$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Polynomin sovittaminen pisteistöön

Palataan tarkastelemaan luvun alun esimerkkiä, jossa sovitettiin mittaustuloksiin suora ja paraabeli. Tutkitaan pienimmän neliösumman menetelmän avulla, kuinka tämä tehdään. Mittaustuloksina saatiin pisteet $(-1,2)$, $(1,2)$, $(3,4)$ ja $(5,6)$. Sovitetaan tähän pisteistöön ensin suora ja sitten paraabeli.

Olkoon etsityn suoran yhtälö $y=ax+b$. Koska suoran pitäisi kulkea annettujen pisteiden kautta, halutaan seuraavien yhtälöiden pätevän:

$$\begin{split}\begin{cases} y(-1)=-a+b=2\\ y(1)=a+b=2\\ y(3)=3a+b=4 \\ y(5)=5a+b=6, \end{cases}\end{split}$$

Saadaan yhtälöryhmä

$$\begin{split}\begin{cases} -a+b=2\\ a+b=2\\ 3a+b=4 \\ 5a+b=6. \end{cases}\end{split}$$

Ratkaistavana on siis yhtälö

$$\begin{split}\begin{augmatrix}{rc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} a \\ b \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \end{augmatrix}.\end{split}$$

Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua, mutta sille voidaan etsiä pienimmän neliösummnan ratkaisu.

Merkitään

$$\begin{split}V=\begin{augmatrix}{rc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{augmatrix} \quad \text{ja} \quad \by=\begin{augmatrix}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \end{augmatrix}.\end{split}$$

Pienimmän neliösumman ratkaisu on yhtälön $\tp{V}V\bx = \tp{V}\by$ ratkaisu. Nähdään, että

$$\begin{split}\tp{V}V = \tp{\begin{augmatrix}{rc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{augmatrix}} \begin{augmatrix}{rc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{cc} 36 & 8 \\ 8 & 4 \end{augmatrix}\qquad\text{ja}\qquad \tp{V}\by = \tp{\begin{augmatrix}{rc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{augmatrix}} \begin{augmatrix}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 42 \\ 14 \end{augmatrix}.\end{split}$$

Ratkaistava yhtälö on siis

$$\begin{split}\begin{augmatrix}{cc} 36 & 8 \\ 8 & 4 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} a \\ b \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 42 \\ 14 \end{augmatrix}.\end{split}$$

Tämän yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan esimerkiksi Gaussin–Jordanin eliminointimenetelmällä $a = 0{,}7$ ja $b = 2{,}1$. Tämä on pienimmän neliösumman ratkaisu.

Sijoitetaan pienimmän neliösumman ratkaisu suoran yhtälöön $y = ax + b$. Näin saadaan suora $y = 0{,}7x + 2{,}1$. Se on esitetty kuvassa 1.

Fig. 1: Pienimmän neliösumman menetelmällä voi sovittaa pisteistöön polynomeja. Kuvan pisteistöön on sovitettu suora sekä toisen asteen polynomi.

Sovitetaan sitten mittauspisteistöön paraabeli $y=ax^2+bx+c$. Tällä kertaa mittauspisteiden avulla saadaan yhtälöryhmä

$$\begin{split}\begin{cases} a-b+c=2\\ a+b+c=2\\ 9a+3b+c=4 \\ 25a+5b+c=6, \end{cases}\end{split}$$

eli

$$\begin{split}\begin{augmatrix}{crc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ 25 & 5 & 1 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} a \\ b \\ c \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \end{augmatrix}.\end{split}$$

Tälläkään yhtälöryhmällä ei ole ratkaisuja, mutta sille saadaan pienimmän neliösumman ratkaisu $a = 0{,}125$, $b = 0{,}200$ ja $c = 1{,}975$. Tämän antama sovite on $y = 0{,}125x^2 + 0{,}200x + 1{,}975$.

Yleisesti jos sovitetaan pisteistöön $(x_1,y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_m,y_m)$ polynomifunktiota

$$f(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n-1}x^{n-1}+c_nx^n,$$

saadaan yhtälöryhmä

$$\begin{split}\begin{augmatrix}{ccccc} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} & x_1^n \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_m & \cdots & x_m^{n-1} & x_m^n \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_{n-1} \\ c_n \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{augmatrix}.\end{split}$$

Tämän yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu antaa polynomin kertoimet.

Palautusta lähetetään...