Yhtälöitä avaruuksissa¶

Palautetaan mieleen, mitä avaruudella \(\mathbb R^n\) oikein tarkoitetaan. Kyseessä on kaikkien \(n\)-vektorien kokoelma, joiden kaikki komponentit ovat reaalilukuja. Lineaarialgebra tutkii tämän ja muiden samankaltaisten avaruuksien, sekä niiden aliavaruuksien ominaisuuksia. Tavallisen algebran tavoin lineaarialgebraan kuuluu myös erityisesti lineaaristen yhtälöiden ja niiden ratkaisujen tarkastelu näissä avaruuksissa.

Insinöörille abstraktilta vaikuttavan lineaarialgebran opiskelu tarjoaa keinoja syventää lineaaristen yhtälöryhmien ja matriisiyhtälöiden tuntemusta. Tässä osiossa tutustutaan yleisen aliavaruuden ja sen kannan lisäksi sovelluksissa tärkeisiin matriisin sarake- ja nolla-avaruuksiin, sekä täydennetään aiemmin esitettyä matriisien teoriaa determinantin käsitteellä.

Tärppejä tähän osioon:

• Vektoreiden virittämä joukko ja lineaarinen riippumattomuus
• Aliavaruuden määritelmä ja sen käyttäminen, vektoreiden virittämä aliavaruus, tasot ja suorat aliavaruuksina
• Matriisin nolla- ja sarakeavaruudet ja niidet yhteydet lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisuun
• Aliavaruuden kanta ja sen ominaisuudet, aliavaruuden dimensio
• Kannan määrääminen kolmiulotteisella avaruudelle, sekä nolla- ja sarakeavaruudelle, matriisien dimensiolause
• Ortogonaaliset ja ortonormaalit kannat, ortogonalisointi ja ortogonaaliset matriisit
• Determinantti ja sen kehittäminen, transpoosin, kolmiomatriisin ja tulon determinantti, rivi- ja sarakeoperaatioiden vaikutukset determinanttiin, sekä kääntyvyysehto