Integraalin geometrisia sovelluksia¶

Määrätyn integraalin geometrista tulkintaa laajentamalla havaitaan, että jatkuvien funktioiden $f, g : [a,b]\to\mathbb R$ , $f(x)\ge g(x)$ , kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala on

$A=\int_a^b(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x.$

../_images/integraalifunktioidenkuvajvalala.svg

Pituuden, pinta-alan ja tilavuuden määritelmiä käsitellään tarkemmin vasta myöhemmillä opintojaksoilla, mutta kuvien avulla voidaan vakuuttua seuraavista tuloksista. Oletetaan, että $f : [a,b]\to\mathbb R$ on jatkuva, derivoituva ja että $f'$ on jatkuva. Funktion $f$ kuvaajan pituus on

$s=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x.$

Kun funktion $f$ kuvaaja pyörähtää $x$ -akselin ympäri, niin syntyvän kappaleen vaipan ala on

$A=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x$

ja kappaleen tilavuus on

$V=\pi\int_a^bf(x)^2\,\mathrm{d}x.$

Esimerkki.

Mikä on käyrän $y=x^{\frac{3}{2}}$ pituus välillä $0\le x\le1$ ? Entä pyörähdyskappaleen tilavuus?

Ratkaisu.

Merkitään $y(x)=x^{\frac{3}{2}}$ . Nyt $y'(x)=\frac32x^{\frac{1}{2}}$ , joten kysytty pituus on

$s=\int_0^1\sqrt{1+\frac94x}\,\mathrm{d}x=\bigg/_{\mspace{-15mu}0}^{\,1}\frac{8}{27}\Big(1+\frac94x\Big)^{3/2}=(13\sqrt{13}-8)/27\approx1{,}44.$

Tilavuus on

$V=\pi\int_0^1x^3\,\mathrm{d}x=\pi\bigg/_{\mspace{-15mu}0}^{\,1}\frac14x^4=\frac{\pi}{4}.$