$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

# Pistetulo ja normi¶

Avaruuksissa $$\R^2$$ ja $$\R^3$$ on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei välttämättä onnistu pelkästään geometrisen intuition avulla. Esimerkiksi Pythagoraan lauseen voidaan kuitenkin ajatella toimivan kaikissa ulottuvuuksissa samalla tavalla. Tämä lause, samoin kuin muutkin vektoreiden pituuksiin ja kulmiin liittyvät käsitteet, voidaan ilmaista pistetulon avulla, ja pistetulo puolestaan voidaan laskea avaruudessa $$\R^n$$, oli $$n$$ miten suuri vain.

Määritelmä 1.3.1

Vektoreiden $$\bv=(v_1,\dots,v_n) \in \R^n$$ ja $$\bw=(w_1,\dots,w_n) \in \R^n$$ pistetulo on

$\bv \cdot \bw = v_1w_1+v_2w_2+ \dots +v_nw_n.$

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku eli skalaari. Pistetuloa kutsutaankin myös skalaarituloksi.

Esimerkki 1.3.2

Vektorien $$\bv=(3,-2,0)$$ ja $$\bw=(1,-2,\sqrt{3})$$ pistetulo on

$\bv \cdot \bw = 3 \cdot 1+(-2)(-2)+ 0 \cdot \sqrt{3}=7.$

Tulemme näkemään, että pistetulo kertoo, kuinka paljon vektorit osoittavat samaan suuntaan. Jos vektorien pistetulo on positiivinen, vektorit osoittavat suunnilleen samaan suuntaan. Jos pistetulo on nolla, vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Negatiivinen pistetulo puolestaan tarkoittaa, että vektorit osoittavat suunnilleen vastakkaisiin suuntiin. Tähän palataan tarkemmin vektorien välisen kulman määritelmän yhteydessä (määritelmä 1.16).

Lause 1.3.3

Oletetaan, että $$\bv, \bw, \bu \in \R^n$$ ja $$c \in \R$$. Tällöin

1. $$\bv \cdot \bw=\bw \cdot \bv$$
2. $$\bv \cdot (\bw+\bu)=\bv \cdot \bw+\bv \cdot \bu$$
3. $$(c\bv) \cdot \bw=c(\bv \cdot \bw)$$.
Piilota/näytä todistus

Todistetaan vain kohta 2 ja jätetään loput kohdat harjoitustehtäviksi. Merkitään $$\bv = (v_1, \dots, v_n)$$, $$\bw = (w_1, \dots, w_n)$$ ja $$\bu = (u_1, \dots, u_n)$$. Nyt nähdään, että

$\begin{split}\begin{split} \bv \cdot (\bw + \bu) &= (v_1, \dots, v_n) \cdot (w_1 + u_1, w_2 + u_2, \dots, w_n+u_n) \\ &= v_1(w_1 + u_1)+v_2(w_2 + u_2)+ \cdots + v_n(w_n+u_n) \\ &= v_1w_1 + v_1u_1 + v_2w_2 + v_2u_2+ \cdots + v_nw_n+v_nu_n \\ &= (v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n) + (v_1u_1 + v_2u_2 + \cdots + v_nu_n) \\ &= \bv \cdot \bw + \bv \cdot \bu. \end{split}\end{split}$

Kohdan 2 osittelulaki pätee myös toisin päin: $$(\bv+\bw)\cdot\bu=\bv\cdot\bu+\bw\cdot\bu$$. Tämä seuraa kohdasta 1, jonka mukaan pistetulo on vaihdannainen:

$(\bv+\bw)\cdot\bu\overset{1}{=}\bu\cdot(\bv+\bw) \overset{2}{=}\bu\cdot\bv+\bu\cdot\bw\overset{1}{=}\bv\cdot\bu+\bw\cdot\bu.$

Samaan tapaan myös kohta 3 voidaan kääntää muotoon $$\bv\cdot(c\bw)=c(\bv \cdot \bw)$$.

Seuraava lause osoittaa, että vektorin pistetulo itsensä kanssa on aina epänegatiivinen. Ainoastaan nollavektorin pistetulo itsensä kanssa on nolla.

Lause 1.3.4

Oletetaan, että $$\bv \in \R^n$$. Tällöin

1. $$\bv \cdot \bv \ge 0$$
2. $$\bv \cdot \bv = 0$$, jos ja vain jos $$\bv=\nv$$.
Piilota/näytä todistus

Todistetaan kohdat yksi kerrallaan.

