Differentiaaliyhtälöt¶

Esimerkki.

1. Sijoitetaan kappale vakiolämpöiseen lämpökylpyyn, jonka lämpötila on \(T_0\). Merkitään kappaleen lämpötilaa \(T(t)\) hetkellä \(t\), eli oletetaan kappaleen sisäiset lämpötilaerot aina tasoittuneiksi. Lämpö virtaa kuumasta kylmään ja lämpötilan muutosnopeus \(T'(t)\) on suoraan verrannollinen kappaleen ja ympäristön väliseen lämpötilaeroon \(T(t)-T_0\), eli

   \[T'(t)=-k(T(t)-T_0),\]

   missä \(k>0\) on verrannollisuuskerroin. Kerroin \(-k\) on välttämättä negatiivinen, koska kappaleen ollessa ympäristöä lämpimämpi \(T(t)-T_0>0\) ja lämpötila \(T(t)\) vähenee ja siten derivaatta \(T'(t)\) on negatiivinen. Päinvastaisessa tilanteessa on oltava \(T(t)-T_0<0\) ja \(T'(t)>0\).

   Jos vakiot \(k\) ja \(T_0\) tunnetaan, niin ratkaise funktio \(T(t)\).

2. Suoraviivaisesti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vakiosuuruinen työntövoima \(F_0\) ja vauhdista \(v\) riippuva vastusvoima \(-kv^2\), missä \(k>0\) on vakio. Kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on \(F_0-kv^2\), joten Newtonin lain mukaan \(F_0-kv^2=ma\), missä \(m\) on massa ja \(a\) on kiihtyvyys. Merkitään kappaleen paikkaa \(x(t)\) hetkellä \(t\). Koska \(x'(t)=v(t)\) ja \(x''(t)=v'(t)=a(t)\), niin

   \[F_0-kx'(t)^2=mx''(t).\]

   Jos vakiot \(F_0\), \(k\) ja \(m\) tunnetaan, niin ratkaise funktio \(x(t)\).