- 5N00EG74
- 1. Raja-arvo ja jatkuvuus
- 1.3 Raja-arvon laskeminen, erityisesti rationaalifunktioille
Raja-arvon laskeminen, erityisesti rationaalifunktioille¶
Seuraavat ohjeet pätevät aina kun raja-arvo pitäisi laskea funktion lausekkeesta:
- Yritä aina ensin suoraa sijoitusta!
- Vain, jos sijoitus tuottaa epämääräisen muodon 00, ∞∞, ∞−∞, 0⋅∞ tai a0, tarvitaan lisätarkasteluja
Esimerkki 1.3.1
limx→2√4x4−4=√4⋅24−4=√60=√4⋅15=2√15.
Rationaalifunktio on kahden polynomin osamäärä p(x)q(x). Jos laskettavana on raja-arvo limx→x0p(x)q(x), ja suora sijoitus tuottaa muodon 00, niin silloin x0 on molempien polynomien juuri.
Ohje 1.3.2 (Rationaalifunktion raja-arvo supistamalla)
- Jaa sekä osoittaja että nimittäjä tekijöihin.
- Supista yhteiset tekijät.
- Laske jäljelle jääneen lausekkeen arvo sijoittamalla x=x0.
Esimerkki 1.3.3
Lasketaan
Kuitenkin
Jälkimmäisessä tarvitaan siis osoittajan ja nimittäjän tekijöihin jako, sillä 4 on molempien nollakohta:
Osoittajan tekijöihinjako onnistui ottamalla yhteinen tekijä, mutta nimittäjän tekijät saadaan selville ratkaisemalla sen nollakohdat. Raja-arvo saadaan seuraavasti:
Ohje 1.3.4 (Keinoja polynomien tekijöihinjakoon)
Yhteinen tekijä
Binomikaavat sekä summan ja erotuksen tulo
Polynomin nollakohdat (CAS-laskimessa komento factor): Jos toisen asteen yhtälön ax2+bx+c=0 reaalijuuret ovat x1 ja x2, niin
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)
Esimerkki 1.3.5
Suoraan sijoittamalla
Tekijöihinjako tuottaa seuraavan osamäärän:
Sijoittamalla tähän 0, saadaan raja-arvoksi