"
  1. Matriisin aste

Matriisin aste

Edellä määrittelimme matriisin \(A\) asteen sen redusoidun riviporrasmuodon \(\text{rref}(A)\) johtavien ykkösten lukumääränä. Laskuteknisesti tämä on erinomainen keino asteen laskemiseksi. Todistetaan seuraavaksi asteen yhteys matriisin sarakeavaruuden dimensioon.

Lause.

\(\text{rank}(A)=\dim{R(A)}.\)

Todistus.

Oletetaan, että \(\dim{R(A)}=k\). Sarakeavaruuden kanta saadaan poimimalla \(\text{rref}(A)\):n johtavia ykkösiä vastaavat vektorit matriisista \(A\). Koska kantavektoreita on \(k\) kappaletta on johtavia ykkösiä myös \(k\) kappaletta, eli

\[\text{rank}(A)=k=\dim{R(A)}.\]

\(\square\)

Seuraavaksi todistetaan matriisien dimensiolause:

Lause.

Jos \(A\) on \(m \times n\)-matriisi, niin

\[\dim N(A)+\text{rank}(A)=n.\]
Todistus.  Olkoon matriisin \(A\) redusoitu vaakariviporrasmuoto \(\text{rref}(A)\) ja aste \(r\). Tällöin matriisissa \(\text{rref}(A)\) on \(r\) kappaletta johtavia ykkösiä eli yhtälön \(A\xx=\nol\) ratkaisuvektorissa on r kappaletta johtavia muuttujia. Koska muuttujien lukumäärä on \(n\), niin vapaita muuttujia on \(n-r\) kappaletta. Eli
\[\dim N(A)=n-r\]

ja siis

\[\dim N(A)+\text{rank}(A)=(n-r)+r=n,\]

joka on haluttu tulos. \(\square\)

Näiden tietojen pohjalta voidaan laajentaa aiemmin esiteltyä kääntyvien matriisien peruslausetta

Lause.

Olkoon \(A\) \(n \times n\)-matriisi. Tällöin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja.

  • \(A\) on kääntyvä.
  • Yhtälöllä \(A \xx =\bbb\) on yksikäsitteinen ratkaisu \(\forall \bbb \in \mathbb R^n\).
  • Yhtälöllä \(A \xx =\mathbf{0}\) on ainoastaan triviaaliratkaisu.
  • Matriisin \(A\) redusoitu vaakariviporrasmuoto on \(I_n\).
  • \(A\) on elementaarimatriisien tulo.
  • \(\text{rank}(A)=n\).
  • \(A\):n nolla-avaruuden dimensio on 0 eli \(N(A)=\{\nol\}\).
  • \(A\):n pystyvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.
  • \(A\):n pystyvektorit virittävät \(\mathbb R^n\):n.
  • \(A\):n pystyvektorit muodostavat \(\mathbb R^n\):n kannan.
Todistus.  Kohdat (a):sta (e):hen on osoitettu ekvivalentiksi aiemman version yhteydessä. Todistetaan
\[f\Rightarrow d \Rightarrow c \Rightarrow h \Rightarrow i \Rightarrow j \Rightarrow f \Leftrightarrow g.\]

\((f) \Leftrightarrow (g)\)

