Lauselogiikan lause¶

Lauselogiikan lähtökohtana on lause, jolla tarkoitetaan mitä tahansa varmasti totta tai epätotta väitettä. Esimerkkejä lauseista ovat vaikkapa ”Tampere on suomalainen kaupunki” ja ”\(1 + 1 = 3\)”, sillä niiden totuus tai epätotuus voidaan osoittaa. Niitä sanotaan myös atomilauseiksi, sillä niitä ei voi pilkkoa pienemmiksi kokonaisuuksiksi, jotka olisivat myös lauseita. Atomilauseisiin viitataan usein muuttujilla \(p,q,r,\ldots\) ja muihin lauseisiin muuttujilla \(A,B,C,\ldots\). Kaikki lauseet muodostuvat atomilauseista seuraavien loogisten konnektiivien avulla.

\[\begin{split}\begin{aligned} \neg&&&\text{negaatio}\\ \land&&&\text{konjunktio}\\ \lor&&&\text{disjunktio}\\ \rightarrow&&&\text{implikaatio}\\ \leftrightarrow&&&\text{ekvivalenssi}\end{aligned}\end{split}\]

Konnektiiveilla on tietynlaiset tulkinnat luonnollisessa kielessä, joita voidaan havainnollistaa seuraavasti. Oletetaan, että \(p\) ja \(q\) ovat lauseita, jolloin

\(\neg p\) luetaan ”ei \(p\)”,
\(p \land q\) luetaan ”\(p\) ja \(q\)”,
\(p \lor q\) luetaan ”\(p\) tai \(q\)”,
\(p \rightarrow q\) luetaan ”jos \(p\) niin \(q\)”, ”\(p\) vain jos \(q\)” tai ”\(q\) jos \(p\)”,
\(p \leftrightarrow q\) luetaan ”\(p\) jos ja vain jos \(q\)” tai ”\(p\) täsmälleen silloin kun \(q\)”.

Jos samassa lauseessa esiintyy useita konnektiiveja, on syytä lisätä sulkuja merkityksen selventämiseksi. Esimerkiksi

\[\begin{aligned} (\lnot p)\land(p\lor q)\qquad\text{ja}\qquad (p\leftrightarrow q)\lor(\lnot q),\end{aligned}\]

ja edelleen

\[((\lnot p)\land(p\lor q))\rightarrow ((p\leftrightarrow q)\lor(\lnot q))\]

ovat myös lauseita. Toisaalta liiallinen sulkujen määrä vaikeuttaa kaavan lukemista, joten sovitaan konnektiiveille sitovuusjärjestys (vertaa aritmetiikan laskujärjestys):

\(\lnot\)
\(\land\) ja \(\lor\)
\(\rightarrow\) ja \(\leftrightarrow\).

Kaavoja luettaessa siis negaatio käsitellään ensin, sen jälkeen konjunktio ja disjunktio, sekä lopuksi implikaatio ja ekvivalenssi. Sulut saa poistaa, jos samalla ei muuteta kaavan merkitystä. Esimerkiksi edellinen lause voidaan kirjoittaa myös muodossa

\[\begin{aligned} \lnot p\land(p\lor q)\rightarrow (p\leftrightarrow q)\lor\lnot q.\end{aligned}\]

Esimerkki.

Jos \(x\) ja \(y\) ovat reaalilukuja, niin seuraavat ovat atomilauseita.

\[\begin{split}\begin{aligned} p&&&x\text{ on luonnollinen luku}\\ q&&&y^2=2\\ r&&&x+y\geq 0\end{aligned}\end{split}\]

Näistä voidaan muodostaa konnektiivien avulla esimerkiksi lauseet

\[\begin{split}\begin{aligned} p\lor q&&&x\text{ on luonnollinen luku tai }y^2 = 2\\ \neg r&&&x + y < 0\\ r\rightarrow p&&&\text{jos } x + y \geq 0\text{, niin }x\text{ on luonnollinen luku}\\ p\land \neg q \rightarrow \neg r&&& \text{jos }x\text{ on luonnollinen luku ja }y^2 \not= 2\text{, niin }x + y < 0\end{aligned}\end{split}\]

Sen sijaan

\[x^2+y^2+z^2,\qquad\dfrac{a+b}{2}\qquad\text{ja}\qquad\pi+\sqrt7\]

eivät ole lauselogiikan lauseita, koska ne eivät ole väitteitä, eikä niiden totuutta tai epätotuuttakaan voi siten määrittää.