\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Määrätty integraali

Palataan nyt luvun alussa esitettyyn pinta-alaongelmaan. Tällä kurssilla määrättyä integraalia käsitellään tämän ongelman hengessä tulkiten sen pinta-alojen avulla. Tällöin keskitytään erityisesti sellaisiin funktioihin, joilla tämä tulkinta on mielekäs. Täsmällinen Riemannin summiin perustuva määritelmä käydään läpi kurssilla Differentiaali- ja integraalilaskenta.

Geometrinen tulkinta ei-negatiivisen funktion \(f(x)\ge0\) määrätylle integraalille yli välin \([a,b]\) on funktion \(f\) kuvaajan ja \(x\)-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä \([a,b]\), jota merkitään

\[\int_a^bf(x)\,\d x.\]

Huomautus 6.4.1

Jos ei-negatiivinen funktio on jatkuva, niin pinta-alatulkinta on aina mielekäs. Lisäksi se on mielekäs myös joillakin epäjatkuvilla funktioilla, kuten esimerkiksi tarkasteltaessa funktion

\[\begin{split}f\left( x \right) = \begin{cases} 1, & \text{kun}\ x \geq 0 \\ 0, & \text{kun}\ x <0 \end{cases}\end{split}\]

integraalia yli välin \([-1,1]\). Kaikilla epäjatkuvilla funktioilla tämä tulkinta ei kuitenkaan ole mielekäs. Esimerkiksi Dirichlet’n funktion

\[\begin{split}f\left( x \right) = \begin{cases} 1, & \text{kun}\ x \in \Q \\ 0, & \text{kun}\ x \in \R\setminus\Q \end{cases}\end{split}\]

kuvaajan ja \(x\)-akselin väliin jäävää pinta-alaa ei pysty tulkitsemaan millään suljetulla välillä ilman syvällistä perehtymistä mittateoriaan.

Edellisen huomautuksen valossa keskitytään jatkuviin funktioihin. Lisäksi hankaluuksien välttämiseksi oletetaan, että funktiolla on välillä \([a,b]\) vain äärellinen määrä nollakohtia. Yleistetään näillä oletuksilla integraalin käsitettä funktioille, jotka voivat saada myös negatiivisia arvoja. Ensinnäkin jos \(f(x)\le0\) välillä \([a,b]\), niin funktion \(f\) kuvaajan ja \(x\)-akselin väliin jäävä pinta-ala on

\[-\int_a^bf(x)\,\d x,\]

eli määrätyn integraalin kohdalla \(x\)-akselin alapuolelle jäävä pinta-ala tulkitaan negatiivisena. Jos funktio saa välillä \([a,b]\) sekä positiivisia että negatiivisia arvoja ja sillä on välillä \([a,b]\) äärellinen määrä nollakohtia \(z_1<z_2<\cdots<z_n\), niin määrätyksi integraaliksi saadaan tällöin

\[\int_a^bf(x)\,\d x=\int_a^{z_1}f(x)\,\d x+\sum_{k=2}^n \int_{z_{k-1}}^{z_{k}}f(x)\,\d x+\int_{z_n}^bf(x)\,\d x.\]

missä kullakin välillä \([a,z_1]\), \([z_{k-1},z_k]\) ja \([z_n,b]\) funktio on ei-negatiivinen tai ei-positiivinen ja aiemmin esitetyt pinta-alatulkinnat ovat järkeviä.

Lause 6.4.2

Jos \(c\in\R\) on vakio, niin

\[\int_a^bc\,\d x=c(b-a).\]

Tämä tulos on geometrisesti ilmeinen, koska tapauksessa \(c>0\) laskettavana on sellaisen suorakulmion pinta-ala, jonka kanta on \(b-a\) ja korkeus \(c\). Seuraavat integraalien ominaisuudet voidaan perustella myös pinta-alatulkintaa käyttäen.

Lause 6.4.3

Olkoot \(f\) ja \(g : [a,b]\to\R\) välillä \([a,b]\) jatkuvia, sekä \(c\) reaaliluku. Tällöin

1. \(\displaystyle\int_a^b cf(x)\,\d x=c\int_a^b f(x)\,\d x\),
2. \(\displaystyle\int_a^b(f(x)+g(x))\,\d x=\int_a^b f(x)\,\d x+\int_a^b g(x)\,\d x\),
3. \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x=\int_a^c f(x)\,\d x+\int_c^b f(x)\,\d x\), kun \(a < c < b\),
4. jos \(f(x)\le g(x)\) kaikilla \(x\in[a,b]\), niin \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x\le\int_a^b g(x)\,\d x\),
5. \(\displaystyle\bigg\vert\int_a^b f(x)\,\d x\bigg\vert\le\int_a^b|f(x)|\,\d x\).

