Polynomi¶

Kompleksikertoiminen polynomi määritellään kuten vastaava reaalikertoiminen polynomi: astetta \(n\) oleva polynomi (polynomial) \(p\) on muuttujan \(x\) lauseke

\[p=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0,\]

missä kertoimet (coefficients) \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) ovat kompleksisia vakioita ja korkeimman asteen termin kerroin \(a_n\ne0\). Jos \(n=0\) kyseessä on nollannen asteen polynomi eli vakiopolynomi \(p=a_0\), missä \(a_0 \not= 0\). Nollapolynomin \(p = 0\) aste on \(-\infty\). Polynomin \(p\) astetta merkitään usein \(\deg p\).

Merkinnällä \(p(z)\), missä \(z\) on kompleksiluku, tarkoitetaan polynomin \(p\) arvoa (value) pisteessä \(z\), ja se voidaan selvittää kirjoittamalla muuttujan \(x\) paikalle luku \(z\) ja sieventämällä syntyvä lauseke. Jos halutaan selventää, minkä muuttujan polynomista on kyse, voidaan merkitä \(p = p(x)\). Kompleksilukua \(z\) kutsutaan polynomin \(p\) nollakohdaksi (zero), jos \(p(z)=0\). Polynomiyhtälön \(p(x)=0\) ratkaisua kutsutaan myös juureksi (root).

Esimerkki.

Polynomin \(p=7x^5-ix^2+3x+1+i\) aste \(\deg p = 5\) ja sen arvo pisteessä \(i\) on

\[p(i)=7i^5-i^3+3i+1+i=1+12i.\]
Toisen ja kolmannen asteen polynomien \(x^2+1\) ja \(3x^3-2x+1\) tulo on viidennen asteen polynomi

\[(x^2+1)(3x^3-2x+1)=3x^5+x^3+x^2-2x+1.\]

Lemma.

Jos \(a\) ja \(b\) ovat kompleksilukuja ja \(n\) luonnollinen luku, niin

\[a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}).\]

Erityisesti voidaan kirjoittaa seuraavat kaavat.

\[\begin{split}\begin{aligned} a^1-b^1&=(a-b)\\ a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\ a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2)\end{aligned}\end{split}\]

Todistus.

Väite voidaan todistaa suoralla laskulla

\[\begin{split}\begin{aligned} &(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})\\ &=a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}\\ &\mspace{34mu}-(a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+a^{n-3}b^3+\cdots+ab^{n-1}+b^n)\\ &=a^n-b^n,\end{aligned}\end{split}\]

missä \(a\), \(b\) ja \(n\) ovat mielivaltaisia väitteen mukaisia lukuja. \(\square\)

Lause.

Jos polynomin \(p\) aste \(\deg p = n \geq 1\) ja kompleksiluku \(z\) on sen nollakohta, niin polynomi \(x - z\) jakaa polynomin \(p\). Toisin sanoen

\[p = (x - z)q,\]

missä \(q\) on polynomi ja sen aste \(\deg q = n-1\).

Todistus.

Merkitään \(p=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\). Nyt, koska \(z\) on polynomin \(p\) nollakohta,

\[\begin{aligned} p &= p - 0 = p - p(z) =a_n(x^n-z^n)+a_{n-1}(x^{n-1}-z^{n-1})+\cdots+a_1(x-z)+(a_0-a_0).\end{aligned}\]

Mutta tässä lausekkeessa jokaista \(k = 1, 2, \ldots, n\) kohti voidaan kirjoittaa

\[\begin{aligned} x^k-z^k&=(x-z)(x^{k - 1} + x^{k - 2}z + \cdots + xz^{k - 2} + z^{k - 1})=(x-z)q_{k},\end{aligned}\]

missä kunkin polynomin \(q_k = x^{k - 1} + x^{k - 2}z + \cdots + xz^{k - 2} + z^{k - 1}\) aste on \(k - 1\). Niinpä polynomin \(p\) esitys voidaan kirjoittaa muodossa

\[p=(x-z)(q_n+q_{n-1}+\cdots+q_2+q_1)=(x - z)q,\]

missä polynomin \(q = q_n + \cdots + q_1\) aste on \(n-1\). \(\square\)

