"

Liittoluku ja itseisarvo

Määritelmä.

Kompleksiluvun \(z=a+bi\) liittoluku eli kompleksikonjugaatti (conjugate) \(\overline{z}\) määritellään asettamalla

\[\overline{z}=a-bi.\]

Aiemmissa esimerkeissä lavennettiin siis aina nimittäjän liittoluvulla. Geometrisesti tulkittuna liittoluku on alkuperäisen kompleksiluvun peilikuva reaaliakselin suhteen. Jos kompleksiluvun imaginaariosa on negatiivinen, eli \(b < 0\), niin sen liittoluvun imaginaariosa \(-b\) on positiivinen.

../_images/kompleksikonjugaatti.svg

Esimerkki.

\(\overline{-2-3i}=-2+3i\).

Lause.

Jos \(z\) ja \(w\) ovat kompleksilukuja, niin

  1. \(\overline{\overline{z}}=z\)
  2. \(\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}\)
  3. \(\overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}\)
  4. \(\overline{\left(\dfrac{z}{w}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}\quad(w\ne 0)\)
  5. \(z\) on reaalinen jos ja vain jos \(z=\overline{z}\).
Todistus.

Merkitään \(z=a+bi\) ja \(w=c+di\) ja todistetaan esimerkkinä kohdat 2 ja 4. Nyt

\[\overline{z+w}=\overline{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)= \overline{z}+\overline{w}\]

ja jos \(w \not= 0\), niin

\[\overline{w^{-1}} = \overline{\frac{c}{c^2 + d^2} - \frac{d}{c^2 + d^2}i} = \frac{c}{c^2 + d^2} + \frac{d}{c^2 + d^2}i = \overline{w}^{-1}.\]

Loput kohdasta 4 voidaan todistaa kohdan 3 avulla. Muut kohdat todistetaan samaan tapaan, ja lisäksi 1 ja 5 ovat geometrisesti ilmeisiä väittämiä. \(\square\)

Määritelmä.

Kompleksiluvun \(z=a+bi\) itseisarvo eli moduli (absolute value, modulus) \(|z|\) määritellään asettamalla

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}.\]

Kun muistetaan kompleksiluvun tulkinta tasovektorina, on selvää että itseisarvon geometrinen vastine on luvun paikkavektorin pituus, eli luvun etäisyys origosta.

Esimerkki.

\(\left|-2-3i\right|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\)

Lause.

Jos \(z\) ja \(w\) ovat kompleksilukuja, niin

  1. \(|z|^2=z\overline{z}\)
  2. \(|z|=0\) jos ja vain jos \(z=0\)
  3. \(|z|=|\overline{z}|\)
  4. \(|zw|=|z||w|\)
  5. \(\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}\quad(w\ne 0)\)
  6. \(|z+w|\le|z|+|w|\quad\) (kolmioepäyhtälö)
Todistus.

Merkitään \(z = a + bi\) ja todistetaan esimerkkinä kohdat 1 ja 4. Nyt

\[z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2=|z|^2\]

ja tätä hyödyntämällä nähdään, että

\[|zw|^2=zw\overline{zw}=zw\overline{z}\,\overline{w} =z\overline{z}w\overline{w}=|z|^2|w|^2,\]

eli \(|zw| = |z||w|\). Muut kohdista 1–5 todistetaan samaan tapaan. Kohta 6 on geometrisesti selvä, sillä lukua \(|z+w|\) edustaa summavektorin pituus, kun \(|z|\) ja \(|w|\) ovat summattavien vektorien pituuksia. Nämä puolestaan muodostavat kuvan mukaisen kolmion, jossa intuitiivisesti kahden sivun pituuden summa on suurempi kuin kolmannen.

../_images/kompleksikolmioepayhtalo.svg

Täsmällisempi todistus sivuutetaan, sillä vastaava tulos käsitellään Euklidisen avaruuden vektoreille. \(\square\)

Huomautus.

Jos \(z\) ja \(w\) ovat kompleksilukuja, niin \(|z - w|\) on niiden välinen etäisyys. Piirrä kuva, jonka avulla vakuutut asiasta.

