Separoituva yhtälö¶

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä sanotaan separoituvaksi (separable), jos se on muotoa .. _kaav-separyhtalo:

\[y'(x)=f(x)g(y(x)).\]

Jos \(g(y(x))\ne0\), niin separoituva voidaan kirjoittaa muodossa

\[\frac{y'(x)}{g(y(x))}=f(x),\]

joten integroimalla

\[\int\frac{y'(x)}{g(y(x))}\,\mathrm{d}x=\int f(x)\,\mathrm{d}x+C.\]

Tehdään vasemmalle puolelle muuttujanvaihto \(y=y(x)\), jolloin päädytään kaavaan

\[\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,\mathrm{d}x+C.\]

Funktio \(y\) voidaan nyt (yrittää) ratkaista tästä yhtälöstä integroimalla. Lisäksi erikoisratkaisuja ovat vielä vakiofunktiot \(y(x)=a\), missä luku \(a\) on funktion \(g\) nollakohta.

Käytännössä jokaista vastaan tulevaa separoituvaa yhtälöä kohti edellinen kaava ”johdetaan” kirjoittamalla ensin

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y).\]

Tässä kerrotaan symbolilla \(\mathrm{d}x\) aivan kuin se olisi luku ja siirretään kirjaimen \(y\) esiintymät vasemmalle ja kirjaimen \(x\) esiintymät oikealle (separointi), jolloin saadaan

\[\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Tämä integroidaan puolittain:

\[\int\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\,\mathrm{d}x+C.\]

Huomautus.

Separoituviin yhtälöihin liittyvässä kaavassa ja yleisestikin differentiaaliyhtälöiden yhteydessä integroimisvakio kirjoitetaan näkyviin ja merkintä \(\int f(x)\,\mathrm{d}x\) tarkoittaa yhtä (mitä tahansa) funktion \(f\) integraalifunktiota. Vertaa huomautukseen puolittain integroinnista.

Esimerkki.

Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y'=x^2y^3\).

Ratkaisu.

Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa \(f(x)=x^2\) ja \(g(y)=y^3\). Kirjoitetaan separointia varten \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x^2y^3\), jolloin ratkaisut toteuttavat

\[\int\frac{\mathrm{d}y}{y^3}=\int x^2\,\mathrm{d}x+C \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\frac{1}{y^2}=\frac{1}{3}x^3+C.\]

Täten yleiseksi ratkaisuksi saadaan

\[y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{-2C - \frac{2}{3}x^3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{C^* - \frac{2}{3}x^3}},\]

missä \(C^*=-2C\). Lisäksi erikoisratkaisuna saadaan \(y(x) = 0\).

Esimerkiksi alkuehdolla \(y(1)=3\) (siis \(C^*=\frac{7}{9}\)) saadaan ratkaisu

\[y(x)=\frac{3}{\sqrt{7-6x^3}},\]

missä \(y\) on määritelty, kun \(x < \sqrt[3]{\frac{7}{6}}\).

Esimerkki.

Tarkastellaan populaation kokoa \(x(t)\) ajan \(t\) funktiona. Derivaatta \(x'(t)\) kuvaa koon muutosnopeutta. Toisin sanoen pienillä \(\Delta t>0\) on

\[x'(t)\approx\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{\text{koon muutos}}{\text{aikaväli}}.\]

Usein hyvä perusoletus on, että muutosnopeus \(x'(t)\) on suoraan verrannollinen populaation kokoon, eli

\[x'(t)=kx(t).\]

Siis esimerkiksi populaation kasvettua kooltaan kaksinkertaiseksi, sen kasvunopeus on myös kaksinkertaistunut. Ratkaistaan tämä yhtälö separoimalla, jolloin

\[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = kx \Leftrightarrow \int\frac{\mathrm{d}x}{x} = k\int\mathrm{d}t + C \Leftrightarrow \ln x = kt + C.\]

Kääntämällä luonnollisen logaritmifunktion saadaan yleiseksi ratkaisuksi

\[x(t) = e^{kt + C} = e^{C}e^{kt} = C^*e^{kt},\]

missä \(C^* = e^{C} > 0\). Jos hetkellä \(t=0\) populaation koko on \(x_0\), niin \(x(0)=C^*e^0=C^*=x_0\), joten

\[x(t)=x_0e^{kt}.\]

Populaation koko siis kasvaa eksponentiaalisesti, jos \(k>0\) ja vähenee eksponentiaalisesti, jos \(k<0\).

Esimerkki.