Edellä mainittu polynomi \(q\) on jakolaskun \(p/(x-z)\) tulos, ja se voidaan etsiä käytännössä jakokulma-algoritmin (long division) avulla. Jos \(z\) on polynomin \(p\) nollakohta, jako menee tasan. Yleisemmin jako ei mene tasan, jolloin voidaan kirjoittaa

\[p = (x - z)q + r,\]

missä polynomi \(r\) on jakojäännös (vertaa kokonaislukujen jakoyhtälöön).

Esimerkki.

Tarkastellaan polynomia \(p=x^3+3x^2-11x+2\). Sen arvo pisteessä \(2\) on

\[p(2) = 8 + 3 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 2 = 0,\]

joten \(2\) on polynomin \(p\) nollakohta ja \(x-2\) on sen tekijä. Lasketaan osamäärä vaiheittain jakokulmassa.

\[\begin{split}\begin{array}{r@{}l} &\;\phantom{x^3 + 3}x^2\\ x-2\;|&\overline{\;x^3+3x^2-11x+2} \\ &\underline{\;x^3-2x^2} \\ &\;\phantom{x^3 + }\,\;5x^2-11x \end{array}\end{split}\]

Koska jakaja \(x - 2\) koostuu kahdesta termistä, jakokulmassa käsitellään kahta termiä kerrallaan. Korkeimman asteen termiksi tulee \(x^2\), sillä tulon \(x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2\) korkeimman asteen termi on sama kuin käsiteltävässä binomissa. Vähennyslaskun jälkeen voidaan ottaa polynomin \(p\) seuraava termi mukaan käsittelyyn.

\[\begin{split}\begin{array}{r@{}l} &\;\phantom{x^3 + 3}x^2 + \phantom{1}5x\\ x-2\;|&\overline{\;x^3+3x^2-11x+2} \\ &\underline{\;x^3-2x^2} \\ &\;\phantom{x^3 + }\,\;5x^2-11x \\ &\;\phantom{x^3 + }\,\underline{\;5x^2-10x} \\ &\;\phantom{x^3 + 3x^2 }-\phantom{10}x+2 \end{array}\end{split}\]

Seuraavaksi korkeimman asteen termiksi tulee \(5x\), sillä tulon \(5x(x - 2) = 5x^2 - 10x\) korkeimman asteen termi on sama kuin käsiteltävässä binomissa. Vähennyslaskun jälkeen voidaan ottaa polynomin \(p\) seuraava termi mukaan käsittelyyn.

\[\begin{split}\begin{array}{r@{}l} &\;\phantom{x^3 + 3}x^2 + \phantom{1}5x - 1\\ x-2\;|&\overline{\;x^3+3x^2-11x+2} \\ &\underline{\;x^3-2x^2} \\ &\;\phantom{x^3 + }\,\;5x^2-11x \\ &\;\phantom{x^3 + }\,\underline{\;5x^2-10x} \\ &\;\phantom{x^3 + 3x^2 }-\phantom{10}x+2 \\ &\,\phantom{x^3 + 3x^2 }\underline{\;-\phantom{10}\;x+2}\\ &\;\;\,\phantom{x^3 + 3x^2 - 11x + }0 \end{array}\end{split}\]

Seuraavaksi korkeimman asteen termiksi tulee \(-1\), sillä tulon \(-1 \cdot (x - 2) = -x + 2\) korkeimman asteen termi on sama kuin käsiteltävässä binomissa. Vähennyslaskun tulos on matalampaa astetta kuin jakaja, joten päätetään jakoalgoritmi. Jakojäännös on \(0\), eli jako menee tasan ja \(p=(x-2)(x^2+5x-1)\).

