Trigonometriset funktiot ja arkusfunktiot¶

Tutkitaan \(r\)-säteisen ympyrän sektoria, jonka kaaren pituus on \(s\). Sektorin kulma (angle) \(\theta\) mitataan kaaren pituuden suhteena säteeseen.

../_images/alkeisfunktiotympyrasektori.svg

Karteesisen koordinaatiston origokeskistä \(1\)-säteistä ympyrää \(x^2 + y^2 = 1\) kutsutaan yksikköympyräksi (unit circle). Suunnatun kulman (directed angle) \(\theta\) rajaaman sektorin toinen kylki on positiivisella \(x\)-akselilla, ja toiselle kyljelle päästään kulkemalla yksikköympyrää vastapäivään, jos \(\theta>0\), ja myötäpäivään, jos \(\theta < 0\).

Koska \(r\)-säteisen ympyrän kaaren pituus on \(2\pi r\), yksikköympyrälle se on \(2\pi\), ja täten kulma \(\theta = 2\pi\) tarkoittaa kokonaista kierrosta yksikköympyrällä vastapäivään. Puoli kierrosta vastapäivään on siis \(\pi\) ja neljänneskierros myötäpäivään \(-\frac{\pi}{2}\). Jos \(\theta>2\pi\) tai \(\theta<-2\pi\), niin ajatellaan kierretyn useampia kierroksia. Kulmat \(\theta\), \(\theta + 2\pi\), \(\theta - 2\pi\) ja yleisemmin \(\theta + n2\pi\), missä \(n\) on kokonaisluku, ovat eri kulmia, mutta vastaavat samaa yksikköympyrän kehän pistettä.

Edellä määritellyn mukaisesti kulma on yksikötön suure, mutta toisinaan selvyyden vuoksi käytetään yksikkönä radiaania (radian). Tällöin yksi kierros yksikköympyrää vastapäivään on \(2\pi\) rad. Kulman yksikkönä käytetään myös astetta (degree), jolloin samanlainen kierros on \(360^\circ\). Niinpä

\[1\text{ rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ},\qquad\text{eli}\qquad1^\circ=\frac{\pi}{180}\text{ rad}.\]

Seuraavaan on taulukoitu hyödyllisimpiä vastaavuuksia, jotka olisi syytä muistaa tai pystyä päättelemään.

rad	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\pi\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(2\pi\)
\(^{\circ}\)	\(0\)	\(30\)	\(45\)	\(60\)	\(90\)	\(120\)	\(135\)	\(150\)	\(180\)	\(270\)	\(360\)

Määritelmä.

Merkitään yksikköympyrässä kulmaa \(\theta\) vastaavaa kehäpistettä \((x,y)\). Trigonometriset funktiot sini (sine), kosini (cosine) ja tangentti (tangent) määritellään säännöillä

\[\sin(\theta) = y, \qquad \cos(\theta) = x \qquad\text{ja}\qquad \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{y}{x},\]

missä tangentti on määritelty vain, jos \(\cos(\theta) = x \not= 0\). Jos sekaantumisen vaaraa ei ole, niin voidaan merkitä myös \(\sin(\theta) = \sin\theta\), \(\cos(\theta) = \cos\theta\) ja \(\tan(\theta) = \tan\theta\).

Trigonometriset funktiot siis eräällä tavalla muuntavat yksikköympyrän suunnatun kulman vastaavaksi kehäpisteeksi. Jos kulma on \(\theta\), niin \(\sin(\theta)\) on vastaavan kehäpisteen \(y\)-koordinaatti ja \(\cos(\theta)\) \(x\)-koordinaatti. Luvun \(\tan(\theta)\) tulkinta on yksikköympyrän pisteeseen \((1, 0)\) tai \((-1, 0)\) piirretyn tangenttisuoran ja kulman \(\theta\) toisen kyljen jatkeen leikkauspisteen \(y\)-koordinaatti.

../_images/alkeisfunktiotrigonohavainnollistus.svg

Yksikköympyrästä päätellään sinin ja kosinin nollakohdat.

\[\begin{split}\begin{aligned} \sin\theta=0 &\Leftrightarrow \theta=n\pi\\ \cos\theta=0 &\Leftrightarrow \theta=\frac{\pi}{2}+n\pi,\end{aligned}\end{split}\]

kun \(n\) on mielivaltainen kokonaisluku. Koska \(\tan\theta\) on määritelty vain silloin, kun \(\cos\theta \not= 0\), niin tangentin määrittelyehto on \(\theta \not= \frac{\pi}{2} + n\pi\), missä \(n\) on kokonaisluku. Tangentin nollakohdat ovat samat kuin sinin nollakohdat.

