Polynomi- ja rationaalifunktiot¶

Määritelmä.

Asteen \(n\) polynomifunktio (polynomial function) on muotoa

\[\begin{aligned} f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\end{aligned}\]

missä reaaliset kertoimet (coefficients) \(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},a_n\) ovat vakioita ja \(a_n\ne0\). Jos aste \(n = 0\), polynomifunktiota \(f(x) = a_0\) kutsutaan myös vakiofunktioksi. Nollafunktio on vakiofunktio \(f(x) = 0\).

Reaaliluku \(x\) on funktion \(f\) nollakohta (zero), jos \(f(x)=0\). Voidaan osoittaa, että asteen \(n\) reaalikertoimisella polynomifunktiolla on korkeintaan \(n\) reaalista nollakohtaa. Huomaa, että nollannen asteen polynomifunktio on \(f(x) = a_0 \not= 0\). Kompleksilukujen käsittelyn yhteydessä polynomien määritelmää laajennetaan kattamaan kompleksiset kertoimet ja syötteet. Tällöin nollakohtia on aina täsmälleen \(n\) kappaletta.

Esimerkki.

Funktio \(f(x)=-5x^3+3x-7\) on \(3\). asteen polynomifunktio, jonka kertoimet ovat \(a_3=-5\), \(a_2=0\), \(a_1=3\) ja \(a_0=-7\).

Reaalisten polynomifunktioiden nollakohtien lukumäärää havainnollistetaan seuraavissa kuvissa. Kolmannen asteen polynomifunktiolla voi olla \(1\), \(2\) tai \(3\) nollakohtaa, kun taas neljännen asteen polynomfunktiolla voi olla \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) tai \(4\) nollakohtaa. Yleisemminkin parittoman asteen polynomifunktioilla on aina vähintään yksi reaalinen nollakohta.

../_images/alkeisfunktiotpolynomikuvaajat.svg

Määritelmä.

Rationaalifunktio (rational function) on muotoa

\[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)},\]

missä \(g\) ja \(h\) ovat polynomifunktioita. Funktio \(f\) on määritelty silloin, kun nimittäjä \(h(x) \not= 0\).

Esimerkki.

Piirretään rationaalifunktion \(f(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{x^2-x-2}{x^2+x-2}\) kuvaaja.

../_images/alkeisfunktiotrationaalikuvaaja.svg

Kiinnitä huomiota nimittäjän nollakohtien \(x=-2\) ja \(x=1\) ympäristöihin.