\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Derivaatta muutosnopeutena

Kuten aikaisemmin todettiin, funktion muutosnopeuden määrittämiseen on monta tapaa. Nyt kun derivointikaavojen säännöt tunnetaan muutosnopeus voidaan määritellä täsmällisesti mikäli derivoitava funktio tunnetaan täsmällisesti. Aloitetaan johdattelevalla esimerkillä.

Esimerkki 3.3.1

Tarkastellaan aikaisemman esimerkin 2.1.4 auton sisälämpötilan keskimääräistä ja hetkellistä muutosnopeutta, kun lämmityslaite käynnistetään talvipakkasella. Jos havaintoihin sovitetaan käyrä, niin voidaan samoja asioita tutkia symbolisesti. Jos kyseessä on sovitettu käyrä, niin myöskin symbolinen menetelmä on likimääräinen.

Olkoon eräs funktio, joka kuvaa hyvin kyseistä sisälämpötilan muutoksen käyrää \(T(t) = - 32 e^{-\num{0{,}055}t} + 21\). Laske

1. keskimääräinen muutosnopeus aikavälillä \(\SI{10}{\minute} - \SI{20}{\minute}\),
2. lämpötilan muutosnopeus hetkellä \(t = \SI{15}{\minute}\).

Piilota/näytä ratkaisu

1. Keskimääräinen muutosnopeus aikavälillä \(\SI{10}{\minute} - \SI{20}{\minute}\) on

   \[\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{T( \SI{20}{\minute} ) - T( \SI{10}{\minute} ) }{\SI{20}{\minute} - \SI{10}{\minute}} = \frac{\SI[input-protect-tokens=\dots]{10{,}34\dots}{\degreeCelsius} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{2{,}53\dots}{\degreeCelsius}}{\SI{10}{\minute}} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}781\dots}{\degreeCelsius\per\minute}.\]

2. Lämpötilan muutosnopeus hetkellä \(t = \SI{15}{\minute}\) saadaan laskemalla funktion derivaatan arvo kohdassa \(t = 15\). Derivoidaan funktio \(T(t) = -32 e^{-\num{0{,}055}t} + 21\)

   \[\frac{\d T}{\d t} = \frac{\d}{\d t} ( -32 e^{-\num{0{,}055}t} + 21 ) = (-32) \cdot (-\num{0{,}055}) \cdot e^{-\num{0{,}055}t} = \num{1{,}76}\cdot e^{-\num{0{,}055}t}.\]

   Sijoitetaan derivaatan lausekkeeseen \(t = 15\)

   \[\frac{\d T}{\d t} ( 15 ) = \num{1{,}76} \cdot e^{-\num{0{,}055}\cdot 15} = \num[input-protect-tokens=\dots]{0{,}7712\dots} \approx \num{0{,}77},\]

   jonka yksikkönä on \(\si{\degreeCelsius\per\minute}\). Lämpötilan muutosnopeus hetkellä \(t = \SI{15}{\minute}\) on näin ollen noin \(\SI{0{,}77}{\degreeCelsius\per\minute}\). Graafisesti tämä tarkoittaa, että käyrälle kohtaan \(t = \SI{15}{\minute}\) asetetun tangentin kulmakerroin on noin \(\SI{0{,}77}{\degreeCelsius\per\minute}\).

Usean muuttujan funktio

Muutosnopeuden käsite voidaan yleistää myös useamman muuttujan funktioille. Oletetaan, että funktio \(f\) riippuu muuttujista \(x\) ja \(y\). Tällöin muuttujan \(x\) muutoksen vaikutusta tutkitaan derivoimalla funktio muuttujan \(x\) suhteen ja muuttujan \(y\) muutoksen vaikutusta derivaatalla muuttujan \(y\) suhteen.

Huomautus 3.3.2

Huomaa, että jos derivoimme kahden muuttujan funktiota \(f(x,y)\) esimerkiksi muuttujan \(x\) suhteen, niin silloin \(y\) on vakio eli se voidaan mieltää lukuna! Esimerkiksi jos \(f(x,y) = x^2y + 2y\), niin \(\frac{\d }{\d x} f(x,y) = 2xy\) ja \(\frac{\d }{\d y} f( x, y ) = x^2 + 2\).

Esimerkki 3.3.3

Tarkastellaan suoran ympyrälieriön tilavuuden \(V = \pi r^{2}h\) muutosnopeutta.

Selvitetään derivaattaa hyödyntäen kumman muuttaminen, pohjalieriön säteen \(r\) vai lieriön korkeuden \(h\) vaikuttaa tilavuuteen enemmän kohdassa, jossa

1. \(r = \SI{0{,}10}{\meter}\) ja \(h=\SI{0{,}20}{\meter}\),
2. \(r = \SI{0{,}30}{\meter}\) ja \(h = \SI{0{,}10}{\meter}\).

