Differentiaaliyhtälöt¶

Esimerkki.

1. Sijoitetaan kappale vakiolämpöiseen lämpökylpyyn, jonka lämpötila on $T_0$. Merkitään kappaleen lämpötilaa $T(t)$ hetkellä $t$, eli oletetaan kappaleen sisäiset lämpötilaerot aina tasoittuneiksi. Lämpö virtaa kuumasta kylmään ja lämpötilan muutosnopeus $T'(t)$ on suoraan verrannollinen kappaleen ja ympäristön väliseen lämpötilaeroon $T(t)-T_0$, eli

   $$T'(t)=-k(T(t)-T_0),$$

   missä $k>0$ on verrannollisuuskerroin. Kerroin $-k$ on välttämättä negatiivinen, koska kappaleen ollessa ympäristöä lämpimämpi $T(t)-T_0>0$ ja lämpötila $T(t)$ vähenee ja siten derivaatta $T'(t)$ on negatiivinen. Päinvastaisessa tilanteessa on oltava $T(t)-T_0<0$ ja $T'(t)>0$.

   Jos vakiot $k$ ja $T_0$ tunnetaan, niin ratkaise funktio $T(t)$.

2. Suoraviivaisesti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vakiosuuruinen työntövoima $F_0$ ja vauhdista $v$ riippuva vastusvoima $-kv^2$, missä $k>0$ on vakio. Kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on $F_0-kv^2$, joten Newtonin lain mukaan $F_0-kv^2=ma$, missä $m$ on massa ja $a$ on kiihtyvyys. Merkitään kappaleen paikkaa $x(t)$ hetkellä $t$. Koska $x'(t)=v(t)$ ja $x''(t)=v'(t)=a(t)$, niin

   $$F_0-kx'(t)^2=mx''(t).$$

   Jos vakiot $F_0$, $k$ ja $m$ tunnetaan, niin ratkaise funktio $x(t)$.