1. Nähdään, että $$\bv \cdot \bv = v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2 \geq 0 + 0 + \cdots + 0 = 0$$, sillä reaaliluvun neliö on aina epänegatiivinen. Tämä todistaa väitteen.

2. $$\Rightarrow$$”: Oletetaan, että $$\bv \cdot \bv = 0$$. Tällöin $$v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2 = 0$$. Koska jokainen yhteenlaskettava on epänegatiivinen, täytyy yhteenlaskettavien olla nollia. Toisin sanoen $$v_i^2 = 0$$ kaikilla $$i \in \{1, \dots, n\}$$. Tästä seuraa, että $$v_i = 0$$ kaikilla $$i \in \{1, \dots, n\}$$. Siten $$\bv = (0,0, \dots, 0) =\nv$$.

$$\Leftarrow$$”: Oletetaan, että $$\bv = \nv$$. Nyt $$\bv \cdot \bv = 0^2 + 0^2 + \cdots + 0^2 = 0$$.

Esimerkki 1.3.5

Luonnollisen kannan vektoreille on voimassa

$\begin{split}\be_i\cdot \be_j= \begin{cases} 1, & \text{kun } i = j \\ 0, & \text{kun } i \not= j. \end{cases}\end{split}$

Jos merkitään

$\begin{split}\delta_{ij}=\begin{cases} 1, & \text{kun } i=j,\\ 0, & \text{kun } i\neq j, \end{cases}\end{split}$

Voidaan kirjoittaa $$\be_i\cdot\be_j = \delta_{ij}$$. Funktiota $$\delta_{ij}$$ kutsutaan Kroneckerin delta-symboliksi tai lyhyesti Kroneckerin deltaksi.

## Vektorin normi¶

Pistetulon avulla voidaan määritellä avaruuden $$\R^n$$ vektorin normi eli pituus. Lauseen 1.3.4 nojalla pätee $$\bv \cdot \bv \ge 0$$, joten seuraavassa määritelmässä juurrettava on epänegatiivinen, kuten kuuluu olla.

Määritelmä 1.3.6

Vektorin $$\bv \in \R^n$$ normi eli pituus on

$\norm{\bv}=\sqrt{\bv \cdot \bv}.$

Määritelmästä seuraa, että $$\norm{\bv}=\sqrt{v_1^2+v_2^2+ \dots +v_n^2}$$, kun pistetulo lasketaan auki. Lisäksi $$\norm{\bv}^2=\bv \cdot \bv$$.

Esimerkki 1.3.7

Vektorin $$\bv=(1/2,3,-2,0)$$ normi on

$\norm{\bv}=\sqrt{(1/2)^2+3^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{\frac{53}{4}}=\frac{\sqrt{53}}{2}.$

Tasossa normia voi havainnollistaa Pythagoraan lauseen avulla. Kuvaan 1 on piirretty vektori $$\bw=(-4,-3)$$. Pythagoraan lausetta käyttäen sen pituudeksi saadaan

$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$

Pituuden geometrinen tulkinta antaa siis saman tuloksen kuin normin määritelmä.

Fig. 1: Vektorin $$\bw=(-4,-3)$$ normi eli pituus on 5.

Seuraava lause ilmaisee normien avulla sen, että vektorin pituus on aina epänegatiivinen ja nollavektori on ainoa vektori, jonka pituus on nolla.

Lause 1.3.8

Oletetaan, että $$\bv \in \R^n$$. Tällöin

1. $$\norm{\bv} \ge 0$$
2. $$\norm{\bv}=0$$, jos ja vain jos $$\bv=\nv$$.
Piilota/näytä todistus

Tulokset seuraavat suoraan normin määritelmästä, neliöjuuren ominaisuuksista ja lauseesta 1.3.4.

1. Määritelmän mukaan $$\norm{\bv}=\sqrt{\bv \cdot \bv}$$. Neliöjuuren arvo on aina epänegatiivinen, joten $$\norm{\bv} \ge 0$$.
2. Huomataan, että $$\norm{\bv}=\sqrt{\bv\cdot\bv}=0$$, jos ja vain jos juurrettava $$\bv \cdot \bv$$ on nolla. Lauseen 1.3.4 nojalla taas $$\bv \cdot \bv=0$$, jos ja vain jos $$\bv=\nv$$. Tämä todistaa väitteen.

