$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Kompleksiluvun juuret

Määritelmä 8.6.1

Olkoon $n$ luonnollinen luku. Kompleksiluvun $z \not= 0$ $n$:s juuri (root) on mikä tahansa kompleksiluku $w$, joka toteuttaa yhtälön

$$w^n=z.$$

Reaaliluvun $y$ reaalijuuria tarkasteltaessa voidaan tunnistaa seuraavat, kuvan avulla helposti muistettavat tapaukset.

• Jos $n$ on pariton, on täsmälleen yksi reaalinen juuri $\sqrt[n]{y}$.
• Jos $n$ on parillinen ja $y < 0$, ei ole reaalisia juuria.
• Jos $n$ on parillinen ja $y>0$, on täsmälleen kaksi reaalista juurta $-\sqrt[n]{y}$ ja $\sqrt[n]{y}$.

Esimerkki 8.6.2

1. Luvun $-1$ eräät toiset juuret ovat $\iu$ ja $-\iu$, sillä

   $$\iu^2=-1\qquad\text{ja}\qquad (-\iu)^2=\iu^2=-1.$$

   Löydätkö muita kompleksilukuja, joiden neliö on $-1$?

2. Luvun $-8 = 8e^{\iu \pi}$ eräs kolmas juuri on $2e^{\iu \pi/3}$, sillä

   $$\left(2e^{\iu \pi/3}\right)^3=2^3e^{\iu (\pi/3)\cdot 3}=8e^{\iu \pi}=-8.$$

   Mitkä muut luvut voisivat olla reaaliluvun $-8$ kolmansia juuria? Ovatko ne kaikki kompleksisia?

Jos tarkastellaan vain reaalilukuja, mahdollinen juurten lukumäärä vaihtelee nollasta kahteen. Kompleksilukujen mukaan ottaminen ikäänkuin täydentää juurten etsimisen teorian, sillä tällöin jokaisella luvulla on täsmälleen $n$ kappaletta $n$:siä juuria.

Lause 8.6.3

Kompleksiluvulla $z=re^{\iu\theta}\ne0$ on täsmälleen $n$ erisuurta $n$:ttä juurta, jotka sijaitsevat $\sqrt[n]{r}$-säteisellä origokeskisellä ympyrällä tasaisesti kulman $\frac{2\pi}{n}$ välein.

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että kompleksiluku $se^{\iu\varphi}$ on luvun $z$ $n$:s juuri, jolloin on siis oltava $s^ne^{\iu n\varphi} = z = re^{\iu \theta}$. Jotta kaksi kompleksilukua voisivat olla yhtä suuria, niiden itseisarvojen on oltava samat. Tästä päätellään, että $s^n = r$. Tässä $r > 0$ on reaaliluku, joten reaalinen $n$:s juuri on olemassa. Lisäksi luvun $s$ on oltava myös positiivinen, sillä se on kompleksiluvun itseisarvo. Siis $s = \sqrt[n]{r}$.

Myös molempien lukujen eksponenttiosien on oltava yhtä suuret, eli $e^{\iu n\varphi} = e^{\iu \theta}$. Tämä ehto toteutuu varmasti, jos $n\varphi = \theta$. Muistetaan kuitenkin, että kompleksiluvun argumentti ei ole yksikäsitteinen, vaan sitä voidaan aina kasvattaa tai vähentää luvun $2\pi$ verran aiheuttamatta muutoksia. Tämän vuoksi siis yleisesti $n\varphi = \theta + 2\pi k$, missä $k$ on kokonaisluku. Argumentti saadaan ratkaistua jakamalla luvulla $n$, jolloin siis luvun $z = re^{\iu \theta}$ $n$:net juuret ovat muotoa

$$w_k = \sqrt[n]{r}e^{\iu (\theta + 2\pi k)/n},$$

missä $k$ on kokonaisluku. Koska kaikkien juurten itseisarvo on $\sqrt[n]{r}$, ne kaikki sijaitsevat $\sqrt[n]{r}$-säteisellä origokeskisellä ympyrällä. Jokainen parametrin $k$ valinta ei tuota erillistä juurta, sillä

$$w_{k + n} = \sqrt[n]{r}e^{\iu (\theta + 2\pi(k + n))/n} = \sqrt[n]{r}e^{\iu (\theta + 2\pi k)/n + \iu 2\pi} = \sqrt[n]{r}e^{\iu (\theta + 2\pi k)/n} = w_k.$$

