Kompleksiluvun juuret¶

Määritelmä.

Olkoon $n$ luonnollinen luku. Kompleksiluvun $z \not= 0$ $n$ :s juuri (root) on mikä tahansa kompleksiluku $w$ , joka toteuttaa yhtälön

$w^n=z.$

Reaaliluvun $y$ reaalijuuria tarkasteltaessa voidaan tunnistaa seuraavat, kuvan avulla helposti muistettavat tapaukset.

Jos $n$ on pariton, on täsmälleen yksi reaalinen juuri $\sqrt[n]{y}$ .
Jos $n$ on parillinen ja $y < 0$ , ei ole reaalisia juuria.
Jos $n$ on parillinen ja $y>0$ , on täsmälleen kaksi reaalista juurta $-\sqrt[n]{y}$ ja $\sqrt[n]{y}$ .

Esimerkki.

Luvun $-1$ eräät toiset juuret ovat $i$ ja $-i$ , sillä

$i^2=-1\qquad\text{ja}\qquad (-i)^2=i^2=-1.$

Löydätkö muita kompleksilukuja, joiden neliö on $-1$ ?
Luvun $-8 = 8e^{i\pi}$ eräs kolmas juuri on $2e^{i\pi/3}$ , sillä

$\left(2e^{i\pi/3}\right)^3=2^3e^{i(\pi/3)\cdot 3}=8e^{i\pi}=-8.$

Mitkä muut luvut voisivat olla reaaliluvun $-8$ kolmansia juuria? Ovatko ne kaikki kompleksisia?

Jos tarkastellaan vain reaalilukuja, mahdollinen juurten lukumäärä vaihtelee nollasta kahteen. Kompleksilukujen mukaan ottaminen ikäänkuin täydentää juurten etsimisen teorian, sillä tällöin jokaisella luvulla on täsmälleen $n$ kappaletta $n$ :siä juuria.

Lause.

Kompleksiluvulla $z=re^{i\theta}\ne0$ on täsmälleen $n$ erisuurta $n$ :ttä juurta, jotka sijaitsevat $\sqrt[n]{r}$ -säteisellä origokeskisellä ympyrällä tasaisesti kulman $\frac{2\pi}{n}$ välein.

Todistus.

Oletetaan, että kompleksiluku $se^{i\varphi}$ on luvun $z$ $n$ :s juuri, jolloin on siis oltava $s^ne^{in\varphi} = z = re^{i\theta}$ . Jotta kaksi kompleksilukua voisivat olla yhtä suuria, niiden itseisarvojen on oltava samat. Tästä päätellään, että $s^n = r$ . Tässä $r > 0$ on reaaliluku, joten reaalinen $n$ :s juuri on olemassa. Lisäksi luvun $s$ on oltava myös positiivinen, sillä se on kompleksiluvun itseisarvo. Siis $s = \sqrt[n]{r}$ .

Myös molempien lukujen eksponenttiosien on oltava yhtä suuret, eli $e^{in\varphi} = e^{i\theta}$ . Tämä ehto toteutuu varmasti, jos $n\varphi = \theta$ . Muistetaan kuitenkin, että kompleksiluvun argumentti ei ole yksikäsitteinen, vaan sitä voidaan aina kasvattaa tai vähentää luvun $2\pi$ verran aiheuttamatta muutoksia. Tämän vuoksi siis yleisesti $n\varphi = \theta + 2\pi k$ , missä $k$ on kokonaisluku. Argumentti saadaan ratkaistua jakamalla luvulla $n$ , jolloin siis luvun $z = re^{i\theta}$ $n$ :net juuret ovat muotoa

$w_k = \sqrt[n]{r}e^{i(\theta + 2\pi k)/n},$

missä $k$ on kokonaisluku. Koska kaikkien juurten itseisarvo on $\sqrt[n]{r}$ , ne kaikki sijaitsevat $\sqrt[n]{r}$ -säteisellä origokeskisellä ympyrällä. Jokainen parametrin $k$ valinta ei tuota erillistä juurta, sillä

$w_{k + n} = \sqrt[n]{r}e^{i(\theta + 2\pi(k + n))/n} = \sqrt[n]{r}e^{i(\theta + 2\pi k)/n + i2\pi} = \sqrt[n]{r}e^{i(\theta + 2\pi k)/n} = w_k.$

Yhteensä $n$ eri juurta saadaan siis tuotettua valitsemalla luvuksi $k$ esimerkiksi kokonaisluvut $0, 1, 2, \ldots, n - 1$ . Peräkkäisten juurten vaihe-ero on

$\frac{\theta + 2\pi(k + 1)}{n} - \frac{\theta + 2\pi k}{n} = \frac{2\pi}{n},$

kuten väitettiinkin. $\square$

Huomautus.

Kompleksiluvun $z$ $n$ :ttä juurta merkitään joskus $z^{1/n}$ tai $\sqrt[n]{z}$ . Näiden merkintöjen kanssa on kuitenkin oltava varovainen, sillä juuria on $n$ kappaletta. Erityisesti tällä merkintätavalla $\sqrt{-1}=i$ ja $\sqrt{-1}=-i$ , mutta silti $i \not= -i$ !

Käytännössä kompleksiluvun $re^{i\theta}$ juuret voi etsiä suoraan edellä esitetyn kaavan avulla, kun parametrin $k$ arvoa vaihtelee sopivasti. Toinen helppo keino hakea yksi juuri kirjoittamalla suoraan

$w_0 = \sqrt[n]{r}e^{i\theta/n}$

ja muistaa, että loput juuret löytyvät kasvattamalla tämän argumenttia $\frac{2\pi}{n}$ kerrallaan. Olennaisinta on kuitenkin, että kompleksiluvun juuret on ylivoimaisesti helpoin löytää eksponenttimuodon avulla! Kuvan piirtäminen selventää useissa tapauksissa ratkaisua.

Esimerkki.

Etsi

luvun $1$ neljännet juuret, eli neljännet yksikönjuuret,
luvun $1 + i$ kolmannet juuret.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan $1 = 1e^{i \cdot 0}$ , jolloin sen erilliset neljännet juuret ovat

$w_k = \sqrt[4]{1}e^{i(0 + 2\pi k)/4} = e^{i\frac{\pi}{2}k}, \qquad \text{kun } k = 0, 1, 2, 3.$

Juuret ovat siis $w_0 = e^{i \cdot 0} = 1$ , $w_1 = e^{i\frac{\pi}{2}} = i$ , $w_2 = e^{i\pi} = -1$ ja $w_3 = e^{i\frac{3\pi}{2}} = -i$ . Toinen tapa olisi havaita, että $w_0 = \sqrt[4]{1}e^{i \cdot 0} = 1$ on eräs juuri, jonka jälkeen loput juuret löytyvät kulman $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ välein, eli $w_1 = i$ , $w_2 = -1$ ja $w_3 = -i$ . Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.

align: center
Kirjoitetaan $1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ , jolloin sen erilliset kolmannet juuret ovat

$w_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}}e^{i\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)/3} = \sqrt[6]{2}e^{i\left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}k\right)}, \qquad \text{kun } k = 0, 1, 2.$

Juuret ovat siis $w_0 = \sqrt[6]{2}e^{i\frac{\pi}{12}}$ , $w_1 = \sqrt[6]{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$ ja $w_2 = \sqrt[6]{2}e^{i\frac{17\pi}{12}} = \sqrt[6]{2}e^{-i\frac{7\pi}{12}}$ . Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.

align: center