\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Raja-arvon käsite
Funktiolla voi olla sellaisia kohtia, joissa sen arvoa ei voida määrittää suoraan. Jos funktio on annettu kuvaajan avulla, sen kuvaaja voi katketa tai olla määrittelemätön pisteessä \(x_0\). Alla olevassa esimerkissä ongelmallinen piste on \(x_0=2\).
Tällainen tilanne on myös silloin, kun funktion lauseketta ei voi laskea pisteessä \(x=x_0\). Esimerkiksi seuraavan funktion arvoa ei voi suoraan laskea pisteessä \(x=-2\):
\[h(x)=\frac{x+2}{4-x^2}.\]
Sekä osoittajasta että nimittäjästä tulee \(0\) pisteessä \(x=-2\), eikä osamäärän \(\frac{0}{0}\) arvoa voi määritellä.
Molemmissa tapauksissa voidaan kuitenkin tarkastella funktion käyttäytymistä pisteen \(x_0\) lähellä. Tutkitaan funktion \(h(x)=\frac{x+2}{4-x^2}\) arvoja pisteen \(x=-2\) lähellä laskimen avulla. Annetaan muuttujalle \(x\) sekä arvoa \(-2\) pienempiä että suurempia arvoja:
\[\begin{split}\begin{array}{l|c}
x & h(x) \\\hline
\num{-1{,}9} & \num{0{,}256410}\ldots \\
\num{-1{,}99} & \num{0{,}250627}\ldots \\
\num{-1{,}999} & \num{0{,}250063}\ldots \\
\vdots & \vdots \\
\num{-2{,}001} & \num{0{,}249938}\ldots \\
\num{-2{,}01} & \num{0{,}249377}\ldots \\
\num{-2{,}1} & \num{0{,}243902}\ldots \\
\end{array}\end{split}\]
Tulosten perusteella funktion arvot näyttäisivät lähestyvän lukua \(\num{0{,}25}\), kun \(x\) lähestyy arvoa \(-2\).
Toisaalta, jos piirretään funktion \(h(x)\) kuvaaja, niin sama asia voidaan nähdä myös kuvaajasta pisteen \(x=-2\) lähellä: funktion arvot lähestyvät arvoa \(\num{0,25}\) riippumatta siitä lähestytäänkö pistettä \(x=-2\) oikealta vai vasemmalta.
Koska yleisestikin funktion arvoja voidaan tutkia pisteen \(x=x_0\) molemmilla puolilla, sovitaan merkinnät:
- vasemmalta puolelta lähestyttäessä (\(x< x_0\)) merkitään \(x\rightarrow x_0-\)
- oikealta puolelta lähestyttäessä (\(x> x_0\)) merkitään \(x\rightarrow x_0+\)
- merkintä \(x\rightarrow x_0\) eli ”\(x\) lähestyy \(x_0\):a” pitää sisällään molemmat edelliset
Raja-arvon ”määritelmä”
Annetaan seuraavaksi intuitiivinen määritelmä raja-arvolle.
Edellä numeerisesti ja graafisesti käsitellyn esimerkin johtopäätöstä voidaan siis merkitä
\[\lim_{x\rightarrow -2}h(x)=\num{0{,}25}\]
tai käyttämällä funktion lauseketta
\[\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x+2}{4-x^2}=\num{0{,}25}.\]
Mitä ”lähestyminen” oikeastaan tarkoittaa? Sitä voidaan selvästi tarkastella numeerisesti laskemalla funktion arvoja ongelmapisteen lähellä. Toisaalta jos funktion kuvaaja tunnetaan (eikä lauseketta), niin kuvaajasta tarkastellaan miten funktio käyttäytyy ongelmakohdan lähellä. On erityisen tärkeää muistaa tarkastella funktion arvoja molemmilla puolilla tuota kohtaa. Kolmas tapa on yrittää selvittää raja-arvoa algebrallisin keinoin tarkastelemalla suoraan funktion lauseketta.