Kohtien 1 ja 2 mukaan integrointi on integroitavan funktion suhteen lineaarinen operaatio.

Kysymys 1

Miten funktio \(f(x)=|x-1|-2\) esitetään paloittain määriteltynä funktiona?

\(f(x)=\begin{cases} x-3 &\text{jos } x\geq 1 \\ -x-1 & \text{jos } x<1 \end{cases}\)

\(f(x)=\begin{cases} x-1 &\text{jos } x\geq 1 \\ -x-3 & \text{jos } x<1 \end{cases}\)

\(f(x)=\begin{cases} x-3 &\text{jos } x\geq 2 \\ -x-1 & \text{jos } x<2 \end{cases}\)

\(f(x)=\begin{cases} x-1 &\text{jos } x\geq 2 \\ -x-3 & \text{jos } x<2 \end{cases}\)

Kysymys 2

Merkitään kirjaimilla \(c\) ja \(d\) (missä \(c<d\)) funktion \(f(x)=|x-1|-2\) nollakohtia. Mitkä ne ovat?

\(c=-3\) ja \(d=1\)

\(c=-1\) ja \(d=3\)

\(c=-3\) ja \(d=-1\)

\(c=-1\) ja \(d=1\)

Kysymys 3

Haluat laskea alan, joka jää välillä \([a,0]\) (missä \(a<c\)) \(x\)-akselin ja funktion kuvaajan väliin. Mikä seuraavista integraaleista laskee tämän alan oikein? Vihje: Millä välillä integraali on negatiivinen? Onko ala negatiivinen?

\(\displaystyle\int_a^{-3} (-x-1)\,\d x + \int_{-3}^0 (-x-1)\,\d x\)

\(\displaystyle\int_a^{-3} (-x-1)\,\d x - \int_{-3}^0 (-x-1)\,\d x\)

\(\displaystyle\int_a^{-3} (-x-3)\,\d x + \int_{-3}^0 (-x-3)\,\d x\)

\(\displaystyle\int_a^{-3} (-x-3)\,\d x - \int_{-3}^0 (-x-3)\,\d x\)

\(\displaystyle\int_a^{-1} (-x-1)\,\d x + \int_{-1}^0 (-x-1)\,\d x\)

\(\displaystyle\int_a^{-1} (-x-1)\,\d x - \int_{-1}^0 (-x-1)\,\d x\)

\(\displaystyle\int_a^{-1} (-x-3)\,\d x + \int_{-1}^0 (-x-3)\,\d x\)

\(\displaystyle\int_a^{-1} (-x-3)\,\d x - \int_{-1}^0 (-x-3)\,\d x\)

Sovitaan, että jos \(a<b\), niin merkitään

\[\int_a^af(x)\,\d x=0\qquad\text{ja}\qquad\int_b^a f(x)\,\d x=-\int_a^bf(x)\,\d x.\]

Silloin lauseen 6.4.3 kohta 3 on voimassa, olivatpa \(a\), \(b\) ja \(c\) missä järjestyksessä tahansa tai vaikka yhtäsuuria, kunhan \(f\) ja \(g\) ovat integroituvia kyseisillä väleillä. Lisäksi lauseen viimeinen kohta muistuttaa kolmioepäyhtälöä, joka tässä on muotoiltu koskemaan integraalia. Kohdan oikeellisuudesta voi vakuuttua seuraavan kuvan avulla.

Vasemmanpuoleinen kuva edustaa integraalia yli välin \([a,b]\) ja siinä positiivinen ja negatiivinen pinta-ala kumoavat toisensa, johtaen tässä tapauksessa nollaa lähellä olevaan arvoon. Oikeanpuoleinen kuva demonstroi itseisarvon integraalia. Siinä negatiivinen pinta-ala muuttuu positiiviseksi, koska funktio \(|f(x)|\) ei saa negatiivisia arvoja, ja näin ollen pinta-alat eivät kumoa toisiaan.

