Matriisin aste¶

Edellä määrittelimme matriisin $A$ asteen sen redusoidun riviporrasmuodon $\text{rref}(A)$ johtavien ykkösten lukumääränä. Laskuteknisesti tämä on erinomainen keino asteen laskemiseksi. Todistetaan seuraavaksi asteen yhteys matriisin sarakeavaruuden dimensioon.

Lause.

$\text{rank}(A)=\dim{R(A)}.$

Todistus.

Oletetaan, että $\dim{R(A)}=k$ . Sarakeavaruuden kanta saadaan poimimalla $\text{rref}(A)$ :n johtavia ykkösiä vastaavat vektorit matriisista $A$ . Koska kantavektoreita on $k$ kappaletta on johtavia ykkösiä myös $k$ kappaletta, eli

$\text{rank}(A)=k=\dim{R(A)}.$

$\square$

Seuraavaksi todistetaan matriisien dimensiolause:

Lause.

Jos $A$ on $m \times n$ -matriisi, niin

$\dim N(A)+\text{rank}(A)=n.$

Todistus. Olkoon matriisin

$A$ redusoitu vaakariviporrasmuoto

$\text{rref}(A)$ ja aste

$r$ . Tällöin matriisissa

$\text{rref}(A)$ on

$r$ kappaletta johtavia ykkösiä eli yhtälön

$A\xx=\nol$ ratkaisuvektorissa on r kappaletta johtavia muuttujia. Koska muuttujien lukumäärä on

$n$ , niin vapaita muuttujia on

$n-r$ kappaletta. Eli

$\dim N(A)=n-r$

ja siis

$\dim N(A)+\text{rank}(A)=(n-r)+r=n,$

joka on haluttu tulos. $\square$

Näiden tietojen pohjalta voidaan laajentaa aiemmin esiteltyä kääntyvien matriisien peruslausetta

Lause.

Olkoon $A$ $n \times n$ -matriisi. Tällöin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja.

$A$ on kääntyvä.
Yhtälöllä $A \xx =\bbb$ on yksikäsitteinen ratkaisu $\forall \bbb \in \mathbb R^n$ .
Yhtälöllä $A \xx =\mathbf{0}$ on ainoastaan triviaaliratkaisu.
Matriisin $A$ redusoitu vaakariviporrasmuoto on $I_n$ .
$A$ on elementaarimatriisien tulo.
$\text{rank}(A)=n$ .
$A$ :n nolla-avaruuden dimensio on 0 eli $N(A)=\{\nol\}$ .
$A$ :n pystyvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.
$A$ :n pystyvektorit virittävät $\mathbb R^n$ :n.
$A$ :n pystyvektorit muodostavat $\mathbb R^n$ :n kannan.

Todistus. Kohdat (a):sta (e):hen on osoitettu ekvivalentiksi aiemman version yhteydessä. Todistetaan

$f\Rightarrow d \Rightarrow c \Rightarrow h \Rightarrow i \Rightarrow j \Rightarrow f \Leftrightarrow g.$

$(f) \Leftrightarrow (g)$

Koska rank(A)+dim(N(A))=n, niin
rank(A)=n⇔dim(N(A))=0.
(f)⇒(h)
Jos rank(A)=n, niin matriisin A redusoidussa
vaakarivi porrasmuodossa on n kappaletta johtavia ykkösiä ja
tällöin se on In (tämä on siis (d) kohta). Koska
(d)⇒(c), niin yhtälöllä A\xx=\nol on
ainoastaan triviaaliratkaisu, joten matriisin A pystyvektorit
ovat lineaarisesti riippumattomia.
(h)⇒(i)
Pystyvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, joten yhtälöllä
A\xx=\nol on ainoastaan triviaaliratkaisu. Koska
(c)⇒(b), niin yhtälöllä A\xx=\bbb on
yksikäsitteinen ratkaisu ∀\bbb∈Rn eli
\bbb voidaan lausua matriisin A pystyvektoreiden
lineaarikombinaationa.
(i)⇒(j)
Jos pystyvektorit virittävät avaruuden Rn eli
R(A)=Rn, niin rref(A):ssa on oltava
n kappaletta johtavia ykkösiä ja dim(R(A))=n ja
rank(A)=dim(R(A))=n (siis (f) pätee). Tästä
seuraa ((f)⇒(h)), että pystyvektorit ovat
lineaarisesti riippumattomia, joten ne muodostavat kannan.
(j)⇒(f)
Jos matriisin A pystyvektorit muodostavat avaruuden
Rn kannan, niin ne ovat lineaarisesti riippumattomia
ja niiden redusoitu vaakariviporrasmuoto sisältää n kappaletta
johtavia ykkösiä eli rank(A)=n. ◻