Esimerkki.

Tutkitaan polynomin \(3x^3 - 2x^2 + 5\) jaollisuutta polynomilla \(x^2 - 1\) jakokulman avulla. Koska jaettavasta ja jakajasta puuttuu ensimmäisen asteen termi, lisätään sellaiset keinotekoisesti. Nyt jakaja koostuu kolmesta termistä, joten jakokulmassa käsitellään kolmea termiä kerrallaan. Algoritmi etenee vastaavasti kuin edellisessä esimerkissä.

\[\begin{split}\begin{array}{r@{}l} &\;\phantom{3x^3 - 2x^2 + }\;\;5x - 1\\ x^2 + 0x - 1\;|&\overline{\;3x^3-2x^2+0x+5} \\ &\underline{\;3x^3+0x^2-3x} \\ &\;\phantom{3x^3}-2x^2+3x+5 \\ &\;\phantom{3x^3}\underline{\;-\,2x^2+0x+2} \\ &\;\;\,\phantom{3x^3 - 2x^2 + }3x+3 \end{array}\end{split}\]

Viimeisen vähennyslaskun tulos on matalampaa astetta kuin jakaja, joten päätetään jakoalgoritmi. Jakojäännös on \(3x + 3\), eli jako ei mene tasan. Tällöin

\[p = (x^2 - 1)(3x - 2) + 3x + 3,\]

kuten laskemalla voi tarkistaa.

Lause.

Jokaisella vähintään ensimmäistä astetta olevalla polynomilla on ainakin yksi nollakohta kompleksitasossa.

Todistus.

Sivuutetaan tässä. Tälle niinsanotulle algebran peruslauseelle on olemassa monta eri todistusta, joista jokainen vaatii työkaluikseen hieman kompleksimuuttujan funktioiden teoriaa. Eräs helppolukuisemmista todistuksista on julkaistu Matematiikkalehti Solmussa. \(\square\)

Määritelmä.

Olkoon \(p\) polynomi ja \(k\) luonnollinen luku. Jos \(p=(x-z)^kq\), missä \(q\ne0\) on polynomi, niin kompleksiluku \(z\) on polynomin \(p\) \(k\)-kertainen nollakohta.

Esimerkki.

Polynomilla

\[p=x^3-4x^2-3x+18=(x+2)(x-3)^2=(x+2)(x-3)(x-3)\]

on yksinkertainen nollakohta \(-2\) ja kaksinkertainen nollakohta \(3\). Monikerrat huomioiden voidaan sanoa myös, että polynomin \(p\) nollakohdat ovat \(-2\), \(3\) ja \(3\).

Algebran peruslauseesta, eli vähintään yhden nollakohdan olemassaolosta seuraa myös \(n\):n nollakohdan olemassaolo.

Lause.

Polynomilla \(p=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\), jonka aste \(\deg p = n\), on monikerrat huomioiden täsmälleen \(n\) kompleksista nollakohtaa. Jos nollakohdat ovat \(z_1, \ldots, z_n\), niin polynomi \(p\) voidaan esittää muodossa

\[p=a_n(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n).\]

Todistus.

Algebran peruslauseen mukaan polynomilla \(p\) on vähintään yksi nollakohta. Merkitään täksi nollakohdaksi \(z_1\), jolloin binomi \(x - z_1\) jakaa polynomin \(p\), eli

\[p=(x-z_1)q_{1},\]

missä polynomin \(q_{1}\) aste on \(n-1\). Algebran peruslauseen mukaan polynomilla \(q_{1}\) on kompleksinen nollakohta \(z_2\), joten \(q_1 = (x - z_2)q_2\) ja

\[\begin{aligned} p=(x-z_1)(x-z_2)q_{2}(x),\end{aligned}\]

missä polynomin \(q_{2}\) aste on \(n-2\). Menettelyä voidaan jatkaa kunnes viimeisenä saadun osamäärän \(q_n\) aste on nolla. Samalla on tuotettu täsmälleen \(n\) nollakohtaa polynomille \(p\). Tällöin \(q_n\) on vakiopolynomi \(c\) ja polynomi \(p\) voidaan kirjoittaa tulona

\[p=(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n)q_n = c(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n).\]

