\(n \times n\)-matriisin determinantti¶

Olkoon \(A\) mielivaltainen \(n \times n\)-matriisi. Määritellään :math:`(i,j)`-alimatriisi :math:`A_{ij}` matriisina, joka saadaan matriisista \(A\) poistamalla \(i\):s rivi ja \(j\):s sarake. On erityisen selvää, että jokainen \(A_{ij}\) on luonnollisesti \((n-1)\times (n-1)\) -matriisi.

Määritelmä.

Olkoon \(A=[a_{ij}]\) \(n \times n\)-matriisi, missä \(n \geq 2\). Tällöin matriisin \(A\) determinantti on skalaari

\[\begin{split}\begin{aligned} \det A &=& \left| A \right| = a_{11} \det A_{11} - a_{12}\det A_{12}+ \cdots + (-1)^{1+n} a_{1n}\det A_{1n}\\ &=& \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j}a_{1j} \det A_{1j}.\end{aligned}\end{split}\]

Lisäksi määritellään matriisin \(A\) \((i,j)-\)kofaktori (komplementti) asettamalla

\[C_{ij}:=(-1)^{i+j} \det A_{ij},\]

jolloin saadaan määritelmä lyhyempään muotoon

\[\det A = \sum_{j=1}^n a_{1j} C_{1j}.\]

Yksikkömatriisille \(I_n\):

\[\det(I_n)=1.\]

Ratkaisu. Edellisen määritelmän mukaisesti identiteettimatriisin determinantti on

\[\det I_n = \sum_{j=1}^{n}a_{1j}C_{1j}\]

Identiteettimatriisin tapauksessa summa sievenee, sillä \(a_{11}=1\) ja kaikki muut \(a_{12},\ldots,a_{1n}=0\). Näin saadaan \(\det I_n=1 \cdot C_{11}=C_{11}.\)

Kofaktori \(C_{11}\) saadaan määritelmän mukaan \(C_{11}=(-1)^{1+1}\det A_{11}=\det A_{11}\) ja alimatriisi \(A_{11}\) taas on identiteettimatriisi, josta on poistettu ensimmäinen rivi sekä sarake. Näin siis \(A_{11}=I_{n-1}\) (hahmottele vaikka paperilla, miksi!) ja \(C_{11}=I_{n-1}\). Nyt voidaan todeta identiteettimatriisin determinantille, että

\[\det I_n = \det I_{n-1}\]

Samalla periaatteella voidaan edetä, kunnes päästään helposti laskettavaan matriisiin \(I_2\), jolle edelleen pätee \(\det I_n = \det I_{n-1} = \cdots = \det I_2\). Koska \(\det I_2 = 1 \cdot 1- 0 \cdot 0 = 1\), on myös \(\det(I_n)=1\).

Seuraavaksi esiteltävä lause helpottaa ja selkiyttää huomattavasti tämänkaltaisten tehtävien notaatiota. Mielenkiinnon vuoksi tämän saman esimerkin voi palata laskemaan vielä Laplacen laajennuslausetta hyödyntäen:

Lause.

\(n \times n\) matriisin \(A=[a_{ij}]\), \(n \geq 2\) determinantti voidaan laskea kehitelmänä :math:`i`:nnen vaakarivin mukaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \det A &=& a_{i1} C_{i1} + a_{i2} C_{i2} + \cdots + a_{in} C_{in} \\ &=& \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij}.\end{aligned}\end{split}\]

ja myös kehitelmänä :math:`j`:nnen pystyrivin (sarakkeen) mukaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \det A &=& a_{1j} C_{1j} + a_{2j} C_{2j} + \cdots + a_{nj} C_{nj} \\ &=& \sum_{i=1}^n a_{ij} C_{ij}.\end{aligned}\end{split}\]

Todistus. Suoraviivainen, mutta valitettavan pitkähkö indeksien pyöritys. Katso Poolesta. \(\square\)

Huomaa, että determinantin kofaktorien kertoimet noudattavat sääntöä

\[\begin{split}\begin{aligned} +\ & -\ +\ -\ +\ ...\\ -\ & +\ -\ +\ -\ ...\\ +\ & -\ +\ -\ +\ ...\\ -\ & +\ -\ +\ -\ ...\\ \vdots&\end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki.

