\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Integraalifunktion määrittäminen
Tässä luvussa esitellään lyhyesti joitakin tapoja määrittää integraalifunktio käsin. Vaikka integraalifunktioita voikin määrittää nykyään näppärästi käyttäen matemaattisia ohjelmistoja, on perusteltua tutustua karkeasti ajatuksiin symbolisen laskennan taustalla. Näitä ajatuksia on karkeasti ottaen kolme:
- Integraalin määrittäminen käyttäen hyväksi tunnettujen funktioiden derivaattoja.
- Integraalin pilkkominen pienempiin osiin integroitavan funktion osien suhteen.
- Derivointikaavoista saatavat laskusäännöt.
Integraalifunktioiden taulukot
Suoraan integraalifunktion määritelmästä seuraa, että ajattelemalla integrointia derivoinnin käänteisenä operaationa saadaan selville useiden funktioiden integraalifunktiot suoraan tai yksinkertaisella manipulaatiolla. Esimerkiksi, koska tiedetään, että \(D\cos(x)=-\sin(x)\), niin \(\int \sin(x)\, dx=-\cos(x)+C\). Tällaisia integraaleja on esitelty liitetaulukossa. Lisäksi taulukosta löytyy esimerkiksi tangetin integraali, joka ei seuraa aivan suoraan minkään alkeisfunktion derivaatasta. Mikäli integraali sattuu löytymään suoraan taulukosta, niin sitä voidaan käyttää suoraan.
Huomaa, että vaikka integraalifunktio löytyykin taulukosta, on syytä huomioida väli \(I\), jolla tulos on voimassa (vertaa esimerkkiin 6.2.6). Välejä voi olla useampiakin, jolloin tulos on voimassa kullakin välillä erikseen.
Integrandin manipulointi
Usein käy niin, että sopivaa integraalia ei löydy suoraan taulukosta, vaan integraali muistuttaa jotain taulukon integraalia. Yksinkertaisimmissa tapauksissa hyvä keino integraalifunktion selvittämiseksi on ”arvata” tai selvittää kokeilemalla, minkä funktion derivaatta integroitava funktio on. Tämä arvausmetodi kuitenkin usein vaatii integraalien tuntemusta ja voi olla helpompaa paloitella integraali pienempiin osiin.
Usein integraali voidaan palauttaa yksinkertaisiksi integraaleiksi kirjoittamalla integrandi sopivasti ja käyttämällä hyväksi integraalin perusominaisuuksia. Tästä esimerkkinä on trigonometristen funktioiden käyttö integrandin yhteydessä tai rationaalifunktion integroiminen. Tätä demonstroidaan seuraavassa esimerkissä.
Esimerkki 6.3.1
Lasketaan integraali \(\displaystyle \int \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)\, \d x\).
Piilota/näytä ratkaisu
Kaavan \(\sin^2\theta = \frac{1}{2}(1 - \cos(2\theta))\) nojalla voidaan kirjoittaa
\[\int \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)\, \d x = \int \frac{1}{2}\left(1-\cos x\right)\, \d x= \int \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos x\, \d x\]
Edelleen integraalin ominaisuuksien nojalla integraali voidaan kirjoittaa muodossa
\[\int \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)\, \d x = \int \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos x\, \d x= \int \frac{1}{2}\, \d x-\frac{1}{2}\int \cos x\, \d x.\]
Koska tunnemme vakion ja kosinin integraalit, niin saamme lasketuksi halutun integraalin
\[\int \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)\, \d x = \frac{x}{2}-\frac{1}{2}\sin x+C.\]
Derivointisäännöistä saadut kaavat
Joidenkin funktioiden hiukan perusintegraaleja monimutkaisemmat lausekkeet sisältävät viitteitä siitä, että ne on voitu saada aikaan jotain derivaatan sääntöä käyttämällä tai voidaan helposti muokata muotoon, joka olisi ketjusäännön tulos. Esimerkkeinä mainittakoon ketjusäännöstä saatava integroimiskaava sekä tulon derivaatan kaavasta saatava osittaisintegrointikaava. Tällä kurssilla tutustutaan kuitenkin tarkemmin vain ketjusäännöstä saatavan kaavan käyttöön. Osittaisintegrointiin ja integrointiin sijoituksen avulla tutustutaan tarkemmin kurssilla Differentiaali- ja integraalilaskenta.
Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkinä sellaisten funktioiden integroimista, jotka saadaan derivoimalla yhdistettyä funktiota ketjusäännön avulla.
Olkoon \(F\) funktion \(f\) integraalifunktio. Yhdistetyn funktion derivointisäännöstä
\[DF(g(x))=f(g(x))g'(x)\]
saadaan integrointikaava
(1)\[\int f(g(x))g'(x)\,\d x=F(g(x))+C.\]
Erityisesti
(2)\[\begin{split}\begin{aligned}
&\int g'(x)e^{g(x)}\,\d x=e^{g(x)}+C,\\
&\int g'(x)(g(x))^a\,\d x=\frac{1}{a+1}(g(x))^{a+1}+C&&(a\ne-1),\\
&\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,\d x=\ln|g(x)|+C&&(g(x)\ne0).