Jos nyt tämä tulo lasketaan, tuloksena syntyvän polynomin \(n\). asteen termiksi saadaan \(cx^n\). Sen on kuitenkin oltava sama kuin polynomin \(p\) korkeimman asteen termi \(a_nx^n\), eli \(c=a_n\) ja väitteen viimeinen osa on todistettu. \(\square\)

Matala-asteisten polynomien tapauksessa voidaan löytää yleisiä ratkaisukaavoja, joissa nollakohdat määräytyvät suoraan polynomin kertoimista.

Lause.

Toisen asteen polynomiyhtälön \(ax^2 + bx + c = 0\) juuret ovat

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

missä \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) tarkoittaa kompleksiluvun \(b^2 - 4ac\) toista juurta.

Todistus.

Jotta yhtälö todella olisi toista astetta, oletetaan että \(a \not= 0\). Tällöin yhtälön vasen puoli voidaan täydentää neliöksi seuraavalla tavalla.

\[\begin{split}\begin{aligned} && ax^2+bx+c&=0\\ \Leftrightarrow&& 4a^2x^2+4abx+4ac&=0\\ \Leftrightarrow&& (2ax)^2+2(2a)(b)x+b^2&=b^2-4ac\\ \Leftrightarrow&& (2ax+b)^2&=b^2-4ac\end{aligned}\end{split}\]

Kompleksiluvulla \(\Delta = b^2 - 4ac\) on napakoordinaattiesitys \(\Delta = |\Delta|e^{i\theta}\), missä \(\theta = \arg\Delta\). Täten sen toiset juuret ovat

\[w_0 = \sqrt{|\Delta|}e^{i\theta/2}\qquad\text{ja}\qquad w_1 = \sqrt{|\Delta|}e^{i\theta/2 + i\frac{2\pi}{2}} = w_0e^{i\pi}.\]

Tässä kuitenkin \(e^{i\pi} = -1\), joten \(w_1 = -w_0\). Merkitään esimerkiksi juurta \(w_0 = \sqrt{b^2 - 4ac}\), jolloin yhtälön ratkaisut voidaan esittää muodossa

\[2ax + b = \sqrt{b^2 - 4ac} \qquad\text{tai}\qquad 2ax + b = -\sqrt{b^2 - 4ac}.\]

Näiden lineaaristen yhtälöiden ratkaisut voidaan kirjoittaa lyhyesti muodossa

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

\(\square\)

Huomautus.

Reaalisten kertoimien tapauksessa yhtälöllä \(ax^2 + bx + c = 0\) on reaaliset ratkaisut vain, jos \(\Delta = b^2 - 4ac \geq 0\). Tällöin ei myöskään tarvitse tehdä eroa luvun \(\Delta\) toisen juuren ja neliöjuuren välille. Tapauksessa \(\Delta < 0\) ratkaisukaavan käyttämiseksi on etsittävä negatiivisen reaaliluvun toiset juuret. Napakoordinaateissa \(\Delta = |\Delta|e^{i\pi}\), joten luvun \(\Delta\) toiset juuret ovat \(w_0 = \sqrt{|\Delta|}e^{i\frac{\pi}{2}} = i\sqrt{|\Delta|}\) ja \(w_1 = -i\sqrt{|\Delta|}\). Merkitsemällä

\[\sqrt{b^2 - 4ac} = w_0 = i\sqrt{|\Delta|} = i\sqrt{4ac - b^2}\]

nähdään, että ratkaisut ovat

\[x = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}.\]

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö

\(2x^2 + 4x - 3 = 0\),
\(4x^2 - 4x + 3 = 0\),
\(x^2 + 2ix - i\sqrt{3} = 0\).

