\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Mitä vektorit ovat?
Pohdi 1.1.1
Mikä seuraavista luonnehdinnoista kuvaa mielestäsi parhaiten vektoria?
- suure, jolla on suunta ja pituus
- \(a\bi+b\bj\)
- nuoli
- origosta lähtevä nuoli
- koordinaatiston piste
- \((a,b)\)
- \(\begin{augmatrix}{c} a \\ b \end{augmatrix}\)
- geenitekniikan työväline
Vastasitpa edelliseen tehtävään mitä tahansa, oli vastauksesi oikein. Kaikilla edellä kuvatuilla tavoilla voi kuvata vektoria. Eri yhteyksissä vektoreita käsitellään eri tavalla. Ennen kuin ryhdymme käyttämään vektoreita, onkin tärkeää sopia, mitä vetkorit tässä materiaalissa tarkoittavat.
Katso seuraava video.
Lukiomatematiikassa vektorit esitetään olioina, joilla on suunta ja pituus. Tason ja kolmiulotteisen avaruuden vektorit kirjoitetaan yleensä yksikkövektorien \(\bi\), \(\bj\) ja \(\bk\) avulla. Eräs tason vektori voisi olla vaikkapa \(\bv=-3\bi+2\bj\) ja eräs kolmiulotteisen avaruuden vektori \(\bw=-5\bi+\sqrt{2}\bj+101\bk\).
Kaikki informaatio sisältyy vektorien \(\bi\), \(\bj\) ja \(\bk\) edessä oleviin kertoimiin. Vektorin ilmaisemiseksi riittää siis listata nuo kertoimet. Edellä mainitun vektorin \(\bv\) voisi kirjoittaa vaikkapa muodossa
\((-3,2)\). Vektorin \(\bw\) voisi puolestaan kirjoittaa muodossa \((-5,\sqrt{2},101)\).
Vektoreita voi merkitä lukulistoina useilla eri tavoilla ja merkintätapa saattaa vaihdella tilanteen mukaan. Olet jo törmännyt kahteen erilaiseen esitystapaan tässä materiaalissa sekä videossa:
\[\begin{split}(-3,2) \quad \text{ja} \quad \begin{augmatrix}{r} -3 \\ 2 \end{augmatrix}.\end{split}\]
Tästä lähin nuo kaksi merkintää tarkoittavat tässä materiaalissa samaa asiaa ja niiden välillä vaihdellaan edestakaisin saumattomasti.
Monet vektorien ominaisuuksista on helpompi ymmärtää, jos niitä havainnollistaa geometrisesti. Vektoria voikin ajatella origosta lähtevänä nuolena. Toisaalta origosta lähtevän nuolen kohdalla kaikki informaatio sisältyy siihen pisteeseen, jossa nuolen pää on. Nuolen varsi on tavallaan turha. Origosta lähtevä nuoli voidaan siis samaistaa kärkipisteensä kanssa, eli vektorin voi ajatella olevan sama asia kuin piste. Kuvassa 1 on esitetty vektorit \((-3,2)\) ja \((1,3)\) näillä kahdella eri havainnollistustavalla.
Fig. 1: Vektoreita \((1,3)\) ja \((-3,2)\) voi havainnollistaa origosta lähtevänä nuolena tai koordinaatiston pisteenä.
Vektoreita merkitään tässä tekstissä lihavoiduilla kirjaimilla.
Voidaan esimerkiksi kirjoittaa \(\bv=(-4,-10)\).
Vektoreille on eri yhteyksissä, aloilla ja oppilaitoksissa käytössä erilaisia merkintöjä kuten \(\underline{v}\), \(\bar{v}\) ja \(\overrightarrow{v}\). Tällaiset merkinnät ovat erityisen käteviä käsinkirjoitetussa tekstissä, jossa lihavointia on vaikea tehdä. Tämän materiaalin kuvat ja videot on tuotettu konteksteissa, joissa vektoreita on tapana merkitä viivalla tai nuolella. Siksi niissä näkyy erilaisia merkintöjä kuin leipätekstissä.
Listamerkintää voi yleistää paljon pidemmälle kuin tason tai kolmiulotteisen avaruuden vektoreihin. Voidaan vaikkapa kirjoittaa 4-ulotteisen avaruuden vektori \((1991,71,175,2)\) tai 6-ulotteisen avaruuden vektori \((13,252,46,168,164,110)\). Näistä vektoreista ei enää oikein pysty piirtämään kuvaa koordinaatistoon. Ne voivat kuitenkin sisältää reaalimaailmaan liittyvää informaatiota. Ensimmäinen vektoreista voi vaikkapa sisältää henkilön syntymävuoden, painon, pituuden ja sisarusten lukumäärän. Jälkimmäinen vektori voi vaikkapa kertoa, kuinka monta ihmistä on 6-kerroksisen kauppakeskuksen kussakin kerroksessa jollain ajanhetkellä. Kun tiedot koodataan tähän tapaan vektoreiksi, niiden käsittelemiseen voi sen jälkeen hyödyntää tällä kurssilla opittavia menetelmiä ja tuloksia. Näitä tuloksia voidaan käyttää esimerkiksi silloin, kun selvitetään, miten suomalaisten pituus on yhteydessä heidän syntymävuoteensa, tai kun ennustetaan, miten ihmiset liikkuvat kauppakeskuksen kerroksesta toiseen.