Koska yksikköympyrän yhtälö on \(x^2 + y^2 = 1\) ja sen kehäpiste \((\cos\theta, \sin\theta)\), niin saadaan trigonometrian peruskaava

\[\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1,\]

missä potenssimerkinnöillä tarkoitetaan lukuja \((\cos(\theta))^2\) ja \((\sin(\theta))^2\).

Koulutrigonometriassa sini, kosini ja tangentti määritellään suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituuksien suhteina.

\[\sin\theta = \frac{\text{vastainen}}{\text{hypotenuusa}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{viereinen}}{\text{hypotenuusa}}, \qquad\text{ja}\qquad \tan\theta = \frac{\text{vastainen}}{\text{viereinen}}\]

Aiemmin esitetty yksikköympyrämääritelmä laajentaa trigonometriset funktiot kattamaan kaikki reaaliarvoiset suunnatut kulmat. Joitakin trigonometristen funktioiden arvoja välillä \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\) voidaan edelleen päätellä muistikolmioista.

../_images/alkeisfunktiotmuistikolmiot.svg

Jos kulma ei ole välillä \(0\le\theta\le\frac{\pi}{2}\), niin trigonometrisen funktion arvon laskeminen voidaan palauttaa tälle välille seuraavien palautuskaavojen avulla.

\(\sin(\theta + n2\pi) = \sin\theta\), \(\cos(\theta + n2\pi) = \cos\theta\) ja \(\tan(\theta + n\pi) = \tan\theta\), kun \(n\) on kokonaisluku
\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) ja \(\cos(-\theta) = \cos\theta\)
\(\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta\) ja \(\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta\)
\(\cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\) ja \(\sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\)

Kaavat voidaan päätellä yksikköympyrästä, sillä esimerkiksi

kulmia \(\theta\) ja \(\theta+n2\pi\) vastaa samaa kehäpiste ja
kulmia \(\theta\) ja \(-\theta\) vastaavilla kehäpisteillä on sama \(x\)-koordinaatti mutta \(y\)-koordinaatit ovat toistensa vastalukuja.

Keskustelun selkeyttämiseksi \(xy\)-taso jaetaan neljään koordinaattineljännekseen.

../_images/alkeisfunktiotkoordinaattineljannekset.svg

Trigonometristen funktioiden merkit eri koordinaattineljänneksiin osuvilla kulmilla voidaan nyt koota seuraaviksi kaavioiksi.

Esimerkki.

Laske \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\).

Ratkaisu.

Kulma \(\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}\) on toisessa koordinaattineljänneksessä, jolloin sen kosinin laskeminen palautuu ensimmäiseen neljännekseen ja muistikolmioon palautuskaavojen avulla seuraavasti:

\[\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) =-\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) =-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) =-\frac12.\]

Vaihtoehtoinen tapa on piirtää suorakulmainen kolmio yksikköympyrän toiseen neljännekseen ja päätellä palauttaminen kulmaan \(\frac{\pi}{3}\) suoraan siitä.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö \(3\sin^2 x-\cos^2x=2\), kun \(0 \leq x \leq \pi\).

Ratkaisu.

Koska \(\cos^2x=1-\sin^2x\), niin yhtälö saadaan muotoon

\[\begin{aligned} 3\sin^2 x-1+\sin^2x=2 \Leftrightarrow 4\sin^2x=3 \Leftrightarrow \sin^2x=\frac34 \Leftrightarrow \sin x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{aligned}\]

Koska halutaan, että \(0 \leq x \leq \pi\), niin rajoitutaan \(xy\)-tason ensimmäiseen ja toiseen neljännekseen, joissa sini on ei-negatiivinen. Täten riittää riittää hakea yhtälön \(\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) kaikki ratkaisut tällä välillä. Siis \(x=\frac{\pi}{3}\) tai \(x=\frac{2\pi}{3}\).

