Polynomi- ja rationaalifunktiot¶

Määritelmä.

Asteen $n$ polynomifunktio (polynomial function) on muotoa

$\begin{aligned} f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\end{aligned}$

missä reaaliset kertoimet (coefficients) $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},a_n$ ovat vakioita ja $a_n\ne0$ . Jos aste $n = 0$ , polynomifunktiota $f(x) = a_0$ kutsutaan myös vakiofunktioksi. Nollafunktio on vakiofunktio $f(x) = 0$ .

Reaaliluku $x$ on funktion $f$ nollakohta (zero), jos $f(x)=0$ . Voidaan osoittaa, että asteen $n$ reaalikertoimisella polynomifunktiolla on korkeintaan $n$ reaalista nollakohtaa. Huomaa, että nollannen asteen polynomifunktio on $f(x) = a_0 \not= 0$ . Kompleksilukujen käsittelyn yhteydessä polynomien määritelmää laajennetaan kattamaan kompleksiset kertoimet ja syötteet. Tällöin nollakohtia on aina täsmälleen $n$ kappaletta.

Esimerkki.

Funktio $f(x)=-5x^3+3x-7$ on $3$ . asteen polynomifunktio, jonka kertoimet ovat $a_3=-5$ , $a_2=0$ , $a_1=3$ ja $a_0=-7$ .

Reaalisten polynomifunktioiden nollakohtien lukumäärää havainnollistetaan seuraavissa kuvissa. Kolmannen asteen polynomifunktiolla voi olla $1$ , $2$ tai $3$ nollakohtaa, kun taas neljännen asteen polynomfunktiolla voi olla $0$ , $1$ , $2$ , $3$ tai $4$ nollakohtaa. Yleisemminkin parittoman asteen polynomifunktioilla on aina vähintään yksi reaalinen nollakohta.

../_images/alkeisfunktiotpolynomikuvaajat.svg

Määritelmä.

Rationaalifunktio (rational function) on muotoa

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)},$

missä $g$ ja $h$ ovat polynomifunktioita. Funktio $f$ on määritelty silloin, kun nimittäjä $h(x) \not= 0$ .

Esimerkki.

Piirretään rationaalifunktion $f(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{x^2-x-2}{x^2+x-2}$ kuvaaja.

../_images/alkeisfunktiotrationaalikuvaaja.svg

Kiinnitä huomiota nimittäjän nollakohtien $x=-2$ ja $x=1$ ympäristöihin.