\tp{(\tp{A})}=A$
$\tp{(A+B)}=\tp{A}+\tp{B}$
$\tp{(AB)}=\tp{B}\tp{A}$
$\tp{(tA)} = t(\tp{A})$ .

Erityisesti kannattaa huomata tulon tekijöiden järjestyksen vaihtuminen kohdassa 3.

Piilota/näytä todistus

Osoitetaan todeksi kohta 3 ja jätetään loput kohdat lukijalle. Olkoot $A \in \R^{m \times n}$ ja $B \in \R^{n \times p}$ . Nyt sekä $\tp{(AB)}$ että $\tp{B}\tp{A}$ ovat molemmat $p \times m$ -matriiseja. On osoitettava, että kyseisten matriisien alkiot ovat samoja. Olkoot $i\in\{1,2,\dots,p\}$ ja $j\in\{1,2,\dots,m\}$ . Nähdään, että

$\begin{split}\begin{aligned} \tp{(AB)}(i,j) & =\bigl(AB\bigr)(j,i)=\sum_{k=1}^n A(j,k)\cdot B(k,i) =\sum_{k=1}^n\tp{A}(k,j)\cdot\tp{B}(i,k) \\ & =\sum_{k=1}^n\tp{B}(i,k)\cdot\tp{A}(k,j)=(\tp{B}\tp{A})(i,j). \end{aligned}\end{split}$

Siten $\tp{(AB)}=\tp{B}\tp{A}$ .