Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Tämä kurssi on jo päättynyt.
\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}

Raja-arvon käsite

Funktiolla voi olla sellaisia kohtia, joissa sen arvoa ei voida määrittää suoraan. Jos funktio on annettu kuvaajan avulla, sen kuvaaja voi katketa tai olla määrittelemätön pisteessä x_0. Alla olevassa esimerkissä ongelmallinen piste on x_0=2.

../_images/ulla_epajatkuva.svg

Tällainen tilanne on myös silloin, kun funktion lauseketta ei voi laskea pisteessä x=x_0. Esimerkiksi seuraavan funktion arvoa ei voi suoraan laskea pisteessä x=-2:

h(x)=\frac{x+2}{4-x^2}.

Sekä osoittajasta että nimittäjästä tulee 0 pisteessä x=-2, eikä osamäärän \frac{0}{0} arvoa voi määritellä.

Molemmissa tapauksissa voidaan kuitenkin tarkastella funktion käyttäytymistä pisteen x_0 lähellä. Tutkitaan funktion h(x)=\frac{x+2}{4-x^2} arvoja pisteen x=-2 lähellä laskimen avulla. Annetaan muuttujalle x sekä arvoa -2 pienempiä että suurempia arvoja:

\begin{split}\begin{array}{l|c} x & h(x) \\\hline \num{-1{,}9} & \num{0{,}256410}\ldots \\ \num{-1{,}99} & \num{0{,}250627}\ldots \\ \num{-1{,}999} & \num{0{,}250063}\ldots \\ \vdots & \vdots \\ \num{-2{,}001} & \num{0{,}249938}\ldots \\ \num{-2{,}01} & \num{0{,}249377}\ldots \\ \num{-2{,}1} & \num{0{,}243902}\ldots \\ \end{array}\end{split}

Tulosten perusteella funktion arvot näyttäisivät lähestyvän lukua \num{0{,}25}, kun x lähestyy arvoa -2.

Toisaalta, jos piirretään funktion h(x) kuvaaja, niin sama asia voidaan nähdä myös kuvaajasta pisteen x=-2 lähellä: funktion arvot lähestyvät arvoa \num{0,25} riippumatta siitä lähestytäänkö pistettä x=-2 oikealta vai vasemmalta.

../_images/ulla_alkuesim.svg

Koska yleisestikin funktion arvoja voidaan tutkia pisteen x=x_0 molemmilla puolilla, sovitaan merkinnät:

  • vasemmalta puolelta lähestyttäessä (x< x_0) merkitään x\rightarrow x_0-
  • oikealta puolelta lähestyttäessä (x> x_0) merkitään x\rightarrow x_0+
  • merkintä x\rightarrow x_0 eli ”x lähestyy x_0:a” pitää sisällään molemmat edelliset

Raja-arvon ”määritelmä”

Annetaan seuraavaksi intuitiivinen määritelmä raja-arvolle.

Määritelmä 1.1.1

Jos funktion f(x) arvo lähestyy samaa arvoa a lähestyttäessä pistettä x_0 sekä oikealta että vasemmalta, niin sanotaan että funktiolla on raja-arvo a kohdassa x_0. Tätä merkitään

\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a.

Merkintä ”lim” tulee latinan sanasta limes, joka tarkoittaa rajaa. Merkinnän voi lukea ”f lähestyy a:ta, kun x lähestyy x_0:a” tai ”lim x lähestyy x_0:a f on a”.

Edellä numeerisesti ja graafisesti käsitellyn esimerkin johtopäätöstä voidaan siis merkitä

\lim_{x\rightarrow -2}h(x)=\num{0{,}25}

tai käyttämällä funktion lauseketta

\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x+2}{4-x^2}=\num{0{,}25}.

Mitä ”lähestyminen” oikeastaan tarkoittaa? Sitä voidaan selvästi tarkastella numeerisesti laskemalla funktion arvoja ongelmapisteen lähellä. Toisaalta jos funktion kuvaaja tunnetaan (eikä lauseketta), niin kuvaajasta tarkastellaan miten funktio käyttäytyy ongelmakohdan lähellä. On erityisen tärkeää muistaa tarkastella funktion arvoja molemmilla puolilla tuota kohtaa. Kolmas tapa on yrittää selvittää raja-arvoa algebrallisin keinoin tarkastelemalla suoraan funktion lauseketta.

Palautusta lähetetään...