Peruslaskutoimitukset¶

Määritelmä.

Kompleksiluvut, $\mathbb C$ , koostuvat luvuista $z = a + bi$ , missä $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja, sekä $i$ on imaginaariyksikkö. Kompleksilukujen summa määritellään kaavalla

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

ja tulo kaavalla

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$

Havaitaan, että kompleksilukujen summa ja tulo ovat myös kompleksilukuja, sillä edellisessä määritelmässä luvut $a + c$ , $b + d$ , $ac - bd$ ja $ad + bc$ ovat reaalilukuja. Kompleksiluvusta käytetään myös merkintöjä

$a + bi = a + ib = a + bj = a + jb.$

Kompleksilukuja voidaan havainnollistaa esittämällä ne pisteinä tai vektoreina kompleksitasossa (complex plane), kuten alla olevassa kuvassa.

Kompleksiluku $a + 0i$ samastetaan reaaliluvun $a$ kanssa ja merkitään $a + 0i = a$ . Niinpä voidaan sanoa, että jokainen reaaliluku on myös kompleksiluku. Samoin voidaan merkitä $0 + bi = bi$ . Erityisesti

$1 + 0i = 1 \qquad\text{ja}\qquad 0 + 1i = 1i = i.$

Imaginaariyksikkö $i$ on siis myös kompleksiluku. Otetaan käyttöön seuraava kompleksilukua $z=a+bi$ koskeva terminologia.

$a = \operatorname{Re}z$ on luvun $z$ reaaliosa ja $b = \operatorname{Im}z$ on luvun $z$ imaginaariosa.
Jos $b = 0$ , luku $z$ on reaalinen.
Jos $b \ne 0$ , luku $z$ on imaginaarinen.
Jos $a = 0$ ja $b \ne 0$ , luku $z$ on puhtaasti imaginaarinen.

Kompleksiluvut $z$ ja $w$ ovat samoja, jos niiden reaali- ja imaginaariosat ovat samoja. Toisin sanoen $z = w$ jos ja vain jos $\operatorname{Re}z = \operatorname{Re}w$ ja $\operatorname{Im}z = \operatorname{Im}w$ .

Määritelmä.

Kompleksiluvun $z=a+bi$ vastaluku (negative) on

$-z=-a-bi$

(jolloin $z+(-z)=0$ ). Kompleksilukujen $z=a+bi$ ja $w=c+di$ erotus (difference) $z-w$ määritellään asettamalla

$z-w=z+(-w)=(a-c)+(b-d)i.$

Lasketaan reaaliluvun $t=t+0i$ ja kompleksiluvun $a+bi$ tulo määritelmän mukaan.

$\begin{aligned} t(a+bi)=(t+0i)(a+bi)=(ta-0\cdot b)+(tb+0\cdot a)i=ta+tbi,\end{aligned}$

eli samaan tulokseen päästään vain kertomalla sekä reaali- että imaginaariosa luvulla $t$ . Tiivistetysti voidaan todeta, että kompleksilukujen summa, vastaluku, erotus ja reaaliluvulla kertominen toimivat täsmälleen samoin kuin tasovektorien vastaavat operaatiot. Näiden geometriset tulkinnat voidaan siis esittää kuten alla.

Esimerkki.

$\operatorname{Re}(-2-3i)=-2$ ja $\operatorname{Im}(-2-3i)=-3$
$(3-2i)-(-5+3i)=8-5i$

Kompleksilukujen kertolaskun määritelmästä seuraa mielenkiintoinen ja hyödyllinen luvun $i$ ominaisuus.

Lause.

$i^2=i\cdot i=-1$ .

Todistus.

Kirjoitetaan $i=0+1i$ ja lasketaan tulo määritelmän mukaan. Nyt $a=c=0$ ja $b=d=1$ , joten

$i^2=i\cdot i=(0+1i)(0+1i)=(0\cdot0-1\cdot1)+(0\cdot1+1\cdot0)i=-1+0i=-1.$

$\square$

Käsitellään seuraavaksi kompleksilukuja $a+bi$ ja $c+di$ kuten reaalisia binomeja ja lasketaan niiden tulo käyttämällä tulosta $i^2 = -1$ .

$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Tulos on sama kuin kertolaskun määritelmässä, joten kompleksilukujen tulo voidaan laskea kuten binomien tulo osittelulakia käyttäen. Tulon geometriseen tulkintaan palataan myöhemmin.

Esimerkki.

$(-3-2i)(5+i)=-15-3i-10i-2i^2=-13-13i$ .

Reaaliluvuille $a=a+0i$ ja $b=b+0i$ kompleksilukujen laskutoimitukset antavat samat tulokset kuin vastaavat reaaliset laskutoimitukset. Lisäksi seuraavan lauseen mukaan kaikkia tuttuja laskusääntöjä saa soveltaa myös kompleksilukuja käsiteltäessä

Lause.

Kun $x$ , $y$ ja $z$ ovat kompleksilukuja, niin

$x + y = y + x$ ja $xy = yx$ (vaihdantalait),
$x + (y + z) = (x + y) + z$ ja $x(yz) = (xy)z$ (liitäntälait),
$x(y + z) = xy + xz$ (osittelulaki).

Todistus.

