\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Kokonaisdifferentiaali

Muutosnopeuden ja differentiaalin käsite voidaan yleistää myös useamman muuttujan funktioille. Oletetaan, että funktio \(f\) riippuu muuttujista \(x\) ja \(y\). Tällöin muuttujan \(x\) muutoksen vaikutusta tutkitaan derivoimalla funktio muuttujan \(x\) suhteen ja muuttujan \(y\) muutoksen vaikutusta derivaatalla muuttujan \(y\) suhteen.

Kun usean muuttujan funktio derivoidaan jokaisen muuttujan suhteen, niin kaikkien muutosnopeuksien vaikutus voidaan koota seuraavasti. Funktion \(f( x,y )\) arvojen muuttamista, kun \(x\) muuttuu arvosta \(x_0\) arvoon \(x_0 + \Delta x\) ja vastaavasti \(y\) muuttuu arvosta \(y_0\) arvoon \(y_0 + \Delta y\) voidaan arvioida lausekkeella

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta f &= f( x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y ) - f( x_0, y_0 ) \\ &\approx \frac{\d}{\d x}f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta x + \frac{\d}{\d y} f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta y .\end{aligned}\end{split}\]

Funktion \(f\) kokonaisdifferentiaali on lauseke

(1)\[\d f = \frac{\d}{\d x} f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta x + \frac{\d}{\d y}f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta y.\]

Tulos on yleistettävissä myös useamman muuttujan funktiolle.

Esimerkki 3.5.1

Arvioi kokonaisdifferentiaalin (1) avulla, kuinka paljon suoran ympyrälieriön tilavuuden \(V = \pi r^2h\) arvo muuttuu, kun \(r\) kasvaa arvosta \(\SI{30{,}0}{\centi\meter}\) arvoon \(\SI{30{,}5}{\centi\meter}\) ja \(h\) pienenee arvosta \(\SI{10{,}0}{\centi\meter}\) arvoon \(\SI{9{,}9}{\centi\meter}\). Lisäksi vertaa tulosta tarkkaan arvoon.

Piilota/näytä ratkaisu

Merkitään alkuperäisiä arvoja kokonaisdifferentiaalin kaavaa mukaillen.

\[r_0 = \SI{30{,}0}{\centi\meter}\qquad h_0 = \SI{10{,}0}{\centi\meter}.\]

Muutoksiksi saadaan suoraan laskemalla

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta r &= \SI{30{,}5}{\centi\meter} - \SI{30{,}0}{\centi\meter} = \SI{0{,}5}{\centi\meter}, \\ \Delta h &= \SI{9{,}9}{\centi\meter} - \SI{10{,}0}{\centi\meter} = \SI{-0{,}1}{\centi\meter} .\end{aligned}\end{split}\]

Lasketaan tilavuuden derivaatat kummankin suureen suhteen

\[\frac{\d V}{\d r} = \pi \cdot 2r \cdot h = 2\pi rh, \qquad \frac{\d V}{\d h} = \pi r^2 \cdot 1 = \pi r^2.\]

Tällöin kokonaisdifferentiaalilla differentiaaliseksi muutokseksi saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \d V &= \frac{\d V}{\d r}( r_0, h_0 ) \cdot \Delta r + \frac{\d V}{\d h}( r_0, h_0 ) \cdot \Delta h \\ &= 2 \pi r_0 h_0 \cdot \Delta r + \pi r_0^2\cdot 1 \cdot \Delta h_0\\ &= 2\cdot \pi \cdot \SI{30{,}0}{\centi\meter}\cdot \SI{10{,}0}{\centi\meter} \cdot \SI{0{,}5}{\centi\meter} + \pi \cdot ( \SI{30{,}0}{\centi\meter} )^2 \cdot ( \SI{-0{,}1}{\centi\meter} ) \\ &= \SI[input-protect-tokens=\dots]{1884{,}955}{\centi\meter\squared} \cdot \SI{0{,}5}{\centi\meter} + \SI[input-protect-tokens=\dots]{2827{,}433\dots}{\centi\meter\squared} \cdot (\SI{-0{,}1}{\centi\meter}) \\ &= \SI[input-protect-tokens=\dots]{942{,}47\dots}{\centi\meter\cubed} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{282{,}74\dots}{\centi\meter\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{659{,}734\dots}{\centi\meter\cubed} .\end{aligned}\end{split}\]

Lasketaan vielä lopuksi tarkka muutos vertailua varten

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta V &= \pi \cdot ( \SI{30{,}5}{\centi\meter} )^2 \cdot \SI{9{,}9}{\centi\meter} - \pi \cdot ( \SI{30{,}0}{\centi\meter} )^{2} \cdot \SI{10{,}0}{\centi\meter} \\ &= \SI[input-protect-tokens=\dots]{28932{,}41\dots}{\centi\meter\cubed} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{28274{,}33\dots}{\centi\meter\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{658{,}085\dots}{\centi\meter\cubed}. \end{aligned}\end{split}\]

Siis \(\Delta V \approx \d V\).

Palautusta lähetetään...