\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Ristitulo
Avaruuden \(\R^3\) vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden \(\R^3\) vektori. Ristitulosta on hyötyä esimerkiksi silloin, kun tarvitaan vektori, joka on kohtisuorassa jotakin tasoa vastaan.
Ristitulo poikkeaa kurssilla tähän mennessä määritellyistä käsitteistä siinä, että sen määritelmää ei voida yleistää kaikkiin avaruuksiin \(\R^n\). Ristitulo on vain avaruuden \(\R^3\) laskutoimitus.
Ristitulon \(\bv \times \bw\) laskemiseen voi käyttää muistisääntöjä, joista tässä esitellään kaksi erilaista.
Esimerkki 1.5.2
Lasketaan vektorien \(\bv=(1,2,3)\) ja \(\bw=(4,5,6)\) ristitulo. Järjestetään taulukoksi vektorit \(\be_1=(1,0,0)\), \(\be_2=(0,1,0)\) ja \(\be_3=(0,0,1)\) sekä \((1,2,3)\) ja \((4,5,6)\) seuraavalla tavalla:
\[\begin{split}\begin{vmatrix}
\be_1 & \be_2 & \be_3 \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{vmatrix}\end{split}\]
Tätä taulukkoa tulkitaan niin, että kutakin vektoria \(\be_1\), \(\be_2\) ja \(\be_3\) kerrotaan taulukolla, jossa ovat kaikki ne luvut, jotka eivät ole kyseisen vektorin alla. Näin saatuja vektoreita summataan ja vähennetään keskenään:
\[\begin{split}\begin{vmatrix}
2 & 3\\
5 & 6
\end{vmatrix}\be_1
-\begin{vmatrix}
1 & 3\\
4 & 6
\end{vmatrix}\be_2
+\begin{vmatrix}
1 & 2\\
4& 5
\end{vmatrix}\be_3.\end{split}\]
Tässä on tärkeää huomata, että keskimmäisessä termissä on miinusmerkki, muissa ei.
Jäljelle jääviä \(2 \times 2\)-taulukoita tulkitaan seuraavasti. Taulukon poikki piirretään vinoviivat. Samalla viivalla olevat alkiot kerrotaan keskenään. Jos viiva on lävistäjän suuntainen, tulee tulon eteen plusmerkki ja muutoin miinusmerkki. Lopuksi tulot summataan.
Nyt edellisestä laskusta saadaan
\[(2 \cdot 6-3\cdot 5)\be_1
-(1 \cdot 6-3\cdot 4)\be_2
+(1 \cdot 5-2\cdot 4)\be_3=-3\be_1+6\be_2-3\be_3=(-3,6,-3).\]
Siten \((1,2,3) \times (4,5,6)=(-3,6,-3)\).
Tässä esitetty muistisääntö on sama kuin niin kutsutun determinantin laskemisessa käytettävä muistisääntö. Determinantteja käsitellään matriisien yhteydessä.
Esimerkki 1.5.3
Ristitulon \(\bv \times \bw\) laskemiseen voi käyttää kuvassa 1 esitettyä muistisääntöä. Yhtenäisellä viivalla yhdistettyjen komponenttien tulosta vähennetään katkoviivalla yhdistettyjen komponenttien tulo.
Fig. 1: Ristitulon \(\bv \times \bw\) laskeminen.
Merkitään \(\ba = (2,1,4)\) ja \(\bb = (3,-1,-3)\). Kuvan 2 perusteella voidaan laskea
\[\begin{split}
\ba \times \bb &= (1 \cdot (-3)- 4 \cdot (-1), \ 4 \cdot 3 - 2 \cdot (-3), \ 2 \cdot (-1)- 1 \cdot 3) =(1, 18, -5).
\end{split}\]
Fig. 2: Ristitulon \(\ba \times \bb\) laskeminen.
Eräs ristitulon sovelluksista on, että sen avulla voidaan löytää vektori, joka on kohtisuorassa kahta vektoria
vastaan.
Lause 1.5.4
Oletetaan, että \(\bv,\bw \in \R^3\). Tällöin \((\bv \times \bw) \perp \bv\) ja \((\bv \times \bw) \perp \bw\).
Piilota/näytä todistus
Laskemalla huomataan, että
\[\begin{split}\begin{split}
(\bv \times \bw) \cdot \bv&=(v_2w_3-v_3w_2,\ v_3w_1-v_1w_3,\ v_1w_2-v_2w_1) \cdot (v_1,v_2,v_3) \\
&=(v_2w_3-v_3w_2)v_1+(v_3w_1-v_1w_3)v_2+(v_1w_2-v_2w_1)v_3 \\
&=v_2w_3v_1-v_3w_2v_1+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3=0.
