Viritys ja lineaarinen riippumattomuus¶

Vektoriyhtälöllä tarkoitetaan tuntemattomien \(c_1, c_2, \ldots, c_k\) yhtälöä

\[c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{b},\]

missä vektorit \(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_k\) ja \(\mathbf{b}\) ovat annettuja. Yhtälön ratkaisu vastaa kysymykseen siitä, voidaanko vektori \(\mathbf{b}\) esittää vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) lineaarikombinaationa. Merkitsemällä

\[\begin{split}\mathbf{c}= \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_k \end{bmatrix}\end{split}\]

ei ole vaikeaa nähdä, että yllä oleva vektoriyhtälö voidaan samastaa matriisiyhtälön

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_k \end{bmatrix} = V\mathbf{c}= \mathbf{b}\end{split}\]

ja sitä vastaavan lineaarisen yhtälöryhmän kanssa.

Lause.

Olkoot avaruuden \(\mathbb R^n\) vektorit \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k\) ja \(\mathbf{b}\) annettuja, sekä

\[V = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_k \end{bmatrix}.\]

Tällöin vektoriyhtälöllä

\[c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{b},\]

ja yhtälöryhmällä, jonka kokonaismatriisi on \([V\mid\mathbf{b}]\), on täsmälleen sama ratkaisu.

Esimerkki.

Tutki, voidaanko vektori \(\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}\) esittää vektoreiden

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} 2\\-2 \end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} \qquad\text{ja}\qquad \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\end{split}\]

lineaarikombinaationa.

Ratkaisu.

Tehtävänä on siis ratkaista vektoriyhtälö

\[\begin{split}c_1\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} +c_2\begin{bmatrix} 2\\-2 \end{bmatrix} +c_3\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} +c_4\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Kirjoitetaan vektoriyhtälöä vastaava kokonaismatriisi

\[\begin{split}[A\mid\mathbf{b}]= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Tämä yhtälöryhmä on jo ratkaistu aiemmassa esimerkissä, joten vektoriyhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{cases} c_1 = -\frac{3}{2}t - \frac{1}{2}s \\ c_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}t + \frac{1}{4}s \\ c_3 = t \\ c_4 = s, \end{cases}\end{aligned}\end{split}\]

missä parametrit \(t\) ja \(s\) ovat reaalilukuja. Esimerkiksi valitsemalla \(t=s=1\) löydetään lineaarikombinaatio

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} = -2\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} +\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2\\-2 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\end{split}\]

Vektoriyhtälön ratkaisua voidaan tarkastella myös seuraavasta näkökulmasta.

Määritelmä.

Jos \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita, niin kaikki mahdolliset lineaarikombinaatiot

\[c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k\]

muodostavat vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) virittämän joukon \(\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}\). Joukko-opin kielellä merkitään

\[\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\} = \{c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k : c_1, c_2, \ldots, c_k \text{ ovat reaalilukuja}\}.\]

Jos \(\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}=\mathbb R^n\), niin vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) sanotaan virittävän avaruuden \(\mathbb R^n\).

Jokainen vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) virittämän joukon alkio on siis näiden vektoreiden jokin lineaarikombinaatio. Havaitaan, että vektoriyhtälöllä

\[c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \ldots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{b}\]

on ratkaisu vain, jos \(\mathbf{b}\) voidaan esittää vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) lineaarikombinaationa eli vain, jos \(\mathbf{b}\) on vektorien \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) virittämä.

Lause.

Olkoot \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{y}\) avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita, sekä \(r\) reaaliluku. Jos \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{y}\) ovat avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) virittämiä, niin myös \(\mathbf{x}+ \mathbf{y}\), \(r\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{0}\) ovat niiden virittämiä.

Todistus.

Oletetaan, että \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{y}\) voidaan kirjoittaa vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) lineaarikombinaatioina

\[\mathbf{x}= a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \cdots + a_k\mathbf{v}_k \qquad\text{ja}\qquad \mathbf{y}= b_1\mathbf{v}_1 + b_2\mathbf{v}_2 + \cdots + b_k\mathbf{v}_k,\]

missä kertoimet \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) ja \(b_1, b_2, \ldots, b_k\) ovat reaalilukuja. Tällöin

