$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Toispuoliset raja-arvot

Palataan aikaisemman kuvan esimerkkiin, jossa funktiota $f(x)$ ei ole määritelty pisteessä $x=2$. Jos pistettä lähestytään vasemmalta puolelta, niin funktion arvot lähestyvät arvoa $\num[output-decimal-marker={,}]{2.5}$, kun taas oikealta lähestyttäessä lähestytään arvoa $3$. Määritellään vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot eli vasemmanpuoleinen raja-arvo

$$\lim_{x\rightarrow 2-}f(x)=\num{2{,}5} \qquad\text{ja}\qquad \lim_{x\rightarrow 2+}f(x)=3.$$

Funktiolla ei kuitenkaan tässä esimerkissä ole varsinaista raja-arvoa pisteessä $x=2$, sillä toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret.

Yleisesti on voimassa seuraava tulos.

Lause 1.2.1

Jos funktiolla on vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot kohdassa $x_0$ ja ne ovat yhtä suuret, niin myös varsinainen raja-arvo on olemassa. Vastaavasti jos varsinainen raja-arvo on olemassa, niin funktiolla on yhtä suuret vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot kohdassa $x_0$. Toisin sanoen

$$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0+}f(x)=a \quad \Leftrightarrow \quad \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a.$$

Esimerkki 1.2.2

Vasemmanpuoleisen kuvan perusteella voidaan päätellä

$$\lim_{x\rightarrow 3-}h(x)=-2, \qquad \lim_{x\rightarrow 3+}h(x)=0, \qquad \lim_{x\rightarrow 3}h(x) \text{ ei voi määritellä.}$$

Oikeanpuoleisesta kuvasta taas päätellään funktion $k$ raja-arvot

$$\lim_{x\rightarrow 1-}k(x)=4, \qquad \lim_{x\rightarrow 1+}k(x)=1, \qquad \lim_{x\rightarrow 1}k(x) \text{ ei voi määritellä.}$$

Huomautus 1.2.3

Määritettäessä raja-arvoa pisteessä $x=x_0$ ei ole väliä sillä, onko funktio määritelty pisteessä $x=x_0$ – vain funktion käyttäytyminen pisteen läheisyydessä merkitsee!

Huomautus 1.2.4

Jos funktion $f$ kuvaaja on jatkuva pisteessä $x=x_0$, sen raja-arvo kyseisessä pisteessä on sama kuin sen arvo $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$. Esimerkiksi edellisessä esimerkissä $\lim\limits_{x\rightarrow -1}k(x)=0$.

Huomautus 1.2.5

Kaikilla funktioilla ei ole edes toispuoleista raja-arvoa tietyssä kohdassa. Esimerkki tällaisesta funktiosta on $\sin\frac{1}{x}$ kohdassa $x=0$. Funktiolla ei ole oikean- eikä vasemmanpuolista raja-arvoa nollassa. Asia selviää kuvaajasta. Yritä piirtää kuvaaja myös omalla laskimellasi.

Raja-arvo numeerisesti

Esimerkki 1.2.6

Tarkastellaan funktiota

$$f(x)=\frac{x-\sqrt{3x}}{x-3}.$$

Funktio ei ole määritelty kohdassa $x=3$, sillä sijoittamalla $x$:n paikalle arvo $3$, saadaan

$$f(3)= \frac{3-\sqrt{9}}{3-3}=\frac{0}{0}.$$

Nollalla jakaminen ei ole sallittua, mutta kun lisäksi osamäärän osoittajakin on nolla, lausekkeen arvo on epämääräinen. Tutkitaan funktion arvoja pisteen $x=3$ lähellä laskimen avulla. Annetaan $x$:lle sekä arvoa $3$ pienempiä että suurempia arvoja:

$$\begin{split}\begin{array}{l|c} x & f(x) \\\hline \num{3{,}1} & \num{0{,}504098}\ldots \\ \num{3{,}01} & \num{0{,}500416}\ldots \\ \num{3{,}001} & \num{0.500042}\ldots \\ \vdots & \vdots \\ \num{2{,}999} & \num{0{,}499958}\ldots \\ \num{2{,}99} & \num{0{,}499582}\ldots \\ \num{2{,}9} & \num{0{,}495762}\ldots \\ \end{array}\end{split}$$

Tulosten perusteella funktion arvo näyttäisi lähestyvän arvoa $\num{0{,}5}$, kun $x$ lähestyy arvoa $3$. Limes-merkinnällä:

$$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-\sqrt{3x}}{x-3}=\num{0{,}5}.$$

Esimerkki 1.2.7

Tarkastellaan samalla tavoin funktiota

$$g(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$

kohdassa $x=0$, jossa saadaan epämääräinen $\frac{0}{0}$ muoto. Annetaan $x$:lle arvoja nollan molemmin puolin. Laskimessa on muistettava käyttää radiaaneja:

$$\begin{split}\begin{array}{l|c} x & g(x) \\\hline \num{0{,}1} & \num{0{,}998334}\ldots \\ \num{0{,}01} & \num{0{,}999983}\ldots \\ \num{0{,}001} & \num{0{,}999999}\ldots \\ \vdots & \vdots \\ \num{-0{,}001} & \num{0{,}999999}\ldots \\ \num{-0{,}01} & \num{0{,}999983}\ldots \\ \num{-0{,}1} & \num{0{,}998334}\ldots \\ \end{array}\end{split}$$

Taulukon tulosten perusteella päätellään, että $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1.$

Raja-arvo graafisesti

Piirretään edellisen esimerkin funktion kuvaaja välillä $[-1, 1]$.

Kuvaajasta huomataan sama asia kuin numeerisesti laskemalla: nollan molemmilla puolilla funktion arvo lähestyy arvoa $1$. Itse asiassa kuvaajan piirrossa ei ole mitään ongelmaa, ellei piirtämisessä käytetty ohjelma satu laskemaan funktion arvoa juuri pisteessä $x=0$.

Palautusta lähetetään...