$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

# Ristitulo¶

Avaruuden $$\R^3$$ vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden $$\R^3$$ vektori. Ristitulosta on hyötyä esimerkiksi silloin, kun tarvitaan vektori, joka on kohtisuorassa jotakin tasoa vastaan.

Ristitulo poikkeaa kurssilla tähän mennessä määritellyistä käsitteistä siinä, että sen määritelmää ei voida yleistää kaikkiin avaruuksiin $$\R^n$$. Ristitulo on vain avaruuden $$\R^3$$ laskutoimitus.

Määritelmä 1.5.1

Vektorien $$\bv = (v_1, v_2,v_3)\in \R^3$$ ja $$\bw = (w_1, w_2, w_3)\in \R^3$$ ristitulo on vektori

$\bv \times \bw = (v_2w_3-v_3w_2,\ v_3w_1-v_1w_3,\ v_1w_2-v_2w_1).$

Ristitulon $$\bv \times \bw$$ laskemiseen voi käyttää muistisääntöjä, joista tässä esitellään kaksi erilaista.

Esimerkki 1.5.2

Lasketaan vektorien $$\bv=(1,2,3)$$ ja $$\bw=(4,5,6)$$ ristitulo. Järjestetään taulukoksi vektorit $$\be_1=(1,0,0)$$, $$\be_2=(0,1,0)$$ ja $$\be_3=(0,0,1)$$ sekä $$(1,2,3)$$ ja $$(4,5,6)$$ seuraavalla tavalla:

$\begin{split}\begin{vmatrix} \be_1 & \be_2 & \be_3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}\end{split}$

Tätä taulukkoa tulkitaan niin, että kutakin vektoria $$\be_1$$, $$\be_2$$ ja $$\be_3$$ kerrotaan taulukolla, jossa ovat kaikki ne luvut, jotka eivät ole kyseisen vektorin alla. Näin saatuja vektoreita summataan ja vähennetään keskenään:

$\begin{split}\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{vmatrix}\be_1 -\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 6 \end{vmatrix}\be_2 +\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4& 5 \end{vmatrix}\be_3.\end{split}$

Tässä on tärkeää huomata, että keskimmäisessä termissä on miinusmerkki, muissa ei.

Jäljelle jääviä $$2 \times 2$$-taulukoita tulkitaan seuraavasti. Taulukon poikki piirretään vinoviivat. Samalla viivalla olevat alkiot kerrotaan keskenään. Jos viiva on lävistäjän suuntainen, tulee tulon eteen plusmerkki ja muutoin miinusmerkki. Lopuksi tulot summataan.

$(2 \cdot 6-3\cdot 5)\be_1 -(1 \cdot 6-3\cdot 4)\be_2 +(1 \cdot 5-2\cdot 4)\be_3=-3\be_1+6\be_2-3\be_3=(-3,6,-3).$

Siten $$(1,2,3) \times (4,5,6)=(-3,6,-3)$$.

Tässä esitetty muistisääntö on sama kuin niin kutsutun determinantin laskemisessa käytettävä muistisääntö. Determinantteja käsitellään matriisien yhteydessä.

Esimerkki 1.5.3

Ristitulon $$\bv \times \bw$$ laskemiseen voi käyttää kuvassa 1 esitettyä muistisääntöä. Yhtenäisellä viivalla yhdistettyjen komponenttien tulosta vähennetään katkoviivalla yhdistettyjen komponenttien tulo.

Fig. 1: Ristitulon $$\bv \times \bw$$ laskeminen.

Merkitään $$\ba = (2,1,4)$$ ja $$\bb = (3,-1,-3)$$. Kuvan 2 perusteella voidaan laskea

$\begin{split} \ba \times \bb &= (1 \cdot (-3)- 4 \cdot (-1), \ 4 \cdot 3 - 2 \cdot (-3), \ 2 \cdot (-1)- 1 \cdot 3) =(1, 18, -5). \end{split}$

Fig. 2: Ristitulon $$\ba \times \bb$$ laskeminen.

Eräs ristitulon sovelluksista on, että sen avulla voidaan löytää vektori, joka on kohtisuorassa kahta vektoria vastaan.

Lause 1.5.4

Oletetaan, että $$\bv,\bw \in \R^3$$. Tällöin $$(\bv \times \bw) \perp \bv$$ ja $$(\bv \times \bw) \perp \bw$$.

