\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Toispuoliset raja-arvot
Palataan aikaisemman kuvan esimerkkiin, jossa funktiota \(f(x)\) ei ole määritelty pisteessä \(x=2\). Jos pistettä lähestytään vasemmalta puolelta, niin funktion arvot lähestyvät arvoa \(\num[output-decimal-marker={,}]{2.5}\), kun taas oikealta lähestyttäessä lähestytään arvoa \(3\). Määritellään vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot eli vasemmanpuoleinen raja-arvo
\[\lim_{x\rightarrow 2-}f(x)=\num{2{,}5} \qquad\text{ja}\qquad \lim_{x\rightarrow 2+}f(x)=3.\]
Funktiolla ei kuitenkaan tässä esimerkissä ole varsinaista raja-arvoa pisteessä \(x=2\), sillä toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret.
Yleisesti on voimassa seuraava tulos.
Lause 1.2.1
Jos funktiolla on vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot kohdassa \(x_0\) ja ne ovat yhtä suuret, niin myös varsinainen raja-arvo on olemassa. Vastaavasti jos varsinainen raja-arvo on olemassa, niin funktiolla on yhtä suuret vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot kohdassa \(x_0\). Toisin sanoen
\[\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0+}f(x)=a \quad \Leftrightarrow \quad
\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a.\]
Esimerkki 1.2.2
Vasemmanpuoleisen kuvan perusteella voidaan päätellä
\[\lim_{x\rightarrow 3-}h(x)=-2, \qquad \lim_{x\rightarrow 3+}h(x)=0, \qquad \lim_{x\rightarrow 3}h(x) \text{ ei voi määritellä.}\]
Oikeanpuoleisesta kuvasta taas päätellään funktion \(k\) raja-arvot
\[\lim_{x\rightarrow 1-}k(x)=4, \qquad \lim_{x\rightarrow 1+}k(x)=1, \qquad \lim_{x\rightarrow 1}k(x) \text{ ei voi määritellä.}\]
Huomautus 1.2.3
Määritettäessä raja-arvoa pisteessä \(x=x_0\) ei ole väliä sillä, onko funktio määritelty pisteessä \(x=x_0\) – vain funktion käyttäytyminen pisteen läheisyydessä merkitsee!
Huomautus 1.2.4
Jos funktion \(f\) kuvaaja on jatkuva pisteessä \(x=x_0\), sen raja-arvo kyseisessä pisteessä on sama kuin sen arvo \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\). Esimerkiksi edellisessä esimerkissä \(\lim\limits_{x\rightarrow -1}k(x)=0\).
Huomautus 1.2.5
Kaikilla funktioilla ei ole edes toispuoleista raja-arvoa tietyssä kohdassa. Esimerkki tällaisesta funktiosta on \(\sin\frac{1}{x}\) kohdassa \(x=0\). Funktiolla ei ole oikean- eikä vasemmanpuolista raja-arvoa nollassa. Asia selviää kuvaajasta. Yritä piirtää kuvaaja myös omalla laskimellasi.
Raja-arvo numeerisesti
Esimerkki 1.2.6
Tarkastellaan funktiota
\[f(x)=\frac{x-\sqrt{3x}}{x-3}.\]
Funktio ei ole määritelty kohdassa \(x=3\), sillä sijoittamalla \(x\):n paikalle arvo \(3\), saadaan
\[f(3)= \frac{3-\sqrt{9}}{3-3}=\frac{0}{0}.\]
Nollalla jakaminen ei ole sallittua, mutta kun lisäksi osamäärän osoittajakin on nolla, lausekkeen arvo on epämääräinen.
Tutkitaan funktion arvoja pisteen \(x=3\) lähellä laskimen avulla. Annetaan \(x\):lle sekä arvoa \(3\) pienempiä että suurempia arvoja:
\[\begin{split}\begin{array}{l|c}
x & f(x) \\\hline
\num{3{,}1} & \num{0{,}504098}\ldots \\
\num{3{,}01} & \num{0{,}500416}\ldots \\
\num{3{,}001} & \num{0.500042}\ldots \\
\vdots & \vdots \\
\num{2{,}999} & \num{0{,}499958}\ldots \\
\num{2{,}99} & \num{0{,}499582}\ldots \\
\num{2{,}9} & \num{0{,}495762}\ldots \\
\end{array}\end{split}\]
Tulosten perusteella funktion arvo näyttäisi lähestyvän arvoa \(\num{0{,}5}\), kun \(x\) lähestyy arvoa \(3\). Limes-merkinnällä:
\[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-\sqrt{3x}}{x-3}=\num{0{,}5}.\]
Esimerkki 1.2.7
Tarkastellaan samalla tavoin funktiota
\[g(x)=\frac{\sin(x)}{x}.\]
kohdassa \(x=0\), jossa saadaan epämääräinen \(\frac{0}{0}\) muoto.
Annetaan \(x\):lle arvoja nollan molemmin puolin. Laskimessa on muistettava käyttää radiaaneja:
\[\begin{split}\begin{array}{l|c}
x & g(x) \\\hline
\num{0{,}1} & \num{0{,}998334}\ldots \\
\num{0{,}01} & \num{0{,}999983}\ldots \\
\num{0{,}001} & \num{0{,}999999}\ldots \\
\vdots & \vdots \\
\num{-0{,}001} & \num{0{,}999999}\ldots \\
\num{-0{,}01} & \num{0{,}999983}\ldots \\
\num{-0{,}1} & \num{0{,}998334}\ldots \\
\end{array}\end{split}\]
Taulukon tulosten perusteella päätellään, että
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1.\)
Raja-arvo graafisesti
Piirretään edellisen esimerkin funktion kuvaaja välillä \([-1, 1]\).
Kuvaajasta huomataan sama asia kuin numeerisesti laskemalla: nollan molemmilla puolilla funktion arvo lähestyy arvoa \(1\). Itse asiassa kuvaajan piirrossa ei ole mitään ongelmaa, ellei piirtämisessä käytetty ohjelma satu laskemaan funktion arvoa juuri pisteessä \(x=0\).