Nämä voidaan todistaa suorilla laskuilla, kun sopivissa välivaiheissa sovelletaan reaalilukujen laskusääntöjä. Todistetaan esimerkkinä tulon vaihdantalaki. Merkitään $x=x_1+x_2i$ ja $y=y_1+y_2i$ . Tällöin

$\begin{split}\begin{aligned} xy&=(x_1+x_2i)(y_1+y_2i)=x_1y_1+x_1y_2i+x_2y_1i+x_2y_2i^2\\ &=y_1x_1+y_1x_2i+y_2x_1i+y_2x_2i^2=(y_1+y_2i)(x_1+x_2i)=yx.\end{aligned}\end{split}$

Muut kohdat vastaavasti. $\square$

Lause.

Jokaisella kompleksiluvulla $z\ne0$ on olemassa yksikäsitteinen käänteisluku (reciprocal) $z^{-1}$ , joka toteuttaa ehdon $zz^{-1}=1$ .

Todistus.

Käänteisluvun olemassaolo ja yksikäsitteisyys on todistettava erikseen. Olkoon $z=a+bi\ne0$ ja merkitään

$w=\frac{1}{a^2+b^2}(a-bi).$

Suoralla laskulla nähdään, että

$zw = \frac{1}{a^2 + b^2}(a + bi)(a - bi) = \frac{1}{a^2 + b^2}(a^2 - abi + abi - b^2i^2) = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1,$

eli luku $w$ toteuttaa käänteisluvun ehdon. Täten $z^{-1} = w$ on olemassa.

Yksikäsitteisyyden osoittamiseksi väitetään, että $u$ ja $v$ ovat luvun $z \not= 0$ käänteislukuja, eli esimerkiksi $uz = 1$ ja $zv = 1$ . Tällöin kuitenkin välttämättä

$u = u \cdot 1 = u(zv) = (uz)v = 1 \cdot v = v,$

eli luvut $u$ ja $v$ ovat samat. Täten käänteisluku on yksikäsitteinen. $\square$

Koska jokaiselle nollasta poikkeavalle kompleksiluvulle löytyy käänteisluku, niille on mahdollista määritellä jakolasku vastaavasti kuin reaaliluvuille.

Määritelmä.

Kompleksilukujen $z$ ja $w$ osamäärä (quotient) $\dfrac{z}{w}$ , missä $w\ne0$ , määritellään asettamalla

$\frac{z}{w}=zw^{-1}.$

Erityisesti $\dfrac{1}{w}=1 \cdot w^{-1}=w^{-1}$ .

Lemma.

Jos $z \not= 0$ ja $w \not= 0$ ovat kompleksilukuja, niin $(zw)^{-1} = z^{-1}w^{-1}$ , eli

$\frac1z\cdot\frac1w=\frac{1}{zw}.$

Todistus.

Määritelmän nojalla $zz^{-1}=1$ ja $ww^{-1}=1$ , joten tulon liitännäisyyden ja vaihdannaisuuden nojalla

$\begin{aligned} \left(zw\right)\left(z^{-1}w^{-1}\right)=z\left(wz^{-1}\right)w^{-1}=\left(zz^{-1}\right)\left(ww^{-1}\right)=1\cdot1=1.\end{aligned}$

Niinpä $z^{-1}w^{-1}$ on luvun $zw$ käänteisluku. $\square$

Tästä tuloksesta seuraa, että tavanomainen laventaminen ja supistaminen on luvallista myös kompleksiluvuilla. Jos $z\ne0$ , niin $zz^{-1} = 1$ ja siten

$\frac{v}{w} = \left(vw^{-1}\right)\left(zz^{-1}\right) = (vz)\left(w^{-1}z^{-1}\right) = (vz)\left(wz\right)^{-1} = \frac{vz}{wz}.$

Laventaminen tarjoaa yksinkertaisimman tavan etsiä kompleksiluvun käänteisluku. Suoralla laskulla voidaan tarkistaa, että $(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$ , missä $a$ ja $b$ ovat reaalisia. Tällöin myös luku $a^2 + b^2$ on reaalinen, eli

$\frac{1}{a + bi} = \frac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{1}{a^2 + b^2}(a - bi),$

joka on sama luku kuin aiemmassa todistuksessa.

Esimerkki.

Etsi luvun $2 + 3i$ käänteisluku muodossa $a + bi$ .
Ilmoita luku $\dfrac{3 - 4i}{-2 + i}$ muodossa $a + bi$ .
Ratkaise $z$ muodossa $a + bi$ yhtälöstä $(2 - i)z = 1 + i$ .

Ratkaisu.

Hyödynnetään sopivalla luvulla laventamista.

Lavennetaan luvulla $2 - 3i$ .

$(2+3i)^{-1}=\frac{1}{2+3i}=\frac{2-3i}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{2-3i}{4-9i^2}=\frac{2-3i}{13}=\frac{2}{13}-\frac{3}{13}i$
Lavennetaan luvulla $-2 - i$ .

$\frac{3-4i}{-2+i}=\frac{(3-4i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}=\frac{-10+5i}{5}=-2+i$
Ratkaisu on olemassa, sillä luvulla $2 - i$ on käänteisluku. Jaetaan yhtälö puolittain sillä ja lavennetaan luvulla $2 + i$ .

$z=\frac{1+i}{2-i}=\frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{1+3i}{5}=\frac15+\frac35i$