Piilota/näytä ratkaisu

Kun halutaan selvittää säteen \(r\) muuttamisen vaikutus tilavuuteen \(V\), lasketaan tilavuuden muutosnopeus eli derivaatta säteen suhteen. Korkeuden \(h\) muuttamisen vaikututusta voidaa puolestaan tutkia derivaatalla muuttujan \(h\) suhteen. Lasketaan kyseiset derivaatat

\[\frac{\d V}{\d r} = \pi \cdot 2r \cdot h = 2\pi rh\qquad \frac{\d V}{\d h} = \pi r^{2} \cdot 1 = \pi r^{2}.\]

1. Ensimmäisen kohdan lukuarvoilla derivaattojen arvot ovat

   \[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\d V}{\d r} &= 2 \pi \cdot \SI{0{,}10}{\meter} \cdot \SI{0{,}20}{\meter} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}125664 \dots}{\meter\squared} \\ \frac{\d V}{\d h} &= \pi( \SI{0{,}10}{\meter} )^{2} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}031416\dots}{\meter\squared}. \end{aligned}\end{split}\]

   Tuloksista nähdään, että säteen muuttamisella on suurempi vaikutus.

   Tulos voidaan tulkita muun muassa siten, että jos kohdassa \(r = \SI{0{,}10}{\meter}\) ja \(h = \SI{0{,}20}{\meter}\) sädettä muutetaan hieman esimerkiksi arvoon \(\SI{0{,}11}{\meter}\), niin tilavuuden \(V\) muutos on suunnilleen

   \[\Delta V \approx \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}125664 \dots}{\meter\squared} \cdot \SI{0{,}01}{\meter} = \SI{0{,}0013}{\meter\cubed},\]

   missä \(\SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}125664\dots}{\meter\squared}\) on derivaatan arvo ja \(\SI{0{,}01}{\meter}\) on säteen muutos. Jos vastaavan suuruinen muutos tehtäisiin korkeuteen eli se muuttuisi arvoon \(\SI{0{,}21}{\meter}\), niin tilavuus muuttuisi suunnilleen

   \[\Delta V \approx \SI{0{,}031416}{\meter\squared} \cdot \SI{0{,}01}{\meter} = \SI{0{,}0003}{\meter\cubed},\]

   missä \(\SI{0{,}031416}{\meter\squared}\) on derivaatan arvo.

2. Vastaavasti toisen kohdan arvoilla derivaatat ovat

   \[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\d V}{\d r} &= 2\pi rh = 2\pi \cdot \SI{0{,}30}{\meter} \cdot \SI{0{,}10}{\meter} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}18849\dots}{\meter\squared} \\ \frac{\d V}{\d h} &= \pi r^{2} = \pi( \SI{0{,}30}{\meter} )^{2} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}28274\dots}{\meter\squared}, \end{aligned}\end{split}\]

   joten tässä tapauksessa korkeuden muuttaminen muuttaa tilavuutta voimakkaammin, koska derivaatan arvo on suurempi.

Esimerkki 3.3.4 (Muutosnopeus: toisistaan riippuvat suureet)

Tarkastellaan suoraa ympyrälieriötä, jonka tilavuus saatiin kaavalla \(V = \pi r^2 h\), missä \(r\) on pohjaympyrän säde ja \(h\) on lieriön korkeus. Jos korkeus ja pohjan säde eivät pysykään vakiona vaan muuttuvat ajasta riippuen, niin tällöin myös tilavuus on ajasta riippuvainen. Tilavuuden lauseke voidaan kirjoittaa ajan funktiona seuraavasti

\[V( t ) = \pi( r( t ) )^2 h( t ).\]

Pohjan säteen ja korkeuden muutosnopeudet eli derivaatat vaikuttavat siten myös tilavuuden muutosnopeuteen. Tilavuuden derivaatan laskemiseen tarvitaan nyt funktion potenssin sekä tulon derivoimissääntöjä

\[V'( t ) = 2\pi( r( t ) ) \cdot r'( t ) h( t ) + \pi( r( t ) )^2 \cdot h'( t ).\]

Siis tilavuuden hetkellinen muutosnopeus riippuu tarkasteluhetkellä olevista säteen ja korkeuden arvoista sekä säteen ja korkeuden muutosnopeuksista.

Tarkastellaan esimerkkinä tilavuuden muutosnopeutta hetkellä \(t_0\), jolloin lieriön säde on \(r( t_0 ) = \SI{5{,}0}{\centi\meter}\), korkeus on \(h( t_0 ) = \SI{12{,}0}{\centi\meter}\) ja lieriön säde pienenee nopeudella \(r'( t_0 ) = \SI{2}{\milli\meter\per\second}\) ja korkeus kasvaa nopeudella \(h'( t_0 ) = \SI{5}{\milli\meter\per\second}\).

Lasketaan tilavuuden muutosnopeus edellä muodostetun lausekkeen avulla sijoittamalla annetut arvot

\[\begin{split}\begin{aligned} V'( t_0 ) &= 2\pi( r( t_0 ) ) \cdot r'( t_0 )h( t_0 ) + \pi( r( t_0 ) )^2 \cdot h'( t_0 ) \\ &= 2\pi\cdot \SI{5{,}0}{\centi\meter}\cdot \left( \SI{-0{,}2}{\centi\meter\per\second} \right) \cdot \SI{12{,}0}{\centi\meter} + \pi( \SI{5{,}0}{\centi\meter} )^2 \cdot \SI{0{,}5}{\centi\meter\per\second} \\ &= \SI[input-protect-tokens=\dots]{-36{,}128\dots}{\centi\meter\cubed\per\second}. \end{aligned}\end{split}\]

Siis tilavuus pienenee likimain nopeudella \(\SI{36{,}1}{\centi\meter\cubed\per\second}\).

Palautusta lähetetään...