Laske matriisin

\[\begin{split}A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 7 & 6\\ 1 & 0 & 0 &3\\ 0 & 2 & 9 & -11\\ 0 & 0 &4 & 9 \end{bmatrix}\end{split}\]

determinantti.

Ratkaisu. Siis

\[\begin{split}\det(A)=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 7 & 6\\ 1 & 0 & 0 &3\\ 0 & 2 & 9 & -11\\ 0 & 0 &4 & 9 \end{vmatrix}\end{split}\]

josta kehittämällä ensimmäisen pystysarakkeen suhteen saadaan (taulukosta nähdään, että kertoimen etumerkiksi tulee miinus)

\[\begin{split}\det(A)=-\begin{vmatrix} 0 & 7 & 6\\ 2 & 9 & -11\\ 0 &4 & 9 \end{vmatrix}.\end{split}\]

Kehittämällä tämä ensimmäisen pystysarakkeen suhteen, saadaan

\[\begin{split}\det(A)=-(-2)\begin{vmatrix} 7 & 6\\ 4 & 9 \end{vmatrix}=2(7\cdot 9-4\cdot 6)=78.\end{split}\]

Suoraan Laplacen laajennuslauseesta saadaan: Lause. Mille tahansa neliömatriisille \(A\)

\[\det A=\det A^T.\]

Todistus.

Kun matriisista otetaan transpoosi, sen \(i\):nnestä rivistä tulee \(i\):s sarake, ja päinvastoin. Laplacen laajennuslauseen mukaan determinantti voidaan laskettaessa kehittää joko rivin tai sarakkeen mukaan, joten matriisin transpoosin determinantti saadaan edelleen laskettua samalla tavalla kuin alkuperäisen, jos vaan kehitetään rivin sijaan vastaavan sarakkeen suhteen (tai päinvastoin). Kokeile ja hahmottele jollain vapaavalintaisella matriisilla! \(\square\)

Määritelmä.

Neliömatriisia, jonka diagonaalialkioiden yläpuolella tai alapuolella on ainoastaan nollia, kutsutaan (ylä- tai ala)kolmiomatriisiksi (riippuen siitä, kummassa kolmiossa on nollasta poikkeavia alkioita).

Lause.

Kolmiomatriisin \(A=[a_{ij}]\) determinantti on (pää)diagonaalialkioiden tulo

\[\det A= a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}.\]

Todistus.

Riittää todistaa yläkolmiomatriisille, alakolmiomatriisi seuraa edellisestä lauseesta. Tulos seuraa kehittämällä determinantin määritelmässä esiintyvät determinantit aina 1. sarakkeen suhteen. \(\square\)

Esimerkki.

- Laske \(\det (A)\), kun
  
  \[\begin{split}A=\left[\begin{array}{r r r} \; 2 \;& \; 2 \;\; & \;\;-2\\ \; -1 \;& \; 3 \;\; & \;0 \\ \; 2 \;& \; 3 \; \;&\; -2\\ \end{array}\right],\end{split}\]
- Laske \(\det (B)\), kun
  
  \[\begin{split}B=\left[\begin{array}{r r r r} \; 2 \;& \; 0 \;\; & \;\;3 \; & -1\\ \; 0 \;& \; -1 \;\; & \;1 \; & 4\\ \; 1 \;& \; 0 \; \;&\; 2 \; & 2\\ \; 2 \;& \; 0 \;\; & \;1 \; & -3\\ \end{array}\right],\end{split}\]

Ratkaisu.

