Liittoluku ja itseisarvo¶

Määritelmä.

Kompleksiluvun $z=a+bi$ liittoluku eli kompleksikonjugaatti (conjugate) $\overline{z}$ määritellään asettamalla

$\overline{z}=a-bi.$

Aiemmissa esimerkeissä lavennettiin siis aina nimittäjän liittoluvulla. Geometrisesti tulkittuna liittoluku on alkuperäisen kompleksiluvun peilikuva reaaliakselin suhteen. Jos kompleksiluvun imaginaariosa on negatiivinen, eli $b < 0$ , niin sen liittoluvun imaginaariosa $-b$ on positiivinen.

Esimerkki.

$\overline{-2-3i}=-2+3i$ .

Lause.

Jos $z$ ja $w$ ovat kompleksilukuja, niin

$\overline{\overline{z}}=z$
$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
$\overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}$
$\overline{\left(\dfrac{z}{w}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}\quad(w\ne 0)$
$z$ on reaalinen jos ja vain jos $z=\overline{z}$ .

Todistus.

Merkitään $z=a+bi$ ja $w=c+di$ ja todistetaan esimerkkinä kohdat 2 ja 4. Nyt

$\overline{z+w}=\overline{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)= \overline{z}+\overline{w}$

ja jos $w \not= 0$ , niin

$\overline{w^{-1}} = \overline{\frac{c}{c^2 + d^2} - \frac{d}{c^2 + d^2}i} = \frac{c}{c^2 + d^2} + \frac{d}{c^2 + d^2}i = \overline{w}^{-1}.$

Loput kohdasta 4 voidaan todistaa kohdan 3 avulla. Muut kohdat todistetaan samaan tapaan, ja lisäksi 1 ja 5 ovat geometrisesti ilmeisiä väittämiä. $\square$

Määritelmä.

Kompleksiluvun $z=a+bi$ itseisarvo eli moduli (absolute value, modulus) $|z|$ määritellään asettamalla

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$

Kun muistetaan kompleksiluvun tulkinta tasovektorina, on selvää että itseisarvon geometrinen vastine on luvun paikkavektorin pituus, eli luvun etäisyys origosta.

Esimerkki.

$\left|-2-3i\right|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$

Lause.

Jos $z$ ja $w$ ovat kompleksilukuja, niin

$|z|^2=z\overline{z}$
$|z|=0$ jos ja vain jos $z=0$
$|z|=|\overline{z}|$
$|zw|=|z||w|$
$\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}\quad(w\ne 0)$
$|z+w|\le|z|+|w|\quad$ (kolmioepäyhtälö)

Todistus.

Merkitään $z = a + bi$ ja todistetaan esimerkkinä kohdat 1 ja 4. Nyt

$z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2=|z|^2$

ja tätä hyödyntämällä nähdään, että

$|zw|^2=zw\overline{zw}=zw\overline{z}\,\overline{w} =z\overline{z}w\overline{w}=|z|^2|w|^2,$

eli $|zw| = |z||w|$ . Muut kohdista 1–5 todistetaan samaan tapaan. Kohta 6 on geometrisesti selvä, sillä lukua $|z+w|$ edustaa summavektorin pituus, kun $|z|$ ja $|w|$ ovat summattavien vektorien pituuksia. Nämä puolestaan muodostavat kuvan mukaisen kolmion, jossa intuitiivisesti kahden sivun pituuden summa on suurempi kuin kolmannen.

Täsmällisempi todistus sivuutetaan, sillä vastaava tulos käsitellään Euklidisen avaruuden vektoreille. $\square$

Huomautus.

Jos $z$ ja $w$ ovat kompleksilukuja, niin $|z - w|$ on niiden välinen etäisyys. Piirrä kuva, jonka avulla vakuutut asiasta.

Itseisarvoihin tai liittolukuihin liittyvän yhtälön tai epäyhtälön ratkaisut voidaan monesti selvittää merkitsemällä $z=x+yi$ , missä $x$ ja $y$ ovat reaalilukuja. Tällöin siirrytään tarkastelemaan vastaavia ratkaisuja $xy$ -koordinaatistossa.

Esimerkki.

Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt.

$\overline{z} - z = i\overline{z} + 4$
$\left|\dfrac{z - 2i}{z - 1}\right| = 1$
$|z - (2 + 3i)| = 2$
$|2z - \overline{z}| \leq 1$

Ratkaisu.

Merkitään kaikissa kohdissa $z = x + yi$ , missä $x$ ja $y$ ovat reaalilukuja.

Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

$\begin{split}\begin{aligned} &&x-yi-(x+yi)&=i(x-yi)+4\\ \Leftrightarrow&&-2yi&=xi+y+4\\ \Leftrightarrow&&-(y + 4)-(x + 2y)i&=0. \end{aligned}\end{split}$

Yhtälön vasen puoli on kompleksiluku, jonka reaali- ja imaginaariosan on oltava nolla. Täten $-(y + 4) = 0$ ja $-(x + 2y) = 0$ , eli $y = -4$ ja $x = -2y = 8$ . Sijoittamalla takaisin nähdään, että yhtälön ratkaisu on $z = 8 - 4i$ .
Jotta yhtälön vasen puoli olisi määritelty, on oltava $z \not= 1$ . Tällöin myös

$\left|\frac{z - 2i}{z - 1}\right| = \frac{|z - 2i|}{|z - 1|} = 1,$

eli $|z - 2i| = |z - 1|$ . Sijoituksen jälkeen yhtälö palautuu seuraavaan muotoon.

$\begin{split}\begin{aligned} &&|x+yi-2i|&=|x+yi-1|\\ \Leftrightarrow&&|x+(y-2)i|&=|(x-1)+yi|\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{x^2+(y-2)^2}&=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ \Rightarrow&&x^2+y^2-4y+4&=x^2-2x+1+y^2\\ \Leftrightarrow&&y&=\frac12x+\frac34 \end{aligned}\end{split}$

align: center

Ratkaisujoukko on kuvan mukainen suora kompleksitasossa. Geometrinen tulkinta yhtälölle $|z-2i|=|z-1|$ on, että haetaan kaikki ne pisteet $z$ , jotka ovat yhtä kaukana luvuista $2i$ ja $1$ .
Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

$\begin{split}\begin{aligned} &&|x+yi-(2+3i)|=|(x-2)+(y-3)i|&=2\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}&=2\\ \Rightarrow&&(x-2)^2+(y-3)^2&=4. \end{aligned}\end{split}$

align: center

Ratkaisujoukko on siis kompleksitason $2$ -säteinen ympyrä keskipisteenään $2 + 3i$ . Tämä voitaisiin päätellä myös suoraan aiemman huomautuksen avulla: itseisarvoyhtälön $|z - w| = r$ toteuttavat täsmälleen ne kompleksiluvut $z$ , joiden etäisyys luvusta $w$ on $r$ .
Sijoituksen jälkeen epäyhtälö saa muodon

$\begin{split}\begin{aligned} &&|2x+2yi-(x-yi)|=|x+3yi|&\le1\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{x^2 + (3y)^2}&\le1\\ \Rightarrow&&x^2+9y^2&\le1\\ \Leftrightarrow&&\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{\left(\frac13\right)^2}&\le1 \end{aligned}\end{split}$

align: center

Epäyhtälön toteuttavat siis ellipsin $x^2+9y^2=1$ sisäpuolelle jäävät kompleksiluvut $x + yi$ .