Piilota/näytä todistus

$\begin{split}\begin{split} (\bv \times \bw) \cdot \bv&=(v_2w_3-v_3w_2,\ v_3w_1-v_1w_3,\ v_1w_2-v_2w_1) \cdot (v_1,v_2,v_3) \\ &=(v_2w_3-v_3w_2)v_1+(v_3w_1-v_1w_3)v_2+(v_1w_2-v_2w_1)v_3 \\ &=v_2w_3v_1-v_3w_2v_1+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3=0. \end{split}\end{split}$

Siten vektorit $$(\bv \times \bw)$$ ja $$\bv$$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Väitteen toinen osa osoitetaan samalla tavalla.

Fig. 3: Ristitulo $$\bv \times \bw$$ on kohtisuorassa vektoria $$\bv$$ ja vektoria $$\bw$$ vastaan.

Seuraavassa lauseessa on lueteltu ristituloon liittyviä laskusääntöjä. Erityisesti sääntöihin 1, 5 ja 7 on hyvä kiinnittää huomiota, sillä ne poikkeavat monista tutuista laskusäännöistä. Esimerkiksi säännön 1 mukaan ristitulo ei ole vaihdannainen laskutoimitus.

Lause 1.5.5

Oletetaan, että $$\bu$$, $$\bv$$, $$\bw \in \R^3$$ ja $$c \in \R$$. Tällöin

1. $$\bv \times \bw = -(\bw \times \bv)$$ (antikommutointi)
2. $$\bu \times (\bv + \bw) = \bu \times \bv + \bu \times \bw$$ (osittelulaki)
3. $$(\bv + \bw) \times \bu = \bv \times \bu + \bw \times \bu$$ (osittelulaki)
4. $$c(\bv \times \bw) = (c\bv) \times \bw = \bv \times (c\bw)$$
5. $$\bv \times \bv = \nv$$
6. $$\nv \times \bv = \nv$$ ja $$\bv \times \nv = \nv$$
7. $$\bu \cdot (\bv \times \bw) = (\bu \times \bv) \cdot \bw$$.
Piilota/näytä todistus
Lauseen todistus on suoraviivainen ja käyttää ainoastaan ristitulon määritelmää. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.

Lause 1.5.6

Jos avaruuden $$\R^3$$ vektorit ovat yhdensuuntaiset, niiden ristitulo on nolla.

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että $$\bv, \bw \in \R^3$$. Oletetaan lisäksi, että $$\bv$$ ja $$\bw$$ ovat yhdensuuntaisia. Tällöin on olemassa $$c \in \R\setminus{0}$$, jolle pätee $$\bw=c\bv$$. Edellisen lauseen nojalla

$\bv \times \bw=\bv \times (c\bv)=c(\bv \times \bv)=c\cdot 0=0.\qedhere$

Lauseen 1.5.4 perusteella tiedetään, että kahden vektorin ristitulo on kohtisuorassa kumpaakin vektoria vastaan, joten ristitulovektorin suunnalla on vain kaksi mahdollisuutta. Ristitulovektorin pituus puolestaan määräytyy seuraavasta lauseesta.

Lause 1.5.7

Oletetaan, että $$\bv, \bw\in \R^3$$. Jos $$\bv \neq \nv$$ ja $$\bw \neq \nv$$, niin

$\norm{\bv \times \bw} = \norm{\bv}\norm{\bw}\sin \alpha,$

missä $$\alpha$$ on vektorien $$\bv$$ ja $$\bw$$ välinen kulma.

Piilota/näytä todistus

Todistus on melko tekninen, joten sen voi ohittaa ensimmäisillä lukukerroilla.

Normin ja ristitulon määritelmien nojalla

$\|\bv\times\bw\|^2=(v_2w_3-w_2v_3)^2+(v_1w_3-w_1v_3)^2+(v_1w_2-w_1v_2)^2.$

\begin{split}\begin{aligned} \|\bu\times\bv\|^2&=v_2^2w_3^2-2v_2w_3w_2v_3+_2^2v_3^2+ v_1^2w_3^2-2v_1w_3w_1v_3+w_1^2v_3^2\\ &+v_1^2w_2^2-2v_1w_2w_1v_2+w_1^2v_2^2 \end{aligned}\end{split}

Tämä lauseke on mahdollista kirjoittaa muodossa

$(v_1^2+v_2^2+v_3^2)(w_1^2+w_2^2+w_3^2)-(v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3)^2 = \|\bu\|^2\|\bv\|^2 - (\bu \cdot \bv)^2.$