Itseisarvoihin tai liittolukuihin liittyvän yhtälön tai epäyhtälön ratkaisut voidaan monesti selvittää merkitsemällä \(z=x+yi\), missä \(x\) ja \(y\) ovat reaalilukuja. Tällöin siirrytään tarkastelemaan vastaavia ratkaisuja \(xy\)-koordinaatistossa.

Esimerkki.

Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt.

  1. \(\overline{z} - z = i\overline{z} + 4\)
  2. \(\left|\dfrac{z - 2i}{z - 1}\right| = 1\)
  3. \(|z - (2 + 3i)| = 2\)
  4. \(|2z - \overline{z}| \leq 1\)
Ratkaisu.

Merkitään kaikissa kohdissa \(z = x + yi\), missä \(x\) ja \(y\) ovat reaalilukuja.

  1. Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

    \[\begin{split}\begin{aligned} &&x-yi-(x+yi)&=i(x-yi)+4\\ \Leftrightarrow&&-2yi&=xi+y+4\\ \Leftrightarrow&&-(y + 4)-(x + 2y)i&=0. \end{aligned}\end{split}\]

    Yhtälön vasen puoli on kompleksiluku, jonka reaali- ja imaginaariosan on oltava nolla. Täten \(-(y + 4) = 0\) ja \(-(x + 2y) = 0\), eli \(y = -4\) ja \(x = -2y = 8\). Sijoittamalla takaisin nähdään, että yhtälön ratkaisu on \(z = 8 - 4i\).

  2. Jotta yhtälön vasen puoli olisi määritelty, on oltava \(z \not= 1\). Tällöin myös

    \[\left|\frac{z - 2i}{z - 1}\right| = \frac{|z - 2i|}{|z - 1|} = 1,\]

    eli \(|z - 2i| = |z - 1|\). Sijoituksen jälkeen yhtälö palautuu seuraavaan muotoon.

    \[\begin{split}\begin{aligned} &&|x+yi-2i|&=|x+yi-1|\\ \Leftrightarrow&&|x+(y-2)i|&=|(x-1)+yi|\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{x^2+(y-2)^2}&=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ \Rightarrow&&x^2+y^2-4y+4&=x^2-2x+1+y^2\\ \Leftrightarrow&&y&=\frac12x+\frac34 \end{aligned}\end{split}\]
    ../_images/kompleksisuora.svg
    align:center

    Ratkaisujoukko on kuvan mukainen suora kompleksitasossa. Geometrinen tulkinta yhtälölle \(|z-2i|=|z-1|\) on, että haetaan kaikki ne pisteet \(z\), jotka ovat yhtä kaukana luvuista \(2i\) ja \(1\).

  3. Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

    \[\begin{split}\begin{aligned} &&|x+yi-(2+3i)|=|(x-2)+(y-3)i|&=2\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}&=2\\ \Rightarrow&&(x-2)^2+(y-3)^2&=4. \end{aligned}\end{split}\]
    ../_images/kompleksiympyra.svg
    align:center

    Ratkaisujoukko on siis kompleksitason \(2\)-säteinen ympyrä keskipisteenään \(2 + 3i\). Tämä voitaisiin päätellä myös suoraan aiemman huomautuksen avulla: itseisarvoyhtälön \(|z - w| = r\) toteuttavat täsmälleen ne kompleksiluvut \(z\), joiden etäisyys luvusta \(w\) on \(r\).

  4. Sijoituksen jälkeen epäyhtälö saa muodon

    \[\begin{split}\begin{aligned} &&|2x+2yi-(x-yi)|=|x+3yi|&\le1\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{x^2 + (3y)^2}&\le1\\ \Rightarrow&&x^2+9y^2&\le1\\ \Leftrightarrow&&\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{\left(\frac13\right)^2}&\le1 \end{aligned}\end{split}\]
    ../_images/kompleksiellipsi.svg
    align:center

    Epäyhtälön toteuttavat siis ellipsin \(x^2+9y^2=1\) sisäpuolelle jäävät kompleksiluvut \(x + yi\).