Huomautus 6.4.4

Jatkuvien funktioiden lisäksi voimme tulkita myös paloittain jatkuvien funktioiden määrätyt integraalit pinta-alan kautta. Monesti paloittain jatkuvan funktion integraali lasketaan laskemalla integraali erikseen kullakin välillä, jolla \(f\) on jatkuva ja laskemalla nämä integraalit yhteen kohdan 3 mukaisesti. Funktion \(f : [a,b]\to\R\) integroituvuuteen tai integraaliin ei vaikuta sen arvojen muuttaminen äärellisen monessa välin \([a,b]\) pisteessä, joten paloittain jatkuvan funktion arvoilla hyppäyspisteissä ei ole merkitystä.

Seuraavaa lausetta kutsutaan analyysin peruslauseeksi. Se antaa yhteyden määrätyn integraalin ja integraalifunktion välille. Ilman tätä yhteyttä määrättyä integraalia tuskin kutsuttaisiin juuri integraaliksi. Lause todistetaan kurssilla Differentiaali- ja integraalilaskenta, joten tässä sen todistus sivuutetaan. Sen sijaan käydään läpi, kuinka sen avulla voidaan varsin helposti laskea määrättyjä integraaleja, sekä eräs sen suora seuraus.

Lause 6.4.5 (Analyysin peruslause)

Jos \(G\) on jokin jatkuvan funktion \(f\) integraalifunktio, niin

\[\int_a^bf(x)\,\d x=G(b)-G(a)=:\sij{a}{b} G(x).\]

Esimerkki 6.4.6

Lauseen 6.4.5 mukaan

1. \(\displaystyle\int_{-1}^3(5x^2+2)\,\d x=\sij{-1}{3}\Big(\frac53x^3+2x\Big)=51-\Big(-\frac{11}{3}\Big)=\frac{164}{3}\),
2. \(\displaystyle \int_1^2\frac{x}{x^2+1}\,\d x=\frac{1}{2}\int_1^2\frac{2x}{x^2+1}\,\d x =\frac12\sij{1}{2}\ln(x^2+1)=\frac12(\ln 5-\ln2)\).

Jos integroitava funktio on pariton tai parillinen, niin seuraava tulos helpottaa funktion integroimista pisteen \(0\) suhteen symmetrisen välin yli.

Lause 6.4.7

Olkoon \(f : [-a,a]\to\R\) integroituva. Jos \(f\) on pariton, niin

\[\int_{-a}^af(x)\,\d x=0\]

ja jos \(f\) on parillinen, niin

\[\int_{-a}^af(x)\,\d x=2\int_0^af(x)\,\d x.\]

Piilota/näytä todistus

Olkoon \(F:[-a,a] \to \R\) funktion \(f\) jokin integraalifunktio. Oletetaan ensin, että \(f\) on pariton, eli \(f(-x) = -f(x)\) kaikilla reaaliluvuilla \(x\). Integraalille on voimassa

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_{-a}^a f(x) \, \d x &= \int_{-a}^0 f(x) \,\d x + \int_0^a f(x) \, \d x. \\ \end{aligned}\end{split}\]

Näistä oikeanpuoleinen integraali on analyysin peruslauseen nojalla yksinkertaisuudessaan \(\int_0^a f(x) \, \d x = F(a) - F(0)\). Tarkastellaan seuraavaksi vasemmanpuoleista integraalia. Nyt funktion \(f\) parittomuudesta seuraa, että

\[\begin{aligned} \int_{-a}^0 f(x) \,\d x = \int_{-a}^0 -(-f(x)) \,\d x = \int_{-a}^0 -f(-x) \,\d x, \end{aligned}\]

missä viimeinen integraali on ketjusäännöstä saadun integrointikaavan mukaisessa muodossa. Siispä

\[\begin{aligned} \int_{-a}^0 f(x) \,\d x &= F(-0) - F(-(-a)) = F(0) - F(a). \end{aligned}\]

Yhdistämällä saadut tulokset huomataan, että

\[\int_{-a}^a f(x) \, \d x = F(0) - F(a) + F(a) - F(0) = 0,\]

kuten pitääkin. Jälkimmäinen väite voidaan osoittaa vastaavasti.

