$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Kokonaisdifferentiaali

Muutosnopeuden ja differentiaalin käsite voidaan yleistää myös useamman muuttujan funktioille. Oletetaan, että funktio $f$ riippuu muuttujista $x$ ja $y$. Tällöin muuttujan $x$ muutoksen vaikutusta tutkitaan derivoimalla funktio muuttujan $x$ suhteen ja muuttujan $y$ muutoksen vaikutusta derivaatalla muuttujan $y$ suhteen.

Kun usean muuttujan funktio derivoidaan jokaisen muuttujan suhteen, niin kaikkien muutosnopeuksien vaikutus voidaan koota seuraavasti. Funktion $f( x,y )$ arvojen muuttamista, kun $x$ muuttuu arvosta $x_0$ arvoon $x_0 + \Delta x$ ja vastaavasti $y$ muuttuu arvosta $y_0$ arvoon $y_0 + \Delta y$ voidaan arvioida lausekkeella

$$\begin{split}\begin{aligned} \Delta f &= f( x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y ) - f( x_0, y_0 ) \\ &\approx \frac{\d}{\d x}f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta x + \frac{\d}{\d y} f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta y .\end{aligned}\end{split}$$

Funktion $f$ kokonaisdifferentiaali on lauseke

(1) $$\d f = \frac{\d}{\d x} f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta x + \frac{\d}{\d y}f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta y.$$

Tulos on yleistettävissä myös useamman muuttujan funktiolle.

Esimerkki 3.5.1

Arvioi kokonaisdifferentiaalin (1) avulla, kuinka paljon suoran ympyrälieriön tilavuuden $V = \pi r^2h$ arvo muuttuu, kun $r$ kasvaa arvosta $\SI{30{,}0}{\centi\meter}$ arvoon $\SI{30{,}5}{\centi\meter}$ ja $h$ pienenee arvosta $\SI{10{,}0}{\centi\meter}$ arvoon $\SI{9{,}9}{\centi\meter}$. Lisäksi vertaa tulosta tarkkaan arvoon.

Piilota/näytä ratkaisu

Merkitään alkuperäisiä arvoja kokonaisdifferentiaalin kaavaa mukaillen.

$$r_0 = \SI{30{,}0}{\centi\meter}\qquad h_0 = \SI{10{,}0}{\centi\meter}.$$

Muutoksiksi saadaan suoraan laskemalla

$$\begin{split}\begin{aligned} \Delta r &= \SI{30{,}5}{\centi\meter} - \SI{30{,}0}{\centi\meter} = \SI{0{,}5}{\centi\meter}, \\ \Delta h &= \SI{9{,}9}{\centi\meter} - \SI{10{,}0}{\centi\meter} = \SI{-0{,}1}{\centi\meter} .\end{aligned}\end{split}$$

Lasketaan tilavuuden derivaatat kummankin suureen suhteen

$$\frac{\d V}{\d r} = \pi \cdot 2r \cdot h = 2\pi rh, \qquad \frac{\d V}{\d h} = \pi r^2 \cdot 1 = \pi r^2.$$

Tällöin kokonaisdifferentiaalilla differentiaaliseksi muutokseksi saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} \d V &= \frac{\d V}{\d r}( r_0, h_0 ) \cdot \Delta r + \frac{\d V}{\d h}( r_0, h_0 ) \cdot \Delta h \\ &= 2 \pi r_0 h_0 \cdot \Delta r + \pi r_0^2\cdot 1 \cdot \Delta h_0\\ &= 2\cdot \pi \cdot \SI{30{,}0}{\centi\meter}\cdot \SI{10{,}0}{\centi\meter} \cdot \SI{0{,}5}{\centi\meter} + \pi \cdot ( \SI{30{,}0}{\centi\meter} )^2 \cdot ( \SI{-0{,}1}{\centi\meter} ) \\ &= \SI[input-protect-tokens=\dots]{1884{,}955}{\centi\meter\squared} \cdot \SI{0{,}5}{\centi\meter} + \SI[input-protect-tokens=\dots]{2827{,}433\dots}{\centi\meter\squared} \cdot (\SI{-0{,}1}{\centi\meter}) \\ &= \SI[input-protect-tokens=\dots]{942{,}47\dots}{\centi\meter\cubed} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{282{,}74\dots}{\centi\meter\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{659{,}734\dots}{\centi\meter\cubed} .\end{aligned}\end{split}$$

Lasketaan vielä lopuksi tarkka muutos vertailua varten

$$\begin{split}\begin{aligned} \Delta V &= \pi \cdot ( \SI{30{,}5}{\centi\meter} )^2 \cdot \SI{9{,}9}{\centi\meter} - \pi \cdot ( \SI{30{,}0}{\centi\meter} )^{2} \cdot \SI{10{,}0}{\centi\meter} \\ &= \SI[input-protect-tokens=\dots]{28932{,}41\dots}{\centi\meter\cubed} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{28274{,}33\dots}{\centi\meter\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{658{,}085\dots}{\centi\meter\cubed}. \end{aligned}\end{split}$$

Siis $\Delta V \approx \d V$.

Palautusta lähetetään...