Ratkaisu.

Ratkaisukaavalla \(x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = -1 \pm \dfrac{\sqrt{10}}{2}\).
Ratkaisukaavalla

\[x = \dfrac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-32}}{8} = \dfrac{4 \pm i\sqrt{32}}{8} = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}i.\]

Jos ratkaisukaavan juuren alle jäävä luku on negatiivinen, voidaan käyttää muistisääntöä \(\sqrt{-1} = \pm i\) kompleksisten ratkaisujen esittämiseksi.
Ratkaisukaavalla

\[x = \frac{-2i \pm \sqrt{(2i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-i\sqrt{3})}}{2 \cdot 1} = -i \pm \sqrt{-1 + i\sqrt{3}}.\]

Tässä \(\sqrt{-1 + i\sqrt{3}}\) tarkoittaa luvun \(-1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}\) toista juurta, jolloin voidaan valita esimerkiksi

\[\sqrt{-1 + i\sqrt{3}} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i.\]

Täten yhtälön ratkaisut ovat

\[x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - 2}{2}i\qquad\text{ja}\qquad x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} + 2}{2}i.\]

Myös kolmannen ja neljännen asteen polynomien nollakohdille on olemassa yleiset algebralliset ratkaisukaavat. Näissä tapauksissa juurten hakeminen tapahtuu kuitenkin jo useassa vaiheessa, ja mainittujen ratkaisukaavojen monimutkaisuuden vuoksi niitä ei kuitenkaan juuri käytetä. Kuuluisa Abel-Ruffinin lause toteaa lisäksi, että viidennen ja sitä korkeamman asteen polynomiyhtälöille ei ole olemassa yleistä ratkaisukaavaa.

Polynomin tekijöihinjako tarjoaa eräänlaisen juurtenhakualgoritmin. Ensin etsitään yksi juuri arvaamalla ja kokeilemalla, jonka jälkeen tehdään jakolasku vastaavalla binomilla. Tuloksena on matalampiasteinen polynomi, jolle prosessi voidaan toistaa. Algoritmi jatkuu, kunnes tekijäksi saadaan toisen asteen polynomi, ja sen juuret haetaan lopuksi ratkaisukaavalla. Käsin laskettaessa menetelmä ei käytännössä ole käyttökelpoinen, jos ei ole tehokasta keinoa arvata uutta juurta. Tietokoneella voidaan arvauksen sijaan arvioida seuraavaa juurta numeerisesti, ja monet laskennalliset polynomin juurtenhakualgoritmit perustuvatkin tähän yksinkertaiseen runkoon.

Esimerkki.

Hae polynomien \(p = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x - \frac{3}{2}\) ja \(q = x^3 - 6x^2 + 21x - 26\) nollakohdat ja jaa ne tekijöihin.

Ratkaisu.

Polynomin \(p\) tapauksessa havaitaan, että

\[p(-1) = (-1)^3 + \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - \frac{3}{2} = 0,\]

eli \(-1\) on eräs sen nollakohdista. Binomi \(x + 1\) siis jakaa polynomin \(p\), ja jakolaskun tuloksena

\[p = (x + 1)\left(x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\right).\]

Toisen asteen tekijän nollakohdat ovat

\[x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{4},\]

eli \(\frac{3}{2}\) ja \(-1\), jolloin

\[p = (x + 1)\left(x - \frac{3}{2}\right)(x + 1) = (x + 1)^2\left(x - \frac{3}{2}\right).\]

Polynomille \(q\) puolestaan

\[q(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 21 \cdot 2 - 26 = 0,\]

eli \(2\) on eräs sen nollakohdista. Täten laskemalla osamäärä jakokulmassa havaitaan, että

\[q = (x - 2)(x^2 - 4x + 13).\]

Toisen asteen tekijän nollakohdat ovat

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = 2 \pm 3i,\]

joten

\[q = (x - 2)(x - (2 + 3i))(x - (2 - 3i)).\]

Helposti kokeiltavien juurten lukumäärää voi erityistapauksissa yrittää rajoittaa seuraavan lauseen avulla.