Palautuskaavojen mukaan trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, eli ne toistavat samat arvot säännöllisin välein. Sinin ja kosinin jakso on \(2\pi\) ja tangentin jakso on \(\pi\). Yksikköympyrän kehäpisteiden koordinaatit voidaan kääntää trigonometristen funktioiden kuvaajiksi.

../_images/alkeisfunktiotsinikosikuvaaja.svg

../_images/alkeisfunktiottangkuvaaja.svg

Palautuskaavoilla \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) ja \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) on erityinen merkitys.

Määritelmä.

Funktio \(f\) on parillinen, jos \(f(-x)=f(x)\), ja pariton, jos \(f(-x)=-f(x)\) aina kun \(f(x)\) ja \(f(-x)\) on määritelty.

Geometrisesti parillisuus tarkoittaa sitä, että funktion kuvaaja on peilisymmetrinen \(y\)-akselin suhteen, ja parittomuus sitä, että kuvaaja on kiertosymmetrinen origon suhteen. Esimerkiksi \(\cos x\), \(1\), \(x^2\), \(x^4\) ja \(x^6\) ovat parillisia funktioita, kun taas \(\sin x\), \(\tan x\), \(x\), \(x^3\) ja \(x^5\) ovat parittomia funktioita. Valittu funktio ei yleensä ole parillinen eikä pariton.

Esimerkki.

Osoita, että \(f(x)=x^2\sin x\) on pariton.
Onko \(f(x)=(x+1)^2\) parillinen tai pariton?

Ratkaisu.

Suoralla laskulla nähdään, että

\[f(-x) = (-x)^2\sin(-x) = x^2(-\sin x) = -x^2\sin x = -f(x),\]

joten \(f\) on pariton funktio.
Koska \(f(-1) = 0\) ja \(f(1) = 4\), niin funktio \(f\) ei ole parillinen eikä pariton.

Seuraavat sinin ja kosinin summakaavat ovat ratkaisevan tärkeitä myöhemmin kompleksilukujen käsittelyssä.

Lause.

\(\sin(\theta + \varphi) = \sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi\) ja \(\cos(\theta + \varphi) = \cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi\).

Todistus.

Todistetaan sinin summakaava geometrisesti silloin, kun \(\theta\), \(\varphi\) ja \(\theta+\varphi\) sijaitsevat ensimmäisessä neljänneksessä. Piirretään avuksi kuva.

../_images/alkeisfunktiotsummakaavatod.svg

Lasketaan siis kulmaa \(\theta + \varphi\) vastaavan kehäpisteen \(y\)-koordinaatti. Piirretään tästä kehäpisteestä kohtisuora jana kulman \(\theta\) vasemmalle kyljelle, sekä \(x\)-akselin suuntainen suora niiden leikkauspisteen kautta. Piirretään vielä kulman \(\theta + \varphi\) kehäpisteeltä kohtisuora jana tälle suoralle. Kuvan mukaisesti muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden hypotenuusien pituudet ovat \(\sin\varphi\) ja \(\cos\varphi\), sekä toinen terävistä kulmista \(\theta\). Tällöin halutun kehäpisteen \(y\)-koordinaatti on kahden kateetin pituuden summana

\[\sin(\varphi + \theta) = \sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi.\]

Muita kuin ensimmäisen neljänneksen tapauksia varten voidaan soveltaa palautuskaavoja, kunnes edellämainitut ehdot toteutuvat, ja näin todistus laajenee kaikille kulmille \(\theta\) ja \(\varphi\). Kosinin summakaava todistuu vastaavasti. \(\square\)

Summakaavojen, palautuskaavojen ja peruskaavan avulla voidaan johtaa lukuisa määrä taulukkokirjoissa lueteltuja trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja, kuten kaksoiskulmakaavat

\[\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\qquad\text{ja}\qquad \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta\]

ja niiden johdannaiset

\[\sin^2\theta = \frac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \qquad\text{ja}\qquad \cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)).\]

Lisäksi kulmien \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\) ja \(\frac{\pi}{6}\) yhdistelmien sinin ja kosinin tarkkoja arvoja voidaan laskea summakaavojen avulla.

Esimerkki.

Laske kulman \(15^{\circ}\) sinin, kosinin ja tangentin tarkat arvot.

Ratkaisu.