Nyt on osoitettu, että

$\|\bv\times\bw\|^2=\|\bu\|^2\|\bv\|^2 - (\bu \cdot \bv)^2.$

Vektorien välisen kulman määritelmän nojalla $$\bv\cdot\bw=\|\bv\|\|\bw\|\cos(\alpha)$$, joten

\begin{split}\begin{aligned} \|\bv\times\bw\|^2 &=\|\bv\|^2\|\bw\|^2-\|\bv\|^2\|\bw\|^2\cos^2(\alpha) =\|\bv\|^2\|\bw\|^2(1-\cos^2(\alpha))\\ &=\|\bv\|^2\|\bw\|^2\sin^2(\alpha) = (\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha)^2. \end{aligned}\end{split}

Näin ollen

$\|\bv\times\bw\|^2=(\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha)^2$

Lisäksi vektorien välisen kulman määritelmän mukaan $$0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$$, mistä seuraa, että $$\sin\alpha\ge 0$$. Lisäksi vektorien normit ovat aina epänegatiivisia. Siten $$\norm{\bv \times \bw} \ge 0$$ ja $$\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha \ge 0$$. Saadusta yhtälöstä voidaan näin ollen päätellä, että

$\norm{\bv \times \bw}=\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha.$

Tämä todistaa väitteen.

Edellisestä lauseesta seuraa, että ristitulovektorin $$\bv \times \bw$$ pituus on yhtä suuri kuin vektorien $$\bv$$ ja $$\bw$$ määräämän suunnikkaan ala (kuva 4). Oletetaan nimittäin, että vektorien $$\bv$$ ja $$\bw$$ välinen kulma on $$\alpha$$. Tällöin suunnikkaan korkeus on $$\norm{\bw}\sin\alpha$$. Näin suunnikkaan pinta-alaksi saadaan $$\norm{\bw}\sin\alpha\cdot \norm{\bv}=\norm{\bv \times \bw}$$.

Fig. 4: Ristitulovektorin $$\bv \times \bw$$ pituus on yhtä suuri kuin vektorien $$\bv$$ ja $$\bw$$ määräämän suunnikkaan ala.

Ristitulon avulla voidaan määrittää myös suuntaissärmiön tilavuus. Vektoreiden $$\bv$$, $$\bw$$ ja $$\bu$$ määräämän suuntaissärmiön tilavuus on pohjan pinta-alan $$\norm{\bv \times \bw}$$ ja korkeuden $$h$$ tulo (kuva 5). Korkeuden $$h$$ selvittämiseksi lasketaan vektorin $$\bu$$ projektio ristitulovektorin $$\bv \times \bw$$ virittämälle aliavaruudelle:

$\proj_{\bv \times \bw}(\bu) = \frac{(\bv \times \bw)\cdot \bu}{(\bv \times \bw)\cdot (\bv \times \bw)}\,(\bv \times \bw) .$

Korkeus $$h$$ on tämän vektorin pituus eli normi:

$\begin{split}\begin{split} h &= \|\proj_{\bv \times \bw}(\bu)\| = \left\|\frac{(\bv \times \bw)\cdot \bu}{(\bv \times \bw)\cdot (\bv \times \bw)}\,(\bv \times \bw)\right\| = \left| \frac{(\bv \times \bw)\cdot \bu}{(\bv \times \bw)\cdot (\bv \times \bw)} \right| \|\bv \times \bw\| \\ & = \frac{\left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|}{\|\bv \times \bw\|^2}\|\bv \times \bw\| = \frac{\left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|}{\|\bv \times \bw\|} \end{split}\end{split}$

Tilavuudeksi saadaan pohjan pinta-ala kertaa korkeus:

$\norm{\bv \times \bw}\cdot \frac{\left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|}{\|\bv \times \bw\|}= \left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|$

Suuntaissärmiön tilavuus on siis niin kutsutun skalaarikolmitulon $$(\bv \times \bw) \cdot \bu$$ itseisarvo. Lauseesta 1.5.5 seuraa, että vektorien $$\bv$$, $$\bw$$ ja $$\bu$$ järjestyksellä tässä kaavassa ei ole väliä.

Fig. 5: Vektoreiden $$\bv$$, $$\bw$$ ja $$\bu$$ määräämän suuntaissärmiön tilavuus.

1. Avaruudessa $$\R^3$$ on määritelty vektoreiden ristitulo. Se tuottaa tulokseksi avaruuden $$\R^3$$ vektorin.
2. Ristitulon avulla on mahdollista löytää kahta vektoria vastaan kohtisuorassa oleva vektori.
Valitse paikkansa pitävät väittämät. Oletetaan, että $$\ba, \bb \in \R^3$$.
Palautusta lähetetään...