Esimerkki.

Olkoon

$\begin{split}A=\left[\begin{array}{r r r} \; 1 \;& \; -3 \; & -4 \\ \; -4 \;& \; 6 \; & -2 \\\; -3 \;& \; 7 \; & 6 \\ \end{array}\right].\end{split}$

Etsi aliavaruuksien $R(A)$ ja $N(A)$ kannat ja dimensiot. Mikä on matriisin aste? Totea lisäksi, että $\text{rank}(A)+\dim N(A)=n$ .

Ratkaisu.

Aiemmassa kappaleessa esitetyn algoritmin mukaisesti aloitetaan muuttamalla matriisi $A$ redusoituun riviporrasmuotoon.

$\begin{split}\begin{aligned} &\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -4 & 6 & -2 \\ -3 & 7 & 6 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_3-R_2}\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 1 & 1 & 8 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_2+2R_1} \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -2 & 0 & -10 \\ 1 & 1 & 8 \end{bmatrix} \\[1em] &\underrightarrow{R_3+\frac{1}{2}R_2}\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -2 & 0 & -10 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \underrightarrow{-\frac{1}{2}R_2}\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_1-R_2}\begin{bmatrix} 0 & -3 & -9 \\ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \\[1em] & \underrightarrow{R_2\leftrightarrow R_3, R_1\leftrightarrow R_3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -9 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_3+3R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\end{aligned}\end{split}$

Riviporrasmuodon johtavat ykköset ovat 1. ja 2. sarakkeessa, joten ne sarakkeet voidaan ottaa matriisista $A$ sarakeavaruuden kannaksi. Näin siis

$\begin{split}R(A)=\text{span}\Bigg\{\begin{bmatrix} 1 \\-4 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\Bigg\}\end{split}$

Sarakeavaruuden dimensio on 2, joten myös matriisin aste rank $(A)=2$ .

Nolla-avaruuden kanta määritetään ratkaisemalla homogeeninen yhtälö $A\xx=\nol$ . $A$ onkin jo muunnettu rref-muotoon, joten ratkaisu saadaan suoraan siitä. Esitetään yhtälö $\text{rref}(A)\xx=\nol$ yhtälöparimuodossa

$\begin{split}\begin{cases} x_1+5x_3=0 \\ x_2+3x_3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1=-5t \\ x_2=-3t \\ x_3=t \end{cases}, t\in\mathbb{R}\end{split}$

Parametrisoitiin siis vapaa muuttuja $x_3=t$ ja nyt ratkaisu $\xx$ voidaan esittää vektorimuodossa $\xx=t\begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}, t\in \mathbb{R}$ . Näin nolla-avaruuden kanta on

$\begin{split}\Bigg\{\begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}\Bigg\}\end{split}$

Kannassa on vain yksi virittävä vektori, joten dim $(N(A))=1$ . Matriisi $A$ on $3 \times 3$ -matriisi, joten matriisien dimensiolauseen täyttääkseen matriisin asteen ja nolla-avaruuden dimension summan tulee olla myös 3. Näin myös on, sillä $\text{rank}(A)+\text{dim}(N(A))=2+1=3$ .