Nähdään, että \(15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\) radiaania. Täten

\[\begin{split}\begin{aligned} \sin(15^{\circ}) &= \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ \cos(15^{\circ}) &= \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\ \tan(15^{\circ}) &= \frac{\sin(15^{\circ})}{\cos(15^{\circ})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{4} = \frac{8 - 2\sqrt{12}}{4} = 2 - \sqrt{3}.\end{aligned}\end{split}\]

Joskus sinin, kosinin ja tangentin käänteisluvuille käytetään nimityksiä kosekantti, sekantti ja kotangentti, ja merkitään

\[\begin{aligned} \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\qquad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\qquad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.\end{aligned}\]

Näiden avulla monimutkaisia trigonometrisia lausekkeita voidaan ilmaista lyhyemmin.

Jos sini ja kosini muuntavat kulman yksikköympyrän kehäpisteen koordinaateiksi, niin voidaanko tämä kääntää ympäri? Onko mahdollista määrittää kulma kehäpisteen koordinaatista?

Määritelmä.

Merkitään yksikköympyrässä kulmaa \(\theta\) vastaavaa kehäpistettä \((x, y)\). Arkusfunktiot arkussini, arkuskosini ja arkustangentti määritellään säännöillä

\[\arcsin(y) = \theta, \qquad \arccos(x) = \theta \qquad\text{ja}\qquad \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \theta,\]

missä arkustangentti on määritelty vain, jos \(x \not= 0\). Näistä funktioista käytetään joskus myös merkintöjä \(\arcsin = \sin^{-1}\), \(\arccos = \cos^{-1}\) ja \(\arctan = \tan^{-1}\), joita ei tule sekoittaa potenssiin \(-1\).

Jos tiedetään vaikkapa yksikköympyrän kehäpisteen \(x\)-koordinaatti, niin \(y\)-koordinaatille on kaksi mahdollista vaihtoehtoa, \(y = \pm\sqrt{1 - x^2}\). Täten myös arkuskosinin arvolle on kaksi mahdollista vaihtoehtoa! Vastaavasti kuin juurifunktion määritelmässä sovitaan, että arkuskosinin arvoksi asetetaan ei-negatiivinen. Arkussinin ja arkustangentin tapauksissa sovitaan, että niiden arvo sijoittuu aina kulmien \(-\frac{\pi}{2}\) ja \(\frac{\pi}{2}\) väliin.

Koska arkussini ja arkuskosini kuvaavat yksikköympyrän kehäpisteen koordinaatit kulmalle, niin niiden syötteen täytyy aina olla lukujen \(-1\) ja \(1\) välissä! Esimerkiksi lukua \(\arcsin(\pi)\) ei ole määritelty. Arkustangentin tapauksessa tällaista rajoitusta ei ole, sillä kehäpisteiden koordinaattien suhde \(\frac{y}{x}\) käy läpi kaikki reaaliset arvot. Seuraavassa on esitetty kunkin arkusfunktion kuvaaja.

../_images/alkeisfunktiotarkussinikosikuvaajat.svg

../_images/alkeisfunktiotarkustangkuvaaja.svg

Laskuissa toisiaan vastaavat trigonometriset ja arkusfunktiot kumoavat toisensa, kunhan molemmat on määritelty, eli esimerkiksi

\[\arcsin(\sin(x))=x\qquad\text{ja}\qquad\sin(\arcsin(y))=y\]

silloin, kun \(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\) ja \(-1 \leq y \leq 1\). Kirjoita vastaavat tulokset kosinille ja tangentille!

Esimerkki.

Laske \(\arcsin\left(\dfrac12\right)\), \(\arcsin\left(-\dfrac12\right)\) ja \(\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\).

Ratkaisu.

On siis löydettävä sellaiset kulmat, joiden sini tai kosini on mainittu luku. Muistikolmiosta nähdään, että

\[\arcsin\left(\frac12\right)=\frac{\pi}{6}.\]

Merkitään \(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = x\) ja otetaan sini molemmin puolin. Tällöin

\[\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = -\frac{1}{2} = \sin(x),\]

joten \(\frac{1}{2} = -\sin(x) = \sin(-x)\) ja edelleen

\[\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} = -x = \arcsin\left(\sin(-x)\right).\]

Siis edellisen laskun nojalla \(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}\). Vastaavasti viimeistä varten muistetaan, että \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), joten

\[\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

ja \(\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}\).