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{x}+ \mathbf{y}&= (a_1 + b_1)\mathbf{v}_1 + (a_2 + b_2)\mathbf{v}_2 + \cdots + (a_k + b_k)\mathbf{v}_k \\ r\mathbf{x}&= (ra_1)\mathbf{v}_1 + (ra_2)\mathbf{v}_2 + \cdots + (ra_k)\mathbf{v}_k \\ \mathbf{0}&= 0 \cdot \mathbf{v}_1 + 0 \cdot \mathbf{v}_2 + \cdots + 0 \cdot \mathbf{v}_k,\end{aligned}\end{split}\]

eli jokainen väitteen vektoreista on myös samojen vektoreiden lineaarikombinaatio. \(\square\)

Edellisen lauseen tulokset muotoillaan usein sanomalla, että vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) virittämä joukko on suljettu summan ja skalaarilla kertomisen suhteen. Lisäksi nollavektori on kaikkien mahdollisten vektorikokoelmien virittämä, eli se voidaan esittää minkä tahansa vektoreiden lineaarikombinaationa. Tällaisen lineaarikombinaation kertoimiksi käy triviaalisti \(c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0\), mutta mielenkiintoisempi kysymys koskee sitä, voidaanko nollavektori esittää lineaarikombinaationa nollasta poikkeavien kertoimien avulla.

Tarkastellaan kahta nollasta eroavaa vektoria \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{y}\). Jos vektorit \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{y}\) ovat yhdensuuntaiset, eli

\[\mathbf{x}=\lambda\mathbf{y}\]

jollakin reaaliluvulla \(\lambda \not= 0\), niin luonnollisesti

\[\mathbf{0}= \mathbf{x}- \lambda\mathbf{y},\]

eli nollavektori voidaan esittää vektorien \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{y}\) epätriviaalina lineaarikombinaationa. Kertoimelle \(\lambda\) voidaan kirjoittaa \(\lambda = -\frac{c_2}{c_1}\) joillakin reaaliluvuilla \(c_1 \not= 0\) ja \(c_2 \not= 0\), jolloin yhdensuuntaisuusehto voidaan muotoilla myös yhtälönä

\[c_1\mathbf{x}+ c_2\mathbf{y}= \mathbf{0}.\]

Tämä esitys on edelleen nollavektorin epätriviaali lineaarikombinaatio, ja se motivoi seuraavan määritelmän.

Määritelmä.

Vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippuvia, jos löydetään reaaliluvut \(c_1, c_2, \ldots, c_k\), joista ainakin yksi poikkeaa nollasta ja joille

\[c_1\mathbf{v}_1+c_2 \mathbf{v}_2+ \cdots + c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}.\]

Jos vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) eivät ole lineaarisesti riippuvia, eli

\[c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}\]

vain, jos \(c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0\), ne ovat lineaarisesti riippumattomia.

Vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat siis lineaarisesti riippuvia, jos homogeeniselle vektoriyhtälölle

\[\begin{split}c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \ldots + c_k\mathbf{v}_k = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_k \end{bmatrix} = V\mathbf{c}= \mathbf{0}\end{split}\]

löytyy epätriviaali ratkaisu. Kääntäen lineaarinen riippumattomuus edellyttää, että tällä yhtälöllä on vain triviaaliratkaisu \(\mathbf{c}= \mathbf{0}\).

Esimerkki.

Tutki, ovatko vektorit

\((1, 0, 3)\), \((2, 2, 1)\) ja \((6, 7, -2)\),
\((1, 0, 3)\), \((2, 2, 1)\), \((6, 7, -2)\) ja \((4, 2, 1)\)

lineaarisesti riippumattomia.

Ratkaisu.

Muodostetaan kussakin kohdassa homogeeninen vektoriyhtälö ja siihen liittyvä kokonaismatriisi, sekä viedään kokonaismatriisi redusoituun riviporrasmuotoon.

Kokonaismatriisi ja sen redusoitu riviporrasmuoto ovat

\[\begin{split}[A\mid\mathbf{0}] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & 0 \\ 3 & 1 & -2 & 0 \end{bmatrix} \longrightarrow \operatorname{rref}[A\mid\mathbf{0}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Koska kerroinmatriisin \(A\) paikalle syntyi yksikkömatriisi, yhtälöryhmällä \([A\mid\mathbf{0}]\) on yksikäsitteinen ratkaisu, ja sen on oltava triviaaliratkaisu. Täten kysytyt vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.
Kokonaismatriisi ja sen redusoitu riviporrasmuoto ovat