Lause.

Jos polynomilla \(p=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\), missä kertoimet \(a_0, \ldots, a_n\) ovat kokonaislukuja, on rationaalijuuri \(\frac{a}{b}\) supistetussa muodossa, niin \(a\) jakaa kertoimen \(a_0\) ja \(b\) jakaa kertoimen \(a_n\).

Todistus.

Oletetaan, että mainitulla polynomilla \(p\) on juuri \(\frac{a}{b}\), missä kokonaislukujen \(a\) ja \(b\) suurin yhteinen tekijä on \(1\). Tällöin

\[\begin{aligned} p\left(\frac{a}{b}\right)=a_n\left(\frac{a}{b}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(\frac{a}{b}\right)+a_0=0.\end{aligned}\]

Kerrotaan tämän yhtälön molemmat puolet luvulla \(b^n\).

\[a_na^n + a_{n - 1}a^{n - 1}b + \cdots + a_1ab^{n - 1} + a_0b^n = 0\]

Tästä on mahdollista kirjoittaa yhtälöt

\[\begin{split}\begin{aligned} a_0b^n &= a\left(-a_na^{n - 1} - a_{n - 1}a^{n - 2}b - \cdots - a_1b^{n - 1}\right) = ak \\ a_na^n &= b\left(-a_0b^{n - 1} - a_1ab^{n - 2} - \cdots - a_{n - 1}a^{n - 1}\right) = bl,\end{aligned}\end{split}\]

missä sulkulausekkeita edustavat luvut \(k\) ja \(l\) ovat kokonaislukuja. Tämän vuoksi luku \(a\) jakaa tulon \(a_0b^n\) ja \(b\) jakaa tulon \(a_na^n\). Tarkastellaan ensin lukua \(a\), jonka täytyy nyt olla luvun \(a_0\) tai \(b\) tekijä. Näistä jälkimmäinen on mahdotonta, sillä oletuksen nojalla luvuilla \(a\) ja \(b\) ei ole yhteisiä tekijöitä. Täten \(a\) jakaa luvun \(a_0\). Vastaavasti luvun \(b\) on jaettava \(a_n\) tai \(a\), joista jälkimmäinen on mahdotonta, ja täten \(b\) on luvun \(a_n\) tekijä. \(\square\)

Esimerkki.

Hae polynomin \(p=6x^3+13x^2-4\) rationaalijuuret.

Ratkaisu.

Jos rationaaliluku \(\frac{a}{b}\) on polynomin \(p\) juuri, niin \(a\) voi olla vain jokin luvuista \(\pm 1\), \(\pm 2\) tai \(\pm 4\), ja \(b\) voi olla vain jokin luvuista \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 3\) tai \(\pm 6\). Näiden yhdistelminä saadaan erillisiksi kandidaateiksi

\[\pm 1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{6}, \pm 2, \pm\frac{2}{3}, \pm 4, \pm\frac{4}{3}.\]

Nämä läpi käymällä havaitaan, että luvut \(-2\), \(-\frac{2}{3}\) ja \(\frac{1}{2}\) ovat juuria, jolloin ne ovat myös ainoat rationaalijuuret. Itse asiassa, koska \(\deg p = 3\), ne ovat täsmälleen kaikki polynomin \(p\) juuret.

On huomattava, että kokonaislukukertoimisella polynomilla ei aina ole yhtään rationaalijuurta, kuten esimerkki \(x^2-2\) osoittaa.