\end{split}\end{split}\]
Siten vektorit \((\bv \times \bw)\) ja \(\bv\) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Väitteen toinen osa osoitetaan samalla tavalla.
Fig. 3: Ristitulo \(\bv \times \bw\) on kohtisuorassa vektoria \(\bv\) ja vektoria \(\bw\) vastaan.
Seuraavassa lauseessa on lueteltu ristituloon liittyviä laskusääntöjä. Erityisesti sääntöihin 1, 5 ja 7 on hyvä kiinnittää huomiota, sillä ne poikkeavat monista tutuista laskusäännöistä. Esimerkiksi säännön 1 mukaan ristitulo ei ole vaihdannainen laskutoimitus.
Lause 1.5.5
Oletetaan, että \(\bu\), \(\bv\), \(\bw \in \R^3\) ja \(c \in \R\). Tällöin
- \(\bv \times \bw = -(\bw \times \bv)\) (antikommutointi)
- \(\bu \times (\bv + \bw) = \bu \times \bv + \bu \times \bw\)
(osittelulaki)
- \((\bv + \bw) \times \bu = \bv \times \bu + \bw \times \bu\)
(osittelulaki)
- \(c(\bv \times \bw) = (c\bv) \times \bw = \bv \times (c\bw)\)
- \(\bv \times \bv = \nv\)
- \(\nv \times \bv = \nv\) ja \(\bv \times \nv = \nv\)
- \(\bu \cdot (\bv \times \bw) = (\bu \times \bv) \cdot \bw\).
Piilota/näytä todistus
Lauseen todistus on suoraviivainen ja käyttää ainoastaan ristitulon määritelmää. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
Lause 1.5.6
Jos avaruuden \(\R^3\) vektorit ovat yhdensuuntaiset, niiden ristitulo on nolla.
Piilota/näytä todistus
Oletetaan, että \(\bv, \bw \in \R^3\). Oletetaan lisäksi, että \(\bv\) ja \(\bw\) ovat yhdensuuntaisia. Tällöin on olemassa \(c \in \R\setminus{0}\), jolle pätee \(\bw=c\bv\). Edellisen lauseen nojalla
\[\bv \times \bw=\bv \times (c\bv)=c(\bv \times \bv)=c\cdot 0=0.\qedhere\]
Lauseen 1.5.4 perusteella tiedetään, että kahden vektorin ristitulo on kohtisuorassa kumpaakin vektoria vastaan, joten ristitulovektorin suunnalla on vain kaksi mahdollisuutta. Ristitulovektorin pituus puolestaan määräytyy seuraavasta lauseesta.
Lause 1.5.7
Oletetaan, että \(\bv, \bw\in \R^3\). Jos \(\bv \neq \nv\) ja \(\bw \neq \nv\), niin
\[\norm{\bv \times \bw} = \norm{\bv}\norm{\bw}\sin \alpha,\]
missä \(\alpha\) on vektorien \(\bv\) ja \(\bw\)
välinen kulma.
Piilota/näytä todistus
Todistus on melko tekninen, joten sen voi ohittaa ensimmäisillä lukukerroilla.
Normin ja ristitulon määritelmien nojalla
\[\|\bv\times\bw\|^2=(v_2w_3-w_2v_3)^2+(v_1w_3-w_1v_3)^2+(v_1w_2-w_1v_2)^2.\]
Kun lasketaan lauseke termeittäin auki, saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned}
\|\bu\times\bv\|^2&=v_2^2w_3^2-2v_2w_3w_2v_3+_2^2v_3^2+
v_1^2w_3^2-2v_1w_3w_1v_3+w_1^2v_3^2\\
&+v_1^2w_2^2-2v_1w_2w_1v_2+w_1^2v_2^2
\end{aligned}\end{split}\]
Tämä lauseke on mahdollista kirjoittaa muodossa
\[(v_1^2+v_2^2+v_3^2)(w_1^2+w_2^2+w_3^2)-(v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3)^2 = \|\bu\|^2\|\bv\|^2 - (\bu \cdot \bv)^2.\]
Nyt on osoitettu, että
\[\|\bv\times\bw\|^2=\|\bu\|^2\|\bv\|^2 - (\bu \cdot \bv)^2.\]
Vektorien välisen kulman määritelmän nojalla \(\bv\cdot\bw=\|\bv\|\|\bw\|\cos(\alpha)\), joten
\[\begin{split}\begin{aligned}
\|\bv\times\bw\|^2
&=\|\bv\|^2\|\bw\|^2-\|\bv\|^2\|\bw\|^2\cos^2(\alpha)
=\|\bv\|^2\|\bw\|^2(1-\cos^2(\alpha))\\
&=\|\bv\|^2\|\bw\|^2\sin^2(\alpha) = (\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha)^2.