- Kehitetään determinanttia toisen vaakarivin suhteen. Edellisestä taulukosta nähdään, että alimatriisien determinanttien kertoimet ovat tällöin \(-, + \text{ ja } -\).
  
  \[\begin{split}\begin{aligned} \text{det}(A)&=\begin{vmatrix} 2 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \end{vmatrix}=-(-1)\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \\ &=[2\cdot2-3\cdot(-2)]+3[2\cdot2-2\cdot(-2)]=10+3\cdot8=34 \end{aligned}\end{split}\]
- Kehitetään determinanttia toisen pystyrivin suhteen. Sen jälkeen kehitetään siitä saatavaa \(3 \times 3\) -alimatriisia ensimmäisen pystyrivin suhteen. Tarkkaile alimatriisien kertoimien etumerkkejä, niiden kanssa pitää olla tarkkana.
  
  \[\begin{split}\begin{aligned} \text{det}(B)&=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & -3 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = -2\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \\ &=-2[2\cdot(-3)-1\cdot2)]+[3\cdot(-3)-1\cdot(-1)]-2[3\cdot2-2\cdot(-1)]\\ &=16-8-16=-8 \end{aligned}\end{split}\]

Determinantin ominaisuuksia¶

Tarkastellaan seuraavaksi determinantin algebrallisia ominaisuuksia sarakevektoreiden näkökulmasta, eli oletetaan, että neliömatriisi \(A\) on muotoa

\[A=\begin{bmatrix}\m{v}_1 & \cdots & \m{v}_n\end{bmatrix}.\]

Lause.

Determinantti toteuttaa seuraavat ehdot:

(sarakkeen vakiokertoja) jos \(\lambda\in\mathbb{R}\), niin

\[\det(\begin{bmatrix}\m{v}_1 & \cdots &\lambda \m{v}_j& \cdots & \m{v}_n\end{bmatrix})=\lambda \det(\begin{bmatrix}\m{v}_1 & \cdots & \m{v}_j& \cdots & \m{v}_n\end{bmatrix}),\]
(sarakevektoreiden yhteenlasku)

\[\begin{split}\begin{aligned} \det(\begin{bmatrix}\m{v}_1 & \cdots & \m{v}'_j+\m{v}''_j& \cdots & \m{v}_n\end{bmatrix}) =& \det(\begin{bmatrix}\m{v}_1 & \cdots & \m{v}'_j& \cdots & \m{v}_n\end{bmatrix})\\ &+\det(\begin{bmatrix}\m{v}_1 & \cdots & \m{v}''_j& \cdots & \m{v}_n\end{bmatrix}), \end{aligned}\end{split}\]
(sarakkeiden vaihto vaihtaa etumerkin)

\[\det(\begin{bmatrix}\m{v}_1 & \cdots & \m{v}_i &\cdots &\m{v}_j& \cdots & \m{v}_n\end{bmatrix})=-\det(\begin{bmatrix}\m{v}_1 & \cdots & \m{v}_j &\cdots &\m{v}_i& \cdots & \m{v}_n\end{bmatrix}),\]
(luonnollisen kannan erityisasema)

\[\det(\begin{bmatrix}\m{e}_1 & \cdots & \m{e}_n\end{bmatrix})=1.\]

Todistus.

Suoraviivaisia laskuja, jotka ovat tällä kurssilla statistin roolissa. Katso Poole s. 268-269. \(\square\)

Huomautus.

Erityisesti huomataan tärkeä ominaisuus, että mikäli matriisissa \(A\) on kaksi vakiokertojaa vaille samaa saraketta, seuraa kohdasta (c), että \(\det(A)=0\). ENDB Edellä oleva tulos antaa determinantin algebrallisen idean. Koska aiemmin olemme osoittaneet, että \(\det(A)=\det(A^T)\), voidaan edellinen tulos muotoilla myös vaakarivivektoreille. Annetaan tämä seuraavana seurauksena:

Seuraus. Olkoon \(A\) neliömatriisi. Tällöin

Jos matriisissa \(A\) on nollarivi (sarake), niin \(\det A =0\).
Jos matriisi \(B\) saadaan matriisista \(A\) vaihtamalla kahden rivin (sarakkeen) paikkoja, niin \(\det B= -\det A\).
Jos matriisissa \(A\) on kaksi samaa riviä (saraketta), niin \(\det A =0\).
Jos matriisi \(B\) saadaan matriisista \(A\) kertomalla yksi matriisin \(A\) rivi (sarake) skalaarilla \(k\), niin \(\det B=k \det A\).
Jos matriisit \(A\), \(B\) ja \(C\) ovat muuten samoja, mutta \(A, B\) ja \(C\) eroavat rivin (sarakkeen) \(i\) osalta ja matriisin \(C\) rivi (sarake) \(i\) on matriisien \(A\) ja \(B\) rivien (sarakkeiden) \(i\) summa, niin \(\det C= \det A + \det B\).
Jos matriisi \(B\) saadaan matrisiista \(A\) lisäämällä yksi vakiolla kerrottu matriisin \(A\) rivi (sarake) toiseen matriisin \(A\) riviin (sarakkeeseen), niin \(\det B = \det A\).