Reaalikertoimisten polynomien kompleksiset nollakohdat käyttäytyvät vieläkin ennustettavammin kuin edellä käsitellyt rationaaliset nollakohdat.

Lause.

Jos kompleksiluku \(z\) on reaalikertoimisen polynomin \(p\) nollakohta, niin myös \(\overline{z}\) on saman polynomin nollakohta.

Todistus.

Merkitään \(p = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0\), missä kaikki kertoimet ovat reaalisia. Tämän vuoksi \(\overline{a_i} = a_i\) jokaisella \(i = 0, 1, \ldots, n\). Jos nyt \(p(z) = 0\), niin liittoluvun ominaisuuksien nojalla

\[\begin{split}\begin{aligned} p(\overline{z})&=a_n\overline{z}^n+\cdots+a_1\overline{z}+a_0\\ &=\overline{a_n}\cdot\overline{z^n}+\cdots+\overline{a_1}\cdot\overline{z}+\overline{a_0}\\ &=\overline{a_nz^n}+\cdots+\overline{a_1z}+\overline{a_0}\\ &=\overline{a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0}\\ &=\overline{p(z)}=\overline{0}=0\end{aligned}\end{split}\]

ja täten \(\overline{z}\) on myös juuri. \(\square\)

Huomautus.

Edellinen tulos on voimassa ainoastaan reaalikertoimisille polynomeille! Lisäksi reaalisen juuren \(z\) tapauksessa liittoluku \(\overline{z} = z\) on sama, eikä samaan pisteeseen syntyvä moninkertainen juuri.

Lause.

Reaalikertoiminen polynomi \(p=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) voidaan jakaa ensimmäisen ja toisen asteen reaalikertoimisiin tekijöihin seuraavasti:

\[p=a_n(x-x_1)^{m_1}\cdots(x-x_k)^{m_k}(x^2+b_1x+c_1)^{n_1}\cdots(x^2+b_lx+c_l)^{n_l},\]

missä \(x_1,\ldots,x_k\) ovat polynomin \(p\) erilliset reaaliset nollakohdat, \(m_1,\ldots,m_k\) niiden kertaluvut, ja polynomeilla \(x^2+b_ix+c_i\), \(i = 1, \ldots, l\) ei ole reaalisia nollakohtia.

Todistus.

Olkoot \(x_1, \ldots, x_k\) polynomin \(p\) erilliset reaaliset ja \(z_1, \overline{z}_1, \ldots, z_l, \overline{z}_l\) sen erilliset imaginaariset nollakohdat. Olkoot lisäksi \(m_1, \ldots, m_k\) ja \(n_1, \ldots, n_l\) niiden kertaluvut samassa järjestyksessä, jolloin tekijöihinjaon vuoksi

\[\begin{split}\begin{aligned} p&=a_n(x-x_1)^{m_1}\cdots(x-x_k)^{m_k}\cdot(x-z_1)^{n_1}(x-\overline{z}_1)^{n_1}\cdots(x-z_l)^{n_l}(x-\overline{z}_l)^{n_l}\\ &=a_n(x-x_1)^{m_1}\cdots(x-x_k)^{m_k}\cdot((x-z_1)(x-\overline{z}_1))^{n_1}\cdots((x-z_l)(x-\overline{z}_l))^{n_l}.\end{aligned}\end{split}\]

Reaalijuuria koskeva osuus on täten jo todistettu, ja loput väitteestä seuraa siitä, että jokaista \(i = 1, \ldots, l\) kohti tulo

\[\begin{aligned} (x-z_i)(x-\overline{z}_i)=x^2-(z_i+\overline{z}_i)x+z_i\overline{z}_i =x^2-(2\operatorname{Re}z_i)x+|z_i|^2\end{aligned}\]

on toisen asteen polynomi, jonka kertoimet \(b_i=-2\operatorname{Re}z_i\) ja \(c_i=|z_i|^2\) ovat reaalisia. \(\square\)