Merkitään radioaktiivisen näytteen radioaktiivisen isotoopin ydinten lukumäärää ajan \(t\) funktiolla \(N(t)\). Hajoavien ydinten lukumäärä aikayksikössä eli \(-N'(t)\) on suoraan verrannollinen ydinten lukumäärään, eli

\[N'(t)=-kN(t),\]

missä verrannollisuuskerroin \(k > 0\). Populaation kokoon liittyvän esimerkin mukaan

\[N(t)=N_0e^{-kt},\]

missä \(N_0=N(0)\). Olkoon \(\tau>0\) vakio ja lasketaan lukumäärien \(N(t+\tau)\) ja \(N(t)\) suhde.

\[\begin{aligned} \frac{N(t+\tau)}{N(t)}=\frac{N_0e^{-k(t+\tau)}}{N_0e^{-kt}}=e^{-k\tau}\end{aligned}\]

Huomataan, että suhde ei riipu alkuajanhetkestä \(t\). Sovitaan, että \(\tau\) on puoliintumisaika, jonka kuluessa aktiivisten ytimien lukumäärä puolittuu. Nyt

\[\begin{aligned} e^{-k\tau}=\frac12 \Leftrightarrow -k\tau=\ln\frac12=-\ln 2 \Leftrightarrow\tau=\frac{\ln 2}{k}.\end{aligned}\]

Vakiota \(k\) kutsutaan hajoamisvakioksi.

Esimerkki.

Erään maan väkiluku vuonna 2009 on 1 500 000. Oletetaaan, että maan oma väestö lisääntyy 4 % vuodessa ja tämän lisäksi vuosittain maahan muuttaa 50 000 asukasta. Selvitä maan väkiluku ajan funktiona. Mikä on väkiluku vuonna 2029?

Ratkaisu.

Merkitään väkilukua \(x(t)\) ajan \(t\) (vuosina, \(t=0\) vuonna 2009) funktiona. On ratkaistava alkuarvotehtävä

\[x'(t)=0{,}04x(t)+50~000,\qquad x(0)=1~500~000.\]

Voidaan kirjoittaa

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&=0{,}04(x(t)+1~250~000),\end{aligned}\]

eli yhtälö on separoituva ja

\[\int\frac{\mathrm{d}x}{x + 1~250~000} = 0{,}04\int\mathrm{d}t + C \Leftrightarrow \ln(x + 1~250~000) = 0{,}04t + C.\]

Ratkaistaan tästä funktio \(x\) yleisessä muodossa

\[x(t) = e^{0{,}04t + C} - 1~250~000 = C^*e^{0{,}04t} - 1~250~000.\]

Alkuehdosta saadaan \(x(0)=C-1~250~000=1~500~000\), joten \(C^*=2~750~000\). Niinpä väkiluku ajan \(t\) funktiona on

\[x(t)=2~750~000e^{0{,}04t}-1~250~000\]

ja vuonna 2029 väkiluku on \(x(20)\approx4~870~000\).

Esimerkki.

Ratkaistaan johdannon esimerkistä löytyvä differentiaaliyhtälö, eli

\[\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-k(T-T_0).\]

Havaitaan, että tämä separoituu, jolloin

\[\int\frac{\mathrm{d}T}{T - T_0} = -k\int\mathrm{d}t + C^{**} \Leftrightarrow \ln|T - T_0| = -kt + C^{**} \Leftrightarrow |T - T_0| = C^*e^{-kt},\]

missä \(C^* = e^{C^{**}}\). Täten

\[T = T_0 \pm C^*e^{-kt} = T_0 + Ce^{-kt},\]

missä \(C = \pm C^{*} = \pm e^{C^{**}}\).

Yleisen ratkaisun termi \(Ce^{-kt}\to0\), kun \(t\to\infty\), eli kappaleen lämpötila lähestyy lämpökylvyn lämpötilaa ajan kuluessa, kuten pitääkin. Lisäksi jos kappale on aluksi ympäristöä lämpimämpi eli \(T(0)-T_0>0\), niin \(C>0\) ja lämpötila \(T(t)\) vähenee kohti raja-arvoaan \(T_0\). Jos kappale on aluksi ympäristöä kylmempi eli \(T(0)-T_0<0\), niin \(C<0\) ja lämpötila \(T(t)\) kasvaa kohti raja-arvoaan \(T_0\). Oheisessa kuvassa ratkaisu kahdella erimerkkisellä parametrin \(C\) arvolla.

Erikoisratkaisuun \(T(t)=T_0\) päädytään silloin, kun \(T(0)-T_0=0\), toisin sanoen jos kappaleella on alussa sama lämpötila kuin ympäristöllä.