\[\begin{split}[A\mid\mathbf{0}] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \longrightarrow \operatorname{rref}[A\mid\mathbf{0}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{22}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{37}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{12}{5} & 0 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Koska jokaisessa kerroinmatriisin sarakkeessa ei ole johtavaa ykköstä, yhtälöryhmä \([A\mid\mathbf{0}]\) sisältää vapaita muuttujia, ja täten sillä on ääretön määrä ratkaisuja. Ryhmälle siis löytyy myös epätriviaali ratkaisu, joten vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. Tämä olisi voitu päätellä jo siitä, että yhtälöryhmässä on enemmän muuttujia kuin yhtälöitä, jolloin aikaisemman lauseen nojalla sillä on oltava ääretön määrä ratkaisuja.

Lineaariselle riippuvuudelle löytyy myös muita luonnehdintoja.

Lause.

Avaruuden \(\mathbb R^n\) vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippuvia täsmälleen silloin, kun jokin niistä voidaan ilmaista muiden lineaarikombinaationa.

Todistus.

Todistetaan väite kahdessa osassa.

Oletetaan, että vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippuvia, jolloin yhtälö

\[c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}\]

toteutuu myös silloin, kun kaikki kertoimet \(c_1, c_2, \ldots, c_k\) eivät ole nollia. Oletetaan, että \(c_i \not= 0\), jolloin vektori \(\mathbf{v}_i\) voidaan ratkaista lineaarikombinaationa

\[\mathbf{v}_i = -\frac{1}{c}(c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \ldots + c_{i - 1}\mathbf{v}_{i - 1} + c_{i + 1}\mathbf{v}_{i + 1} + \cdots + c_k\mathbf{v}_{k}).\]
Oletetaan, että vektori \(\mathbf{v}_j\) on muiden lineaarikombinaatio

\[\mathbf{v}_j = a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \cdots + a_{j - 1}\mathbf{v}_{j - 1} + a_{j + 1}\mathbf{v}_{j + 1} + \cdots + a_k\mathbf{v}_k.\]

Tällöin nollavektorilla on lineaarikombinaatioesitys

\[\mathbf{0}= a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \cdots + a_{j - 1}\mathbf{v}_{j - 1} - \mathbf{v}_j + a_{j + 1}\mathbf{v}_{j + 1} + \cdots + a_k\mathbf{v}_k,\]

missä ainakin vektorin \(\mathbf{v}_j\) kerroin \(-1 \not= 0\). Siis vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippuvia.

\(\square\)

Tämän lauseen tärkeä seuraus on, että vektorikokoelman virittämää joukkoa tarkastellessa voidaan karsia pois kaikki lineaarisesti riippuvat vektorit.

Seuraus.

Olkoot avaruuden \(\mathbb R^n\) vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) lineaarisesti riippumattomia ja olkoon \(\mathbf{x}\) sellainen avaruuden \(\mathbb R^n\) vektori, että vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k, \mathbf{x}\) ovat lineaarisesti riippuvia. Tällöin

\[\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k, \mathbf{x}\}=\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}.\]

Todistus.

Siirretään myöhemmäksi hetkeen, jossa käytössä on enemmän joukko-opin työkaluja. \(\square\)

Todistetaan lopuksi edellisen esimerkin toisessa kohdassa tehdyn havainnon pohjalta lause, joka antaa ylärajan avaruudesta \(\mathbb R^n\) löydettävien lineaarisesti riippumattomien vektorikokoelmien koolle.

Lause.

Jos \(m > n\), niin avaruuden \(\mathbb R^n\) vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m\) ovat lineaarisesti riippuvia.

Todistus.

Tulkitaan vektoriyhtälö

\[c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_m\mathbf{v}_m = \mathbf{0}\]

homogeenisena lineaarisena yhtälöryhmänä, jossa on \(m\) muuttujaa ja \(n\) yhtälöä. Tällöin aiemman lauseen nojalla ryhmällä on ääretön määrä ratkaisuja. Niihin lukeutuu myös epätriviaali ratkaisu, joten löydetään vektoriyhtälön toteuttavat kertoimet \(c_1, c_2, \ldots, c_m\), joista vähintään yksi poikkeaa nollasta. Siis vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m\) ovat lineaarisesti riippuvia. \(\square\)

Esimerkiksi siis kaikki avaruudesta \(\mathbb R^3\) poimitut vektorikokoelmat \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\) ovat lineaarisesti riippuvia.