\end{aligned}\end{split}\]
Näin ollen
\[\|\bv\times\bw\|^2=(\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha)^2\]
Lisäksi vektorien välisen kulman määritelmän mukaan \(0 \le \alpha \le \pi\), mistä seuraa, että \(\sin\alpha\ge 0\). Lisäksi vektorien normit ovat aina epänegatiivisia. Siten \(\norm{\bv \times \bw} \ge 0\) ja \(\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha \ge 0\). Saadusta yhtälöstä voidaan näin ollen päätellä, että
\[\norm{\bv \times \bw}=\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha.\]
Tämä todistaa väitteen.
Edellisestä lauseesta seuraa, että ristitulovektorin \(\bv \times \bw\) pituus on yhtä suuri kuin vektorien \(\bv\) ja \(\bw\) määräämän suunnikkaan ala (kuva 4). Oletetaan nimittäin, että vektorien \(\bv\) ja \(\bw\) välinen kulma on \(\alpha\). Tällöin suunnikkaan korkeus on \(\norm{\bw}\sin\alpha\). Näin suunnikkaan pinta-alaksi saadaan \(\norm{\bw}\sin\alpha\cdot \norm{\bv}=\norm{\bv \times \bw}\).
Fig. 4: Ristitulovektorin \(\bv \times \bw\) pituus on yhtä suuri kuin vektorien \(\bv\) ja \(\bw\) määräämän suunnikkaan ala.
Ristitulon avulla voidaan määrittää myös suuntaissärmiön tilavuus.
Vektoreiden \(\bv\), \(\bw\) ja \(\bu\) määräämän suuntaissärmiön tilavuus on pohjan pinta-alan \(\norm{\bv \times \bw}\) ja korkeuden \(h\) tulo (kuva 5). Korkeuden \(h\) selvittämiseksi lasketaan vektorin \(\bu\) projektio ristitulovektorin \(\bv \times \bw\) virittämälle aliavaruudelle (eli suoralle, joka on molempia vektoreita \(\bv\) ja \(\bw\) vastaan kohtisuorassa):
\[\proj_{\bv \times \bw}(\bu) = \frac{(\bv \times \bw)\cdot \bu}{(\bv \times \bw)\cdot (\bv \times \bw)}\,(\bv \times \bw) .\]
Korkeus \(h\) on tämän vektorin pituus eli normi:
\[\begin{split}\begin{split}
h &= \|\proj_{\bv \times \bw}(\bu)\| = \left\|\frac{(\bv \times \bw)\cdot \bu}{(\bv \times \bw)\cdot (\bv \times \bw)}\,(\bv \times \bw)\right\| = \left| \frac{(\bv \times \bw)\cdot \bu}{(\bv \times \bw)\cdot (\bv \times \bw)} \right| \|\bv \times \bw\| \\
& = \frac{\left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|}{\|\bv \times \bw\|^2}\|\bv \times \bw\| = \frac{\left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|}{\|\bv \times \bw\|}
\end{split}\end{split}\]
Tilavuudeksi saadaan pohjan pinta-ala kertaa korkeus:
\[\norm{\bv \times \bw} \frac{\left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|}{\|\bv \times \bw\|}= \left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|\]
Suuntaissärmiön tilavuus on siis niin kutsutun skalaarikolmitulon \((\bv \times \bw) \cdot \bu\) itseisarvo.
Lauseesta 1.5.5
seuraa, että vektorien \(\bv\), \(\bw\) ja \(\bu\) järjestyksellä tässä kaavassa ei ole väliä.
Fig. 5: Vektoreiden \(\bv\), \(\bw\) ja \(\bu\) määräämän suuntaissärmiön tilavuus.
- Avaruudessa \(\R^3\) on määritelty vektoreiden ristitulo. Se tuottaa tulokseksi avaruuden \(\R^3\) vektorin.
- Ristitulon avulla on mahdollista löytää kahta vektoria vastaan kohtisuorassa oleva vektori.
Tiivistelmä