Esimerkki 6.4.8

1. Funktio \(f(x)=\sin(2x)\) on pariton, joten

   \[\int_{-3\pi/2}^{3\pi/2}\sin(2x)\,\d x=0.\]

2. Funktio \(f(x)=x^4-2\) on parillinen, joten

   \[\begin{aligned} \int_{-2}^2(x^4-2)\,\d x &=2\int_0^2(x^4-2)\,\d x=2\sij{0}{2}\left(\frac15x^5-2x\right) =2\left(\left(\frac{32}{5}-4\right)-0\right)=\frac{24}{5}. \end{aligned}\]

Välillä sovelluksissa vastaan tulevien määrättyjen integraalien tarkoista arvoista ei olla kiinnostuneita, vaan määrätylle integraalille halutaan löytää jokin numeerinen arvio. Seuraavassa esimerkissä esitellään Riemannin summiin perustuva tapa arvioida määrättyä integraalia. Itse asiassa määrätty integraali määritellään kurssilla Differentiaali ja integraalilaskenta juuri tähän tekniikkaan perustuen. Esimerkki on tärkeä myös siksi, että useat numeerisen integroinnin menetelmät perustuvat saman tyyliseen ajatteluun.

Esimerkki 6.4.9 (Riemannin summat)

Arvioidaan määrättyä integraalia \(\displaystyle\int_0^1 2x\,\d x\) hyödyntämällä Riemannin summia.

Riemannin summat pohjautuvat määrätyn integraalin pinta-alatulkintaan, sillä niissä välillä \([0,1]\) funktion \(f(x) = 2x\) ja \(x\)-akselin väliin jäävää pinta-alaa arvioidaan erilaisten suorakulmioiden avulla. Tarkemmin sanottuna Riemannin summaa laskettaessa integrointiväli \([0,1]\) jaetaan \(n\) osaväliin, ja saatujen osavälien leveydet määräävät \(x\)-akselilla sijaitsevien suorakulmioiden kantojen leveydet. Kunkin suorakulmion korkeus määräytyy funktion \(f(x)\) osavälillä saamien arvojen perusteella.

Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, jossa väli \([0,1]\) jaetaan tasaisesti \(n\) osaväliin. Tällöin jokaisen osavälin leveys on \(\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}\). Valitaan suorakulmioiden korkeudeksi funktion \(f(x)\) arvo jokaisen osavälin oikeanpuoleisessa päätepisteessä, eli suorakulmioiden korkeudet ovat \(f(\frac{1}{n}), f(\frac{2}{n}), \ldots, f(\frac{n}{n})\). Oleellinen kysymys on, mitä suorakulmioiden yhteispinta-alalle käy, kun \(n\) kasvaa rajatta. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Kuvassa vasemmalla \(n=3\) ja keskellä \(n=10\). Kuvassa oikealle on piirretty pinta-ala, jota suorakulmioiden yhteispinta-ala lähestyy, kun \(n\) kasvaa rajatta. Kuvan perusteella tämä pinta-ala näyttää olevan yhtä suuri kuin määrätty integraali välillä \([0,1]\).

Edellä johdetun perusteella määrättyä integraalia voidaan arvioida suorakulmioiden pinta-aloilla seuraavasti:

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_0^1 2x\,\d x &\approx f\left(\frac{1}{n}\right)\Delta x + f\left(\frac{2}{n}\right) \Delta x + \ldots + f\left(\frac{n}{n}\right) \Delta x = \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) \Delta x \\ &= \sum_{i=1}^n \frac{2i}{n} \cdot \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^n \frac{2i}{n^2} = \frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^n i = \frac{2}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{n}. \end{aligned}\end{split}\]

Toiseksi viimeisessä yhtäsuuruudessa on hyödynnetty aritmeettisen summan kaavaa. Määrätylle integraalille saadaan siis arvio \(\frac{n+1}{n}\), missä \(n\) on jokin luonnollinen luku. Arviot ovat järjestyksessä \(2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\ldots\) ja kun \(n\to\infty\), arvio lähestyy lukua \(1\). Toisaalta analyysin peruslauseen nojalla

\[\int_0^1 2x\,\d x = \sij{0}{1} x^2 = 1^2 - 0^2 = 1.\]

Kyse ei kuitenkaan ole sattumasta, vaan tämä on niin kutsuttujen integroituvien funktioiden ominaisuus, jonka analyysin peruslause pukee täsmällisesti sanoiksi. Funktion integroituvuus puolestaan voidaan määritellä juuri Riemannin summien avulla.

Palautusta lähetetään...