Yhteensä $n$ eri juurta saadaan siis tuotettua valitsemalla luvuksi $k$ esimerkiksi kokonaisluvut $0, 1, 2, \ldots, n - 1$. Peräkkäisten juurten vaihe-ero on

$$\frac{\theta + 2\pi(k + 1)}{n} - \frac{\theta + 2\pi k}{n} = \frac{2\pi}{n},$$

kuten väitettiinkin.

Huomautus 8.6.4

Kompleksiluvun $z$ $n$:ttä juurta merkitään joskus $z^{1/n}$ tai $\sqrt[n]{z}$. Näiden merkintöjen kanssa on kuitenkin oltava varovainen, sillä juuria on $n$ kappaletta. Erityisesti tällä merkintätavalla $\sqrt{-1}=\iu$ ja $\sqrt{-1}=-\iu$, mutta silti $\iu \not= -\iu$!

Käytännössä kompleksiluvun $re^{\iu \theta}$ juuret voi etsiä suoraan edellä esitetyn kaavan avulla, kun parametrin $k$ arvoa vaihtelee sopivasti. Toinen helppo keino hakea yksi juuri kirjoittamalla suoraan

$$w_0 = \sqrt[n]{r}e^{\iu \theta/n}$$

ja muistaa, että loput juuret löytyvät kasvattamalla tämän argumenttia $\frac{2\pi}{n}$ kerrallaan. Olennaisinta on kuitenkin, että kompleksiluvun juuret on ylivoimaisesti helpoin löytää eksponenttimuodon avulla! Kuvan piirtäminen selventää useissa tapauksissa ratkaisua.

Esimerkki 8.6.5

Etsi

1. luvun $1$ neljännet juuret, eli neljännet yksikönjuuret,
2. luvun $1 + \iu$ kolmannet juuret.

Piilota/näytä ratkaisu

1. Kirjoitetaan $1 = 1e^{\iu \cdot 0}$, jolloin sen erilliset neljännet juuret ovat

   $$w_k = \sqrt[4]{1}e^{\iu (0 + 2\pi k)/4} = e^{\iu \frac{\pi}{2}k}, \qquad \text{kun } k = 0, 1, 2, 3.$$

   Juuret ovat siis $w_0 = e^{\iu \cdot 0} = 1$, $w_1 = e^{\iu \frac{\pi }{2}} = \iu$, $w_2 = e^{\iu \pi} = -1$ ja $w_3 = e^{\iu \frac{3\pi}{2}} = -\iu$. Toinen tapa olisi havaita, että $w_0 = \sqrt[4]{1}e^{\iu \cdot 0} = 1$ on eräs juuri, jonka jälkeen loput juuret löytyvät kulman $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ välein, eli $w_1 = \iu$, $w_2 = -1$ ja $w_3 = -\iu$. Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.

   

2. Kirjoitetaan $1 + \iu = \sqrt{2}e^{\iu \frac{\pi}{4}}$, jolloin sen erilliset kolmannet juuret ovat

   $$w_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}}e^{i\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)/3} = \sqrt[6]{2}e^{\iu \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}k\right)}, \qquad \text{kun } k = 0, 1, 2.$$

   Juuret ovat siis $w_0 = \sqrt[6]{2}e^{\iu \frac{\pi}{12}}$, $w_1 = \sqrt[6]{2}e^{\iu \frac{3\pi}{4}}$ ja $w_2 = \sqrt[6]{2}e^{\iu \frac{17\pi}{12}} = \sqrt[6]{2}e^{-\iu \frac{7\pi}{12}}$. Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.

   

Palautusta lähetetään...