Skalaarikertolaskun määritelmän yhteydessä todettiin, että kun vektoria kerrotaan skalaarilla, vektorin suunta pysyy samana tai kääntyy vastakkaiseksi, mutta sen pituutta ”skaalataan”. Asian voi ilmaista myös normin avulla: kun vektoria kerrotaan skalaarilla, vektorin pituus tulee kerrotuksi tuolla samalla skalaarilla. On vain otettava huomioon, että pituus on aina epänegatiivinen, joten skalaarista pitää ottaa itseisarvo. Seuraava lause ilmaisee asian täsmällisesti, mutta sen todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

Lause 1.3.9

Oletetaan, että $$\bv \in \R^n$$ ja $$c\in \R$$. Tällöin $$\norm{c\bv}=|c|\norm{\bv}$$.

Jos vain vektorin suunnalla on merkitystä, pyritään usein yksinkertaisuuden vuoksi rajoittumaan vektoreihin, joiden pituus on yksi. Tällaisia vektoreita kutsutaan yksikkövektoreiksi.

Määritelmä 1.3.10

Vektori $$\bu \in \R^n$$ on yksikkövektori, jos sen normi on yksi eli

$\norm{\bu}=1.$

Avaruuden $$\R^2$$ vektorit $$(1,0)$$ ja $$(0,1)$$ ovat yksikkövektoreita, sillä niiden pituus on yksi. Yleisemmin kaikki luonnollisen kannan vektorit $$\be_i\in\R^n$$ ovat yksikkövektoreita. On kuitenkin olemassa paljon muitakin yksikkövektoreita, kuten seuraava esimerkki osoittaa.

Esimerkki 1.3.11

Etsitään jokin yksikkövektori, joka on yhdensuuntainen vektorin $$\bv=(2,-1,0)$$ kanssa. Vektorin $$\bv$$ normi on $$\norm{\bv}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$$. Jos vektori $$\bv$$ kerrotaan skalaarilla $$1/\sqrt{5}$$, saadaan vektori $$(1/\sqrt{5})\bv$$, jonka pituus on lauseen 1.3.9 nojalla

$\frac{1}{\sqrt{5}}\,\norm{\bv}=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5}=1.$

Vektori $$(1/\sqrt{5})\bv$$ on siis yksikkövektori. Lisäksi vektorit $$\bv$$ ja $$(1/\sqrt{5})\bv$$ ovat yhdensuuntaiset, koska ne eroavat vain skalaarikertoimen verran. Eräs tavoiteltu vektori on siis $$(1/\sqrt{5})\bv$$.

Edellistä esimerkkiä mukaillen saadaan seuraava yleinen tulos.

Lause 1.3.12

Oletetaan, että $$\bv \in \R^n \setminus \{\nv\}$$. Tällöin vektori $$\frac{1}{\norm{\bv}}\bv$$ on yksikkövektori, joka on samansuuntainen vektorin $$\bv$$ kanssa.

Piilota/näytä todistus
Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.

## Vektorien välinen kulma ja etäisyys¶

Pistetulon avulla voidaan määritellä vektorin pituuden lisäksi vektorien välinen kulma. Tarkastellaan aluksi yksinkertaisinta eli suoraa kulmaa.

Määritelmä 1.3.13

Vektorit $$\bv \in \R^n$$ ja $$\bw \in \R^n$$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli ortogonaaliset, jos $$\bv \cdot \bw =0$$. Tällöin merkitään $$\bv\perp \bw$$.

Esimerkki 1.3.14

Tason vektorit $$(2,1)$$ ja $$(-2,4)$$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, sillä

$(2,1)\cdot (-2,4)=2\cdot(-2)+1\cdot 4=0.$

Voidaan siis merkitä $$(2,1)\perp(-2,4)$$.

Vektorit $$(2,1)$$ ja $$(3,4)$$ puolestaan eivät ole kohtisuorassa toisiaan, sillä

$(2,1)\cdot (3,4)=2\cdot 3+1\cdot 4=10 \neq 0.$

Esimerkki 1.3.15

Määritetään kaikki ne vektorit, jotka ovat kohtisuorassa vektoria $$\bn = (3, -2)$$ vastaan. Vektori $$(x, y) \in \R^2$$ on kohtisuorassa vektoria $$\bn$$, jos ja vain jos vektorien pistetulo on nolla. Toisin sanoen täytyy päteä

$3x - 2y = 0.$

Tämä yhtälö muuntuu muotoon $$y=\frac{3}{2}x$$. Vektoria $$\bn$$ vastaan kohtisuorat vektorit ovat siis muotoa $$\bx = \left(x, \frac{3}{2}x\right) = x\left(1, \frac{3}{2}\right)$$, missä $$x \in \R$$. Vektorien kärkipisteet muodostavat origon kautta kulkevan suoran, jonka yhtälö on $$y=\frac{3}{2}x$$.