Koska \(\text{rank}(A)+\text{dim}(N(A))=n\), niin \(\text{rank}(A)=n \Leftrightarrow \text{dim}(N(A))=0.\)
\((f) \Rightarrow (h)\)
Jos \(\text{rank}(A)=n\), niin matriisin \(A\) redusoidussa vaakarivi porrasmuodossa on \(n\) kappaletta johtavia ykkösiä ja tällöin se on \(I_n\) (tämä on siis (d) kohta). Koska \((d)\Rightarrow(c)\), niin yhtälöllä \(A\xx=\nol\) on ainoastaan triviaaliratkaisu, joten matriisin \(A\) pystyvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.
\((h) \Rightarrow (i)\)
Pystyvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, joten yhtälöllä \(A\xx=\nol\) on ainoastaan triviaaliratkaisu. Koska \((c)\Rightarrow(b)\), niin yhtälöllä \(A\xx=\bbb\) on yksikäsitteinen ratkaisu \(\forall \bbb \in \mathbb R^n\) eli \(\bbb\) voidaan lausua matriisin \(A\) pystyvektoreiden lineaarikombinaationa.
\((i) \Rightarrow (j)\)
Jos pystyvektorit virittävät avaruuden \(\mathbb R^n\) eli \(R(A)=\mathbb R^n\), niin \(\text{rref}(A)\):ssa on oltava \(n\) kappaletta johtavia ykkösiä ja \(\text{dim}(R(A))=n\) ja \(\text{rank}(A)=\text{dim}(R(A))=n\) (siis (f) pätee). Tästä seuraa (\((f)\Rightarrow(h)\)), että pystyvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne muodostavat kannan.
\((j) \Rightarrow (f)\)
Jos matriisin \(A\) pystyvektorit muodostavat avaruuden \(\mathbb R^n\) kannan, niin ne ovat lineaarisesti riippumattomia ja niiden redusoitu vaakariviporrasmuoto sisältää \(n\) kappaletta johtavia ykkösiä eli \(\text{rank}(A)=n\). \(\square\)

Esimerkki.

  • Olkoon

    \[\begin{split}A=\left[\begin{array}{r r r} \; 1 \;& \; -3 \; & -4 \\ \; -4 \;& \; 6 \; & -2 \\\; -3 \;& \; 7 \; & 6 \\ \end{array}\right].\end{split}\]

    Etsi aliavaruuksien \(R(A)\) ja \(N(A)\) kannat ja dimensiot. Mikä on matriisin aste? Totea lisäksi, että \(\text{rank}(A)+\dim N(A)=n\).

Ratkaisu.

  • Aiemmassa kappaleessa esitetyn algoritmin mukaisesti aloitetaan muuttamalla matriisi \(A\) redusoituun riviporrasmuotoon.


    \[\begin{split}\begin{aligned} &\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -4 & 6 & -2 \\ -3 & 7 & 6 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_3-R_2}\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 1 & 1 & 8 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_2+2R_1} \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -2 & 0 & -10 \\ 1 & 1 & 8 \end{bmatrix} \\[1em] &\underrightarrow{R_3+\frac{1}{2}R_2}\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -2 & 0 & -10 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \underrightarrow{-\frac{1}{2}R_2}\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_1-R_2}\begin{bmatrix} 0 & -3 & -9 \\ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \\[1em] & \underrightarrow{R_2\leftrightarrow R_3, R_1\leftrightarrow R_3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -9 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_3+3R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\end{aligned}\end{split}\]

    Riviporrasmuodon johtavat ykköset ovat 1. ja 2. sarakkeessa, joten ne sarakkeet voidaan ottaa matriisista \(A\) sarakeavaruuden kannaksi. Näin siis

    \[\begin{split}R(A)=\text{span}\Bigg\{\begin{bmatrix} 1 \\-4 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\Bigg\}\end{split}\]

    Sarakeavaruuden dimensio on 2, joten myös matriisin aste rank\((A)=2\).

    Nolla-avaruuden kanta määritetään ratkaisemalla homogeeninen yhtälö \(A\xx=\nol\). \(A\) onkin jo muunnettu rref-muotoon, joten ratkaisu saadaan suoraan siitä. Esitetään yhtälö \(\text{rref}(A)\xx=\nol\) yhtälöparimuodossa
    \[\begin{split}\begin{cases} x_1+5x_3=0 \\ x_2+3x_3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1=-5t \\ x_2=-3t \\ x_3=t \end{cases}, t\in\mathbb{R}\end{split}\]

    Parametrisoitiin siis vapaa muuttuja \(x_3=t\) ja nyt ratkaisu \(\xx\) voidaan esittää vektorimuodossa \(\xx=t\begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}, t\in \mathbb{R}\). Näin nolla-avaruuden kanta on

    \[\begin{split}\Bigg\{\begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}\Bigg\}\end{split}\]

    Kannassa on vain yksi virittävä vektori, joten dim\((N(A))=1\). Matriisi \(A\) on \(3 \times 3\) -matriisi, joten matriisien dimensiolauseen täyttääkseen matriisin asteen ja nolla-avaruuden dimension summan tulee olla myös 3. Näin myös on, sillä \(\text{rank}(A)+\text{dim}(N(A))=2+1=3\).