Processing math: 100%
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Raja-arvon laskeminen, erityisesti rationaalifunktioille

Seuraavat ohjeet pätevät aina kun raja-arvo pitäisi laskea funktion lausekkeesta:

  • Yritä aina ensin suoraa sijoitusta!
  • Vain, jos sijoitus tuottaa epämääräisen muodon 00, , , 0 tai a0, tarvitaan lisätarkasteluja

Esimerkki 1.3.1

limx24x44=4244=60=415=215.

Rationaalifunktio on kahden polynomin osamäärä p(x)q(x). Jos laskettavana on raja-arvo limxx0p(x)q(x), ja suora sijoitus tuottaa muodon 00, niin silloin x0 on molempien polynomien juuri.

Ohje 1.3.2 (Rationaalifunktion raja-arvo supistamalla)

  1. Jaa sekä osoittaja että nimittäjä tekijöihin.
  2. Supista yhteiset tekijät.
  3. Laske jäljelle jääneen lausekkeen arvo sijoittamalla x=x0.

Esimerkki 1.3.3

Lasketaan

limx1x25x+4x24x=1251+41241=03=0vastaus suoraan sijoittamalla.

Kuitenkin

limx4x25x+4x24x=00epämääräinen muoto.

Jälkimmäisessä tarvitaan siis osoittajan ja nimittäjän tekijöihin jako, sillä 4 on molempien nollakohta:

x24x=x(x4)jax25x+4=(x4)(x1).

Osoittajan tekijöihinjako onnistui ottamalla yhteinen tekijä, mutta nimittäjän tekijät saadaan selville ratkaisemalla sen nollakohdat. Raja-arvo saadaan seuraavasti:

limx4x25x+4x24x=limx4(x4)(x1)x(x4)=limx4x1x=414=34.

Ohje 1.3.4 (Keinoja polynomien tekijöihinjakoon)

  • Yhteinen tekijä

  • Binomikaavat sekä summan ja erotuksen tulo

  • Polynomin nollakohdat (CAS-laskimessa komento factor): Jos toisen asteen yhtälön ax2+bx+c=0 reaalijuuret ovat x1 ja x2, niin

    ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)

Esimerkki 1.3.5

Suoraan sijoittamalla

limx0x3+7x2x32x24x=00epämääräinen muoto.

Tekijöihinjako tuottaa seuraavan osamäärän:

x3+7x2x32x24x=x(x2+7)2x(x2)(x+1)=x2+72(x2)(x+1).

Sijoittamalla tähän 0, saadaan raja-arvoksi

limx0x3+7x2x32x24x=02+72(02)(0+1)=74=74.
Palautusta lähetetään...