\end{aligned}\end{split}\]
Esimerkki 6.3.2
Kaavan (2)
ensimmäisen rivin mukaan
\[\int x^2e^{4x^3}\,\d x=\frac{1}{12}\int12x^2e^{4x^3}\,\d x=\frac{1}{12}e^{4x^3}+C,\]
keskimmäisen rivin mukaan
\[\int(9x-7)^4\,\d x=\frac19\int9(9x-7)^4\,\d x=\frac19\cdot\frac15(9x-7)^5+C=\frac{1}{45}(9x-7)^5+C,\]
alimman rivin mukaan
\[\int\tan x\,\d x=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,\d x=-\int\frac{-\sin x}{\cos x}\,\d x=-\ln\left|\cos x\right|+C.\]
Näissä tulkitaan hankalan integraalin olevan muotoa \(\int f(g(x))g'(x)\,\d x\).
Tällainen yhdistetyn funktion derivointiin perustuva integroimismenettely on onnistuessaan nopea ja tehokas, mutta vaatii kekseliäisyyttä tai kokeiluja integroitavan funktion saattamiseksi muotoon \(f(g(x))g'(x)\).
Rationaalifunktion integroiminen
Luonnollisesti edellä kuvattuja tekniikoita joutuu usein yhdistämään. Demonstroidaan tätä rationaalifunktioiden tapauksessa. Jokainen rationaalifunktio
\[\frac{p(x)}{q(x)},\]
missä \(p\) ja \(q\) ovat reaalikertoimisia polynomeja, voidaan aina integroida alkeisfunktioita käyttäen palauttamalla se tiettyihin yksinkertaisiin integraaleihin. Tällä kurssilla käsitellään kuitenkin vain paria yksinkertaista tapausta.
Jos \(p\):n aste on suurempi tai yhtäsuuri kuin \(q\):n aste, niin jakolaskulla saadaan
\[\frac{p(x)}{q(x)} = r(x) + \frac{s(x)}{q(x)},\]
missä \(r\) ja \(s\) ovat polynomeja ja \(s\):n aste on pienempi kuin \(q\):n aste. Polynomi \(r\) osataan helposti integroida, joten riittää osata integroida \(p(x)/q(x)\) tapauksessa, jossa \(p\):n aste on pienempi kuin \(q\):n aste. Tämä onnistuu osittaismurtokehitelmän avulla ja yleisesti tätä käsitellään kurssilla Differentiaali- ja integraalilaskenta. Tällä kurssilla tarvitaan vain edellä esiteltyä kaavaa
\[\int \frac{g'(x)}{g(x)}\, \d x = \ln|g(x)| + C \quad (g(x) \ne 0)\]
ja perusintegrointien listasta löytyviä kaavoja
\[\begin{split}\begin{aligned}
&\int \frac{1}{1+x^2}\, \d x = \arctan x + C, \\
&\int \frac{1}{1-x^2}\, \d x = \artanh x + C.
\end{aligned}\end{split}\]
Esimerkki 6.3.3
Lasketaan integraali \(\displaystyle \int \frac{3x^3-2x^2+5}{x^2-1}\, \d x\).
Piilota/näytä ratkaisu
Nyt osoittajan \(3x^3-2x^2+5\) aste on suurempi kuin nimittäjän \(x^2-1\), joten jaetaan ensin osoittaja nimittäjällä. Tämä onnistuu esimerkin 3.3.6 mukaisesti jakokulmassa. Tällöin saadaan
\[\frac{3x^3-2x^2+5}{x^2-1}=\frac{(x^2-1)(3x-2)+3x+3}{x^2-1}=3x-2+\frac{3x+3}{x^2-1}.\]
Täten integraalin perusominaisuuksien ja integraalien liitetaulukon mukaisesti
\[\begin{split}\begin{aligned}
\int \frac{3x^3-2x^2+5}{x^2-1}\, \d x & = \int 3x-2+\frac{3x+3}{x^2-1}\, \d x\\
& = \int 3x-2+\frac{3x}{x^2-1}-\frac{3}{1-x^2}\, \d x\\
& = 3\int x\, \d x-\int 2\, \d x+\frac{3}{2}\int\frac{2x}{x^2-1}\, \d x-3\int\frac{1}{1-x^2}\, \d x\\
& = \frac{3}{2} x^2-2x+\frac{3}{2}\ln(|x^2-1|)-3\artanh x + C.
\end{aligned}\end{split}\]
Integraalien liitetaulukon mukaisesti kaikki yksittäiset integraalifunktiot ovat olemassa vain, jos \(-1<x<1\). Täten löydetty integraalifunktio on voimassa vain kyseisellä välillä.