ENDB Seuraavaksi ryhdytään tarkastelemaan determinantin ja matriisitulon välistä suhdetta. Aloitetaan yksinkertaisesta tapauksesta.

Lause. Olkoon \(B\) \(n \times n\)-matriisi ja \(E\) \(n \times n\)-elementaarimatriisi. Tällöin

\[\det(EB)= (\det E)(\det B).\]

Todistus.  Perustuu edeltävään lauseeseen. Tarkastellaan kaikkia kolmea rivioperaatiota ja
niitä vastaavia elementaarimatriiseja.
Rivin kertomista vakiolla \(k\) vastaa matriisi
\(E_i(k)=\begin{bmatrix}
1 & & & & \\
& \ddots & & & \\
& & k & & \\
& & & \ddots & \\
& & & & 1
\end{bmatrix}\) ja sen determinantti \(\det E_i(k)=k\). Edellisen
kohdan seurauslauseen perusteella matriisin \(B\) yhden rivin
kertominen vakiolla \(k\) muuttaa determinanttia niin, että siitä
tulee \(k\det B\). Riviporrasmuutoksen tekeminen vastaa matriisin
kertomista sitä vastaavalla elementaarimatriisilla, joten edellisen
perusteella \(\det (E_i(k)B)=k \det B\). Koska
\(\det E_i(k)=c\), huomataan, että
\(\det (E_i(k)B)=\det E_i(k) \det B\) ja väite pätee tälle
rivioperaatiolle.
Muut rivioperaatiot vastaavasti. Katsotaan, millainen
elementaarimatriisi operaatiota vastaa ja vertaillaan sen
determinanttia seurauslauseen osoittamiin determinantin muutoksiin.
\(\square\)
Edellisen lauseen nojalla saadaan näppärä tulos käänteismatriisin
olemassaolon tutkimiseksi:

Lause.

Neliömatriisi \(A\) on kääntyvä, jos ja vain jos \(\det A \neq 0\).

Todistus.

Olkoon \(A\) \(n \times n\)-matriisi ja \(\text{rref}(A)=R\). Näytetään aluksi, että \(\det(A)\neq 0 \Leftrightarrow \det(R)\neq0\). Koska \(\text{rref}(A)=R\), niin on olemassa elementaarimatriisit \(E_1, E_2, \ldots, E_r\) siten, että

\[E_r \cdots E_2E_1A=R\]

Ottamalla puolittain determinantit ja soveltamalla äskeistä lausetta saadaan

\[(\det E_r) \cdots (\det E_2)(\det E_1)(\det A)=\det R.\]

Elementaarimatriisien determinantit ovat kuitenkin aina nollasta poikkeavia, joten \(\det(A)\neq 0 \Leftrightarrow \det(R)\neq0\). Oletetaan, että \(A\) on kääntyvä. Tällöin Kääntyvien matriisien peruslauseen mukaan \(R=I_n\), joten \(\det R=1 \neq 0\) ja siis \(\det A \neq 0\). Käänteisesti oletetaan, että \(\det A \neq 0\). Tällöin \(\det R \neq 0\), joten \(R\) ei sisällä nollariviä (lauseen (a)-kohta) ja tällöin \(R=I_n\), joten \(A\) on kääntyvä Kääntyvien matriisien peruslauseen mukaan. \(\square\)

Tulon determinantti on determinanttien tulo¶

Yksi tärkeimmistä laskukaavoista determinantille on seuraava. .. admonition:: Lause.