Pistetulon avulla voi määrittää vektorien välisen kulman myös yleisemmin kuin suoran kulman tapauksessa.

Määritelmä 1.3.16

Vektorien $$\bv \in \R^n\setminus \{\nv\}$$ ja $$\bw \in \R^n\setminus \{\nv\}$$ välinen kulma on se kulma $$\alpha$$, jolle pätee $$0 \le \alpha \le \pi$$ ja

$\cos\alpha=\frac{\bv \cdot \bw}{\norm{\bv}\norm{\bw}}.$

Esimerkki 1.3.17

Vektorien $$\bv=(3,-2,0)$$ ja $$\bw=(1,-2,\sqrt{3})$$ välinen kulma $$\alpha$$ saadaan yhtälöstä

$\cos \alpha=\frac{7}{\sqrt{13}\sqrt{8}}.$

Lisäksi täytyy päteä $$0 \le \alpha \le \pi$$. Laskimella saadaan vektorien välisen kulman likiarvoksi $$\alpha \approx 0{,}81$$.

Vektorien välinen kulma antaa pistetulolle geometrisen merkityksen. Määritelmän mukaan vektorien $$\bv$$ ja $$\bw$$ pistetulolle pätee

$\bv \cdot \bw = \norm{\bv}\norm{\bw}\cos\alpha,$

missä $$\alpha$$ on vektorien välinen kulma. Tarkastellaan erilaisia tapauksia.

• $$0\le \alpha< \pi /2$$: Tällöin $$\cos\alpha > 0$$, joten vektorien pistetulo on positiivinen. Mitä pienempi kulma $$\alpha$$ on, sitä suurempi on kosini ja sitä kautta pistetulo.
• $$\alpha=\pi /2$$: Tällöin $$\cos\alpha=0$$, joten vektorien pistetulo on nolla. Vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Vektorien välisen kulman määritelmä on siis linjassa aiemmin esitetyn kohtisuoruuden määritelmän kanssa.
• $$\pi /2 <\alpha \le 0$$: Tällöin $$\cos\alpha < 0$$, joten vektorien pistetulo on negatiivinen. Mitä suurempi kulma $$\alpha$$ on, pienempi on kosini ja sitä kautta pistetulo.

Edelliset kohdat voi ilmaista myös toisilla sanoilla. Vektorien välinen kulma kertoo, kuinka paljon vektorit osoittavat samaan suuntaan. Pistetulo on sitä suurempi, mitä enemmän vektorit osoittavat samaan suuntaan ja sitä pienempi, mitä enemmän ne osoittavat eri suuntiin.

Vektorien välisen kulman määritelmä vaatii itse asiassa hiukan lisähuomiota. Ei nimittäin ole itsestään selvää, että määritelmässä mainitun kulman $$\alpha$$ voi laske jokaiselle vektorille. Kosinifunktio on määritelty niin, että jokaista lukua $$x \in [-1,1]$$ vastaa täsmälleen yksi sellainen kulma $$\alpha$$, että $$0 \leq \alpha \leq \pi$$ ja $$\cos \alpha = x$$. Ennen kuin määritelmän voi ottaa virallisesti käyttöön, täytyy varmistua siitä, että

$-1 \le \frac{\bv \cdot \bw}{\norm{\bv}\norm{\bw}} \le 1$

kaikilla vektoreilla $$\bv,\bw \in \R^n$$. Tätä varten tarvitaan muutamia aputuloksia.

Ensimmäinen aputulos on eräs yleisen teorian kannalta tärkeä tulos, jota tässä vaiheessa kuitenkin tarvitaan lähinnä sitä seuraavan lemman todistamiseen.

Lause 1.3.18 (Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö)

Oletetaan, että $$\bv \in \R^n$$ ja $$\bw \in \R^n$$. Tällöin

$|\bv \cdot \bw| \le \norm{\bv}\norm{\bw}.$
Piilota/näytä todistus
Lauseen pystyy todistamaan kätevästi projektion käsitteen avulla, joten todistus esitetään vasta projektion yhteydessä.

