Separoituva yhtälö¶

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä sanotaan separoituvaksi (separable), jos se on muotoa .. _kaav-separyhtalo:

$y'(x)=f(x)g(y(x)).$

Jos $g(y(x))\ne0$ , niin separoituva voidaan kirjoittaa muodossa

$\frac{y'(x)}{g(y(x))}=f(x),$

joten integroimalla

$\int\frac{y'(x)}{g(y(x))}\,\mathrm{d}x=\int f(x)\,\mathrm{d}x+C.$

Tehdään vasemmalle puolelle muuttujanvaihto $y=y(x)$ , jolloin päädytään kaavaan

$\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,\mathrm{d}x+C.$

Funktio $y$ voidaan nyt (yrittää) ratkaista tästä yhtälöstä integroimalla. Lisäksi erikoisratkaisuja ovat vielä vakiofunktiot $y(x)=a$ , missä luku $a$ on funktion $g$ nollakohta.

Käytännössä jokaista vastaan tulevaa separoituvaa yhtälöä kohti edellinen kaava ”johdetaan” kirjoittamalla ensin

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y).$

Tässä kerrotaan symbolilla $\mathrm{d}x$ aivan kuin se olisi luku ja siirretään kirjaimen $y$ esiintymät vasemmalle ja kirjaimen $x$ esiintymät oikealle (separointi), jolloin saadaan

$\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\,\mathrm{d}x.$

Tämä integroidaan puolittain:

$\int\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\,\mathrm{d}x+C.$

Huomautus.

Separoituviin yhtälöihin liittyvässä kaavassa ja yleisestikin differentiaaliyhtälöiden yhteydessä integroimisvakio kirjoitetaan näkyviin ja merkintä $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ tarkoittaa yhtä (mitä tahansa) funktion $f$ integraalifunktiota. Vertaa huomautukseen puolittain integroinnista.

Esimerkki.

Ratkaise differentiaaliyhtälö $y'=x^2y^3$ .

Ratkaisu.

Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa $f(x)=x^2$ ja $g(y)=y^3$ . Kirjoitetaan separointia varten $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x^2y^3$ , jolloin ratkaisut toteuttavat

$\int\frac{\mathrm{d}y}{y^3}=\int x^2\,\mathrm{d}x+C \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\frac{1}{y^2}=\frac{1}{3}x^3+C.$

Täten yleiseksi ratkaisuksi saadaan

$y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{-2C - \frac{2}{3}x^3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{C^* - \frac{2}{3}x^3}},$

missä $C^*=-2C$ . Lisäksi erikoisratkaisuna saadaan $y(x) = 0$ .

Esimerkiksi alkuehdolla $y(1)=3$ (siis $C^*=\frac{7}{9}$ ) saadaan ratkaisu

$y(x)=\frac{3}{\sqrt{7-6x^3}},$

missä $y$ on määritelty, kun $x < \sqrt[3]{\frac{7}{6}}$ .

Esimerkki.

Tarkastellaan populaation kokoa $x(t)$ ajan $t$ funktiona. Derivaatta $x'(t)$ kuvaa koon muutosnopeutta. Toisin sanoen pienillä $\Delta t>0$ on

$x'(t)\approx\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{\text{koon muutos}}{\text{aikaväli}}.$

Usein hyvä perusoletus on, että muutosnopeus $x'(t)$ on suoraan verrannollinen populaation kokoon, eli

$x'(t)=kx(t).$

Siis esimerkiksi populaation kasvettua kooltaan kaksinkertaiseksi, sen kasvunopeus on myös kaksinkertaistunut. Ratkaistaan tämä yhtälö separoimalla, jolloin

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = kx \Leftrightarrow \int\frac{\mathrm{d}x}{x} = k\int\mathrm{d}t + C \Leftrightarrow \ln x = kt + C.$

Kääntämällä luonnollisen logaritmifunktion saadaan yleiseksi ratkaisuksi

$x(t) = e^{kt + C} = e^{C}e^{kt} = C^*e^{kt},$

missä $C^* = e^{C} > 0$ . Jos hetkellä $t=0$ populaation koko on $x_0$ , niin $x(0)=C^*e^0=C^*=x_0$ , joten

$x(t)=x_0e^{kt}.$

Populaation koko siis kasvaa eksponentiaalisesti, jos $k>0$ ja vähenee eksponentiaalisesti, jos $k<0$ .

Esimerkki.

Merkitään radioaktiivisen näytteen radioaktiivisen isotoopin ydinten lukumäärää ajan $t$ funktiolla $N(t)$ . Hajoavien ydinten lukumäärä aikayksikössä eli $-N'(t)$ on suoraan verrannollinen ydinten lukumäärään, eli

$N'(t)=-kN(t),$

missä verrannollisuuskerroin $k > 0$ . Populaation kokoon liittyvän esimerkin mukaan

$N(t)=N_0e^{-kt},$

missä $N_0=N(0)$ . Olkoon $\tau>0$ vakio ja lasketaan lukumäärien $N(t+\tau)$ ja $N(t)$ suhde.

$\begin{aligned} \frac{N(t+\tau)}{N(t)}=\frac{N_0e^{-k(t+\tau)}}{N_0e^{-kt}}=e^{-k\tau}\end{aligned}$

Huomataan, että suhde ei riipu alkuajanhetkestä $t$ . Sovitaan, että $\tau$ on puoliintumisaika, jonka kuluessa aktiivisten ytimien lukumäärä puolittuu. Nyt

$\begin{aligned} e^{-k\tau}=\frac12 \Leftrightarrow -k\tau=\ln\frac12=-\ln 2 \Leftrightarrow\tau=\frac{\ln 2}{k}.\end{aligned}$

Vakiota $k$ kutsutaan hajoamisvakioksi.

Esimerkki.

Erään maan väkiluku vuonna 2009 on 1 500 000. Oletetaaan, että maan oma väestö lisääntyy 4 % vuodessa ja tämän lisäksi vuosittain maahan muuttaa 50 000 asukasta. Selvitä maan väkiluku ajan funktiona. Mikä on väkiluku vuonna 2029?

Ratkaisu.

Merkitään väkilukua $x(t)$ ajan $t$ (vuosina, $t=0$ vuonna 2009) funktiona. On ratkaistava alkuarvotehtävä

$x'(t)=0{,}04x(t)+50~000,\qquad x(0)=1~500~000.$

Voidaan kirjoittaa

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&=0{,}04(x(t)+1~250~000),\end{aligned}$

eli yhtälö on separoituva ja

$\int\frac{\mathrm{d}x}{x + 1~250~000} = 0{,}04\int\mathrm{d}t + C \Leftrightarrow \ln(x + 1~250~000) = 0{,}04t + C.$

Ratkaistaan tästä funktio $x$ yleisessä muodossa

$x(t) = e^{0{,}04t + C} - 1~250~000 = C^*e^{0{,}04t} - 1~250~000.$

Alkuehdosta saadaan $x(0)=C-1~250~000=1~500~000$ , joten $C^*=2~750~000$ . Niinpä väkiluku ajan $t$ funktiona on

$x(t)=2~750~000e^{0{,}04t}-1~250~000$

ja vuonna 2029 väkiluku on $x(20)\approx4~870~000$ .

Esimerkki.

Ratkaistaan johdannon esimerkistä löytyvä differentiaaliyhtälö, eli

$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-k(T-T_0).$

Havaitaan, että tämä separoituu, jolloin

$\int\frac{\mathrm{d}T}{T - T_0} = -k\int\mathrm{d}t + C^{**} \Leftrightarrow \ln|T - T_0| = -kt + C^{**} \Leftrightarrow |T - T_0| = C^*e^{-kt},$

missä $C^* = e^{C^{**}}$ . Täten

$T = T_0 \pm C^*e^{-kt} = T_0 + Ce^{-kt},$

missä $C = \pm C^{*} = \pm e^{C^{**}}$ .

Yleisen ratkaisun termi $Ce^{-kt}\to0$ , kun $t\to\infty$ , eli kappaleen lämpötila lähestyy lämpökylvyn lämpötilaa ajan kuluessa, kuten pitääkin. Lisäksi jos kappale on aluksi ympäristöä lämpimämpi eli $T(0)-T_0>0$ , niin $C>0$ ja lämpötila $T(t)$ vähenee kohti raja-arvoaan $T_0$ . Jos kappale on aluksi ympäristöä kylmempi eli $T(0)-T_0<0$ , niin $C<0$ ja lämpötila $T(t)$ kasvaa kohti raja-arvoaan $T_0$ . Oheisessa kuvassa ratkaisu kahdella erimerkkisellä parametrin $C$ arvolla.

Erikoisratkaisuun $T(t)=T_0$ päädytään silloin, kun $T(0)-T_0=0$ , toisin sanoen jos kappaleella on alussa sama lämpötila kuin ympäristöllä.