Integraalin geometrisia sovelluksia¶

Määrätyn integraalin geometrista tulkintaa laajentamalla havaitaan, että jatkuvien funktioiden \(f, g : [a,b]\to\mathbb R\), \(f(x)\ge g(x)\), kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala on

\[A=\int_a^b(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x.\]

../_images/integraalifunktioidenkuvajvalala.svg

Pituuden, pinta-alan ja tilavuuden määritelmiä käsitellään tarkemmin vasta myöhemmillä opintojaksoilla, mutta kuvien avulla voidaan vakuuttua seuraavista tuloksista. Oletetaan, että \(f : [a,b]\to\mathbb R\) on jatkuva, derivoituva ja että \(f'\) on jatkuva. Funktion \(f\) kuvaajan pituus on

\[s=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x.\]

Kun funktion \(f\) kuvaaja pyörähtää \(x\)-akselin ympäri, niin syntyvän kappaleen vaipan ala on

\[A=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x\]

ja kappaleen tilavuus on

\[V=\pi\int_a^bf(x)^2\,\mathrm{d}x.\]

Esimerkki.

Mikä on käyrän \(y=x^{\frac{3}{2}}\) pituus välillä \(0\le x\le1\)? Entä pyörähdyskappaleen tilavuus?

Ratkaisu.

Merkitään \(y(x)=x^{\frac{3}{2}}\). Nyt \(y'(x)=\frac32x^{\frac{1}{2}}\), joten kysytty pituus on

\[s=\int_0^1\sqrt{1+\frac94x}\,\mathrm{d}x=\bigg/_{\mspace{-15mu}0}^{\,1}\frac{8}{27}\Big(1+\frac94x\Big)^{3/2}=(13\sqrt{13}-8)/27\approx1{,}44.\]

Tilavuus on

\[V=\pi\int_0^1x^3\,\mathrm{d}x=\pi\bigg/_{\mspace{-15mu}0}^{\,1}\frac14x^4=\frac{\pi}{4}.\]