class: info

Jos \(A\) ja \(B\) ovat \(n \times n\)-matriiseja, niin

\[\det(AB)= \det(A)\det(B).\]

class:	info

Todistus. Oletetaan, että \(A\) on kääntyvä. Tällöin se voidaan esittää alkeisrivimuunnosten avulla muodossa

\[A=E_1\cdots E_k,\]

ja siis

\[AB=E_1\cdots E_kB,\]

joten edellisen tuloksen nojalla saadaan

\[\det(AB)=\det(E_1)\cdots \det(E_k)\det(B)=\det(E_1\cdots E_k)\det(B)=\det(A)\det(B).\]

Jos puolestaan \(A\) ei ole kääntyvä, niin tällöin myöskään \(AB\) ei voi olla kääntyvä (miksi näin?) ja siis

\[\det(AB)= 0=\det(A)\det(B).\]

\(\square\)

Tämän avulla saadaan välittömästi:

Lause.

Jos \(A\) on kääntyvä matriisi, niin

\[\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}.\]

Todistus.

Oletetaan, että \(A\) on kääntyvä matriisi. Tällöin \(\exists A^{-1}\), jolle \(AA^{-1}=I_n\). Tällöin \(\det(AA^{-1})=\det(I_n)=1\), mutta toisaalta \(\det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1})\), joten

\[\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)},\]

joka on haluttu tulos. \(\square\)

Lause.

Jos \(Q\) on ortogonaalinen matriisi, niin

\[\det(Q)=\pm 1.\]

Todistus.

Ortogonaalisille matriiseille pätee yhtälö \(QQ^T=I=Q^TQ\). Tätä sekä tulon determinantin laskusääntöä käyttämällä, saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \det (QQ^T)&=\det(Q) \det(Q^T) \\ \det(I)=\det(Q) \det(Q^T)\end{aligned}\end{split}\]

Transpoosi ei vaikuta determinanttiin, joten

\[\begin{split}\begin{aligned} \det(Q) \det(Q) &= \det (I) \\ (\det(Q))^2 &= 1 \\ \det (Q) &= \pm 1\end{aligned}\end{split}\]

\(\square\)

Esimerkki.

Jos

\[\begin{split}\det\left[\begin{array}{r r r } \; a \;& \; b \;\; & \;\;c \\ \; d \;& \; e \; \;&\; f\\ \; g \;& \; h \;\; & \;i\\ \end{array}\right]=4. \text{ Mitä on } \det\left[\begin{array}{r r r } \; 3a \;& \; 2c \;\; & \;\;-b \\ \; 3d \;& \; 2f \; \;&\; -e \\ \; 3g \;& \; 2i \;\; & \;-h\\ \end{array}\right]?\end{split}\]

Vinkki: Determinantin ominaisuudet sarakeoperaatioissa.

Ratkaisu.

Käydään yksi kerrallaan läpi, millaisia operaatioita alkuperäisen matriisin pystyriveille pitää tehdä, jotta päästään haluttuun muotoon. Samalla käytetään vinkissä annettua lausetta jokaisen operaation kohdalla ja katsotaan, kuinka sellainen operaatio muuttaa determinanttia.

\[\begin{split}\begin{aligned} & & \text{det}\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}&=4 & & \text{1. sarake kerrotaan 3:lla} \\[0.8 em] \Rightarrow& \qquad& \text{det}\begin{bmatrix} 3a & b & c \\ 3d & e & f \\ 3g & h & i \end{bmatrix}&=3\cdot 4 & & \text{2. ja 3. sarake vaihtavat paikkaa} \\[0.8 em] \Rightarrow& \qquad& \text{det}\begin{bmatrix} 3a & c & b \\ 3d & f & e \\ 3g & i & h \end{bmatrix}&=-12 & & \text{2. sarake kerrotaan 2:lla} \\[0.8 em] \Rightarrow& \qquad& \text{det}\begin{bmatrix} 3a & 2c & b \\ 3d & 2f & e \\ 3g & 2i & h \end{bmatrix}&=-12 \cdot 2 & & \text{3. sarake kerrotaan (-1):llä} \\[0.8 em] \Rightarrow& \qquad& \text{det}\begin{bmatrix} 3a & 2c & -b \\ 3d & 2f & -e \\ 3g & 2i & -h \end{bmatrix}&=-(-24)=24 & & \end{aligned}\end{split}\]