Lemma 1.3.19

Oletetaan, että $$\bv, \bw \in \R^n \setminus \{\nv\}$$. Tällöin

$-1 \le \frac{\bv \cdot \bw}{\norm{\bv}\norm{\bw}} \le 1.$
Piilota/näytä todistus

Schwarzin epäyhtälön mukaan $$|\bv \cdot \bw| \le \norm{\bv}\norm{\bw}$$. Tästä seuraa, että

$-\norm{\bv}\norm{\bw} \le \bv \cdot \bw \le \norm{\bv}\norm{\bw}.$

Jakamalla näin saadut epäyhtälöt positiivisella luvulla $$\norm{\bv}\norm{\bw}$$ saadaan

$-1 \le \frac{\bv \cdot \bw}{\norm{\bv}\norm{\bw}} \le 1. \qedhere$

Lemman nojalla tiedetään, että vektorien välinen kulma on mahdollista määrittää kaikilla vektoreilla.

Vaikka määritelmiä ei tarvitsekaan perustella mitenkään, on kuitenkin valaisevaa katsoa, miten vektorien välisen kulman määritelmä vastaa tasossa geometrista käsitystämme.

Fig. 2: Vektoreiden $$\bv$$ ja $$\bw$$ välinen kulma kosinilauseen näkökulmasta.

Kosinilauseen mukaan kuvan 2 kolmiossa pätee

$\norm{\bw - \bv}^2 = \norm{\bv}^2 + \norm{\bw}^2 - 2\norm{\bv}\norm{\bw}\cos \alpha.$

Toisaalta normin määritelmän ja pistetulon ominaisuuksien nojalla

$\begin{split} \norm{\bw - \bv}^2 &= (\bw-\bv)\cdot (\bw-\bv) = \bw \cdot \bw - \bw \cdot \bv - \bv \cdot \bw + \bv \cdot \bv = \norm{\bv}^2 - 2(\bv \cdot \bw) + \norm{\bw}^2. \end{split}$

$\norm{\bv}^2 + \norm{\bw}^2 - 2\norm{\bv}\norm{\bw}\cos \alpha = \norm{\bv}^2 - 2(\bv \cdot \bw) + \norm{\bw}^2,$

josta edelleen

$\cos \alpha = \frac{\bv \cdot \bw}{\norm{\bv}\norm{\bw}}.$

Vektorien pistetulon ja normin avulla voidaan todistaa koulusta tuttu Pythagoraan lause. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.

Lause 1.3.20 (Pythagoraan lause)

Oletetaan, että vektorit $$\bv \in \R^n$$ ja $$\bw \in \R^n$$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tällöin

$\norm{\bv+\bw}^2=\norm{\bv}^2+\norm{\bw}^2$

Kun vektorit $$\bv$$ ja $$\bw$$ tulkitaan tason pisteiksi, niiden välinen etäisyys voidaan määritellä niitä yhdistävän suuntajanan $$\bv-\bw$$ pituutena. Tämä taas palautuu vektorin normiin.

Määritelmä 1.3.21

Oletetaan, että $$\bv$$, $$\bw \in \R^n$$. Vektorien $$\bv$$ ja $$\bw$$ välinen etäisyys on

$d(\bv, \bw)=\norm{\bv-\bw}.$

Esimerkki 1.3.22

Vektoreiden $$\bv = (2,2)$$ ja $$\bw = (-3,-1)$$ välinen etäisyys on

$d(\bv, \bw)=\norm{\bv-\bw} = \norm{(2-(-3), 2-(-1))} =\norm{(5,3)} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}.$

Etäisyyttä on havainnollistettu kahdella eri tavalla seuraavassa kuvassa.

Fig. 3: Vektoreiden $$\bv$$ ja $$\bw$$ välinen etäisyys. Ensimmäisessä kuvassa vektorit on havainnollistettu tason pisteinä, jälkimmäisessä kuvassa origosta lähtevinä nuolina.

• Vektoreiden pistetulo on operaatio, joka tuottaa kahdesta vektorista tulokseksi reaaliluvun.
• Vektorin normi eli pituus määritellään pistetulon avulla.
• Vektoreiden välinen kulma voidaan määritellä pistetulon avulla.
• Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on nolla.
Valitse paikkansa pitävät väittämät. Oletetaan, että $$\ba, \bb \in